有界収束の定理

有界収束の定理

 

普通の微分積分の教科書では取り扱っていない、有界収束の定理を紹介する。

 

定理４（有界収束の定理）

有界閉区間[a,b]で定義された連続関数から構成された関数列が有界で、連続関数f(x)に収束するならば、

　　

が成り立つ。

 

この有界収束の定理はいわゆる微分積分の範囲を逸脱するので、証明は示さない。

 

例１　連続関数

　　

からなる関数列は、すべての自然数nについて、

　　

で有界。また、極限関数はf(x)=0は[0,1]で連続なので、上の有界収束の定理より

　　

と計算することができる。

 

 

問

　　

を実際に計算し、

　　

となることを確かめよ。

 

問題１　次の値を求めよ。

　　

【解】

[0,1]の全ての点で

　　

に収束し、

　　

で有界。

したがって、定理４より

　　

（解答終了）

 

実は、定理４は、もっと条件を弱めることができる。

 

定理４’（有界収束の定理）

が有界閉区間[a,b]で積分可能、[が[a,b]（のほとんど全て almost everywhere ）でf(x)に収束し、かつ、が有界ならば、f(x)は積分可能で、

　　

が成り立つ。

 

ただし、下線部を引いた積分可能はリーマン積分可能の意味でない場合があるので注意が必要。

 

この定理４’を用いると、

関数列

　　

の極限関数は

　　

と、[0,1]で不連続なのに、

　　

と計算できる理由を説明できる。

 

問題２　次の値を求めよ。

　　

【解】

x=0のとき、

　　

0<x≦1のとき、

　　

したがって、極限関数f(x)は

　　

また、[0,1]で

　　

と有界なので、定理４’より

　　

（解答終了）

 

問２

　　

を実際に積分することによって、

　　

の値を求めよ。

【略解】

　　

よって、

　　

ここで、erf(x)は誤差関数

　　

（略解終）

 

これで、厄介な一様収束の判定から無縁になった！！

 

ただし、有界収束の定理は有界閉区間[a,b]でないと一般に成立しないので注意が必要である。

 

 

今日のアニソン番外編、「宇宙の戦士」から『BELIEVE』

アニメ「機動戦士ガンダム」には、SF小説「宇宙の戦士（Starship Troopers）」という元ネタがあったということを、
ddt³さんから教えてもらったので、
今日のアニソン番外編として、OVA「宇宙の戦士」から『BELIEVE』を紹介します。

サンライズに、こんな作品があったのか。知らなかったにゃ。
この絵を見ると、ガンダムだわな〜。
ネムネコのガンダム嫌いは筋金入りだから、「ケロロ軍曹」くらいしかサンライズのアニメなんて見なかった。サンライズという名前を見ただけで、ネムネコは強い拒否反応を起こすにゃ。

その世界観がネムネコの価値観――愛と平等、自由を何より尊重――と相容れないから、ガンダム・シリーズは反吐が出るほど嫌いだったけれど、「ケロロ軍曹」以外では、「装甲騎兵ボトムズ」は結構、見たかな。

いま、改めて見ると、この絵はオレが嫌うガンダムだわな〜。
ボトムズの主題歌の完全版はこちら↓

紹介した『BELIEVE』という曲の他に、『WE CAN MAKE IT』という曲も「宇宙の戦士」には使われていたようです。

「宇宙の戦士」には、「スタシップ・トゥルーパーズ インヴェイジョン」、「スタシップ・トゥルーパズ レッドプラネット」という作品もあるみたいですね。

意外に思うかもしれないけれど、ネムネコは、こういう優しいアニメが好きなんだにゃ。

今日のアニソン、「少女終末旅行」から『静寂ノ旅路』

今日のアニソンは、アニメ「少女終末旅行」から『静寂ノ旅路』です。

さらに、「少女終末旅行」からこの曲を♪

級数のどうでもいい話

級数のどうでもいい話

 

 

次に何をやろうかと考え、数学の演習書をチラリと覗き、次のような問題を見つけた。

 

問題　次の無限級数の収束判定をせよ。

　　

 

数秒間、何も考えずに、問題をただじっと見つめ、閃きの瞬間を待つ。

　――これがネムネコ的問題解決法。どうしても閃かないときは、仕方がないので考える(^^ゞ――

そして、「あっ、そうか」と閃き、

　　

で、

　　

と、が発散するので、は発散する

と解けというわけね。

 

まっ、

　　

