「ハロウィーンにどくろ型小惑星」のうわさ、米NASAが否定 CNN [ひとこと言わねば]
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— cnn_co_jp (@cnn_co_jp) 2018年9月30日
今日のアニソン、アニメ「REC」から『Cheer!〜まっかなキモチ〜』 [今日のアニソン]
物理的な定積分の問題(高校の数学) [高校の微分積分]
物理的な定積分の問題(高校の数学)
過去(大昔)の大学入試に出題された、物理的な定積分の問題をいくつか紹介し、解くことにする。
問題1 x軸上を動く点Pがある。その測度は時刻tの関数として6(t²−3t+2)と表され、t=0における点Pの位置はx=1である。t=0からt=3の間に点Pが動いた道のりを求めよ。
【解】
速度をvとすると、
したがって、
0≦t≦1のときv≧0
1<t<2のときv<0
2≦t≦3のときv≧0
よって、t=0からt=3の間の道のりsは
(解答終)
t=aからt=bの間の道のりsは
ここで、vは時刻tにおける速度なので注意が必要。
問題2 2つの動点P、Qが定点Oから同時に出発して定直線上を同じ方向に動き出すものとする。それらのt秒後の速度がそれぞれ7t(4−t)、2t(3−t)(6−t)で与えられるとすれば、動き出したのちPとQがはじめて出会うのは何秒後か。
【解】
点P、Qのt秒後の位置をそれぞれx₁、x₂とすると、
点Pと点Qが出会うということはx₁=x₂ということ。
したがって、
t>0の最小の時間なので、4/3秒後。
(解答終)
問題3 x軸上を動く点Pの時刻tにおける位置はxで、速度はで表される。Pがx=2からx=3まで動くのに要する時間を求めよ。
【解】
問題の条件より
x=2のときの時刻を0、x=3の時刻をtとすると、
よって、23/6。
(解答終)
次のように解いたほうがわかりやすいのかもしれない。
【別解】
(別解終)
このあたりは好みの問題で、自分にとってわかりやすい方を選択すれば良い。
問題4 点(1,0)を出発してx軸上の正の方向に動く点Pがある。点Pの速さが原点からの距離に反比例するとき(ただし比例定数はkとする)、出発してからt秒後の点Pのx座標x(t)を求めよ。
【解】
問題の条件より
よって、
t=0のとき、x=1なのでC=1。
よって、
(解答終)
問題5 半直線OX、点Oのまわりを毎秒1ラジアンの角速度で回転している。OX上を運動する点Pが、時刻tにおいて点Oからcmの距離にあるという。時刻0秒から2π秒までの間に、点Pの動く道のりを求めよ。ただし、eは自然対数の底である。
【解】
時刻t=0におけるOXをx軸の正の部分にとり、点Pの座標を(x,y)とすれば、
よって、
したがって、道のりsは
(解答終)
類題 原点Oを始点とするベクトル
の終点Pの運動を考える。ただし、tは時刻を表す変数であり、eは自然対数の底である。t=0からt=2πまでPが動いた道のりを求めよ。
の終点Pの描く曲線とx軸とで囲まれる部分の面積と、t=0からt=2πまでPが動いた道のりを求めよ。ただし、a>0で、0≦x≦2πとする。
(答) 面積3a²π 道のり8a
今日のアニソン、「ささみさん@がんばらない」から『浸透圧シンフォニー』 [今日のアニソン]
二項定理の応用 等式の証明 [高校の微分積分]
二項定理の応用 等式の証明
二項定理
特に、
ここで、
問題1 次のことを示せ。
【略解】
x=1とおくと、(2)より
(略解終)
(2)にx=−1を代入すると、
などの関係式を、二項定理から導くことができる。
問題2 次のことを示せ。
問題3
をxで微分し
を導き、これを利用して、
を証明せよ。
【略解】
にx=1を代入すれば、
(略解終)
問題4
から微分法を用いて次の和を求めよ。
【略解】
の両辺にxをかけると、
両辺をxで微分すると、
両辺にxをかけると、
両辺をxで微分すると、
ここで、x=1を代入すると、
(証明終)
問題5
から微分法を用いて次の和を求めよ。
【解】
をxで微分すると、
両辺にx²をかけると、
両辺をxで微分すると、
x=1を代入すると、
よって、
(証明終)
問題6 次のことが成り立つことを示せ。
今日のアニソン、「東方」から『ケロケロ節』 [今日のアニソン]
標本の推定と検定の補充問題 [高校の統計]