で、は発散するから、も発散する

と解いてもいいのだろうけれど、上の解答の方がオシャレだね。

 

でも、いつも、このような閃きが訪れるとは限らない。

そこで、閃かないときのために、次のような解答も用意したにゃ。

 

 

 

k=1,2,・・・,nとし、k≦x≦k+1、すなわち、[k,k+1]という閉区間で、

　　

という関数を考えると、これは単調減少関数。

したがって、

　　

という関係が成り立つ。

よって、

　　

である。

てなわけで、

　　

そして、

　　

となるので、は発散する。

 

さてさて、では、この記事の読者の閃きを信じて、次の問題を解いてもらおう。

 

問題２　次の級数が収束することを示せ。

　　

 

閃きが訪れると、この問題は実に鮮やかに解くことができる。

 

とはいえ、閃かないヒトたちのために、次の解答を用意しておこう。

 

【閃かない人向けの解答】

k=2,3,・・・,nとし、閉区間[k−1,k]で

　　

について考える。

すると、f(x)は減少関数なので、

　　

よって、

　　

したがって、

　　

両辺に１を足すと、

　　

となる。

 

だから、 はnが増えると増加する単調増加列で、は２より小さく、つまり、上に有界。

上に有界な単調増加列は収束するので、は収束する。

（解答終）

 

なお、f(k−1)≧f(x)を使うと、

　　

両辺に1/n²を加えると、

　　

 

 

では、上の解答を真似て、つぎの類題を解いてもらいましょうか。

 

類題

　　

は、α>1のとき、収束することを示せ。

 

ネムネコ、この曲を急に聞きたくなる♪

今しがた、明日の数学の記事をブログにアップしたのですが、例によって、So-net名物「１記事１０万字制限」のために数式のいくつかを画像に変換する必要に迫られた。
そして、この作業中、何故か、この曲を聞きたくなった。

さらに、この曲を聞いていて、「これってボサノバだよな」と気付いた。
今までこのことにまったく気づかなかったことに、さらなる強い衝撃を受けた（笑）。
何故、このことにまったく気づかなかったんだろう。恥ずかしい限りだ。
たまには、こういう曲もいいね。

アニソンにも、この曲に匹敵する名曲はあるので、それを紹介するにゃ。

この曲が使われていたツバサ・クロニクルを見ていた頃、この曲を作曲した梶浦由紀の才能に驚いたのだけれど、しかし、このヒトは同じような曲しか作曲できないので、次第に、「大したことねぇな」と思うようになった。
正規の音楽教育、作曲の教育を受けていないから、いくら、才能があったとしても表現の幅、引き出しがなくて、すぐに、マンネリ化、陳腐化してしまうんだよね〜。これは素人作曲家の宿命といってもいいのかもしれない。

ここに登場する「クロ様」、かっこいいにゃ。
それにしても、女性漫画家が描く男同士の関係って何ですぐにBL（Boys Love）っぽくなるんだろう。
クロ様とファイの関係は、どう見たって、BLだケロよ。
そう思わないケロか？

で、お前ら、問題は解けたのか？

で、お前ら、問題は解けたのか？

 

問題　x>0で、関数列が次のように定義されている。

　　

このとき、はx>0の各点で収束することを示せ。

 

「難しすぎて頭を抱え込むような問題ではない」と思うけれど、ヒントをいくつか出してやろう。

 

【ヒント１】

両辺の対数をとると、

　　

というに関する漸化式が得られる。

この両辺をlogxで引くと、

　　

・・・

 

このlogxはの極限値で、これからすぐに

　　

という答が導けたりして(^^)

 

 

もっとうまい方法は、x>0であることに注目！！

 

【ヒント２】

x>0なので、両辺をxで割ると、

　　

という漸化式が得られる。

この両辺の対数をとってもよし、（１）から直接一般項を導いてもよい。

 

なお、（１）式は、対数関数の

　　

という性質を使うと、

　　

と変形することも可能。

 

【ヒント３】

　　

これから、の一般項を推測し（「推測できるのならば」の話）、

　　

を求める。

 

まっ、こんなところですかね。

これだけヒントを出してやったのだから、どの方法でもいいから最後まで

画像元：下の動画

答は、

　　

だケロよ。

なお、
この問題は、の一般項を求めよという問題ではなく、極限値、極限関数を求めよという問題なので、必ずしもを求める必要はなく、極限関数だけを求めてもいい。

ただし、

　　

とし、

　　

の両辺の極限をとると、

　　

f(x)=0は解として不適だから、f(x)=xで、

　　

というのは無しだぜ。

これではあまりにひどすぎる。
ではあるが、これから「極限関数はf(x)=0かf(x)=xのいずれかだろう」と予想できることは事実である。

 

今日のアニソン、「新竹取物語 １０００年女王」から『コスモスドリーム』

今日のアニソンは、「新竹取物語 １０００年女王」から『コスモスドリーム』です。

さすがに、絵、曲ともに古いけれど、古臭いのが返って新鮮でいい曲のように感じられる。
ED曲はこちら↓

コアなヤマトファン、松本零士作品ファン（？）であるddt³さんは、きっと、何らかの反応を示すに違いない、と思うにゃ。
でも、ddt³さんの世代はヤマトファンとガンダムファンに２分されるから、ddt³さんはコアなガンダム党かもしれないが・・・。
ガンダムファンとヤマトファンとは仲が悪いにゃ(^^)

関数列の微分

関数列の微分

 

定理３

関数列を閉区間[a,b]上のC¹級の関数列とする。[a,b]でが関数f(x)に各点で収束し、かつ、がある関数に一様収束するならば、

　　

である。

【証明】

は[a,b]上でC¹級なので、は[a,b]で連続で、積分可能である。

x∈[a,b]とすると、

　　

はf(x)に各点で収束し、はその極限関数g(x)に収束するので、

n→∞の極限をとると、

　　

右辺は微分可能なので、f(x)も微分可能で、

　　

（証明終）

 

例１

　　

とすると、これはx≧1でC¹級で、f(x)=0に一様収束する。

　　

また、

　　

なので、も0に一様に収束する。

したがって、定理３より、

　　

となり、定理が成り立っていることがわかる。

 

問１　次の関数列が一様に収束することを示せ。

　　

【略解】

　　

また、

　　

なのでハサミ打ちの定理より、

　　

よって、関数列はf(x)=0に収束する。

　　

だから、一様に収束する。

（略解終）

 

例２

　　

はC¹級で、f(x)=0に一様に収束。

また、

　　

は、

　　

となり、一様収束ではない。

この例の場合、

　　

である。

 

例３

　　

で定義される関数列がある。

　　

となるので、この関数列の極限関数はf(x)=0である。

また、

　　

は、0に一様ではなく各点収束する。

しかし、

　　

が成立する。

 

例３を見るとわかる通り、が一様収束ではなく各点収束であっても、

　　

が成立することがある。

実は、が一様収束であるという条件は強すぎる。もっと縛りの弱い条件でも成立するのですが、これは微分積分の範囲を越えてしまうので、これ以上は語らない。

 

問２

　　

がx∈[0,1]であるすべて点xで収束することを示せ。また、一様収束でないことを示せ。

【略解】

　　

よって、[0,1]で0に収束し、極限関数はf(x)=0 (x∈[0,1]) である。

x=1/nとすると、

　　

となるので、一様収束ではない。

（略解終）

 

上の解答では、ずるい一様収束の判定を行ったが、

　　

を微分し、それから増減を調べ、

　　

となることを確かめるように。

 

 

お前らに問題 関数列の収束

お前らに問題

 

問題　x>0で、関数列が次のように定義されている。

　　

このとき、が各点で収束することを示せ。

 

ねこ騙し数学の過去の記事を探すと、この問題の答はどこかに出ているのだが、

お前らならば、この問題をどのように解くのか見てみたいので、問題にしてみたにゃ。

 

下の図を見れば、

　　

になるのは明らかだにゃ。

 

 

お前らのお手並みを拝見だにゃ。

 

お前ら、どういうつもりだ！！

今日、１２月１７日に、ねこ騙し数学の累計ページビューが２００万を越えたという喜ばしい記事をこのブログにアップしたのに、このアクセス状況は何だ。

ブラゲロ・マムシが生息する名古屋のマズ飯の記事紹介の方がアクセスが多いとは、お前ら、いったい、どういう了見をしているにゃ。

お前らには、他人（ひと）と喜びや悲しみをともにする同事の心が決定的に不足しているようだ。
お前らがここまで「人でなし」だとは思わなかったケロ。
そんなんじゃ〜、いつまで経っても「さとり（様）」に辿り着けないにゃ。

まったく、も〜。
ありえないケロよ。
オレはネコだけれど、お前らにはヒトを愛する心が欠けているにゃ。

愛を取り戻すべきだケロ。