標本の推定と検定の補充問題
問題1 A君のいるクラスのものの英語と国語の成績を調べたところ、右表のとおりであった。この試験でA君の成績は英語82点、国語91点であった。クラスの中の成績の順位からいえば、A君は英語と国語のどちらが順位が上と考えられるか。
【解】
の大小で判断すれば良い。ここで、xは得点、mは平均点、σは標準偏差である。
英語の場合、
国語の場合、
したがって、国語の順位が上である。
(解答終)
正規分布を仮定すると、
したがって、A君の英語の順位は100人中13番目、国語の順位は5番目くらいと考えられる。
問題2 ある学年の生徒数は700人で、先日行われた数学の学力テストの平均点は46点、標準偏差は5点であった。次の問に答えよ。
(1) 41点から51点までのものは、最低何人いると考えられるか。
(2) 26点から66点までのものは、何人より多いと考えてよいか。
【解】
チェビショフの定理(不等式)より、なる区間にいるものの数lは
(1) これはk=1の場合なので、
よって、0人以上
(2) これはk=3の場合なので、
よって、652人以上
(解答終)
(1)は、ほとんど意味のない情報(笑)。
なお、正規分布を仮定すれば、
(1)はz=1の場合なので、
から約477人。
(2)はz=4の場合なので、
よって、700人。
66点は偏差値90,26点は偏差値10だから、700人全員がこの範囲に収まってしまう。
ネムネコが考えるに、この数学のテストの大問が5題であったとすれば、大問2題は誰でも解けてしまう簡単な問題で、残りの3つの問題はあまりに難しくて、ほとんど全ての生徒は手も足も出せないダルマさん状態になってしまっていたと考えられ(笑)。
問題3 事象Aが起こる確率が0.05以下のとき、Aが起こることは「めずらしい」ということにする。男子の出生率が0.5のとき、6人のうち5人以上の男子が生まれることは珍しいといえるか。
【解】
6人のうち5人以上の男子が生まれる確率は、
なので、「めずらしい」とは言えない。
(解答終)
類題 ある風邪薬の新薬のきく確率は0.8だといわれている。これを8人の患者に飲ませたとき7人以上の患者に聞くことは「めずらしい」といえるか。
【略解】
よって、「めずらしい」と言えない。
(略解終)
母平均の推定
1つの標本の分布から母平均の平均を推定するには、
n個の標本を任意抽出し、その平均、標準偏差σ、母集団の平均をmとすれば、
(1) と推定する信頼度は95%
(2) と推定する信頼度は99%
問題4 ある高校3年生の男子250人の平均身長は165.4cm、標準偏差は5.6cmであった。この男子生徒の身長を95%の信頼度で推定せよ。
【解】
よって、
よって、95%の信頼度で165.4±0.70cm。
問題5 1つの貨幣を10回投げて表が出る実験を8回行った。その結果は次のとおりであった。
4, 5, 3, 5, 6, 4, 6, 5
(1) 表が出た回数の平均値と標準偏差を求めよ。
(2) (1)をもとに、信頼度95%で表の出る真の確率を推定せよ。
【解】
(1) 表が出る平均回数をm、標準偏差をσとすると、
(2) 標本の表の出る平均確率は0.475、標本の数n=8、標準偏差σ=0.0968だから、信頼度95%の信頼度では
よって、
(解答終)
問題5
(1) ある円板の直径を10回測ったら、次の値(単位mm)を得た。真の直径を95%の信頼度で推定せよ。
10.3, 10.1, 9.9, 10.2, 9.9, 10.2, 10.1, 9.9, 10.1, 10.2
(2) この円板の直径を95%の信頼度で、しかも0.01mmの精度で求めるには、何回測定しなければならないか。
【解】
(1) 標本の平均を、真の直径をmとする。
標準偏差σは
したがって、
よって、
(2) 信頼度95%なので
となるようにnを定めれば良い。
よって、
したがって、830回。
(解答終)
(1)の答は、10.1±0.1としたほうがいいのかもしれない。という数字に意味があるかどうか微妙だから。
であるとすれば、
なので、標準偏差σ=0.14がいいのかもしれない。
だとすれば、(2)の答えは、
となり、784回となる。
どこで小数点何位で四捨五入をするかによって計算結果がこうも劇的に異なるのかと驚くネムネコであった。
問題6 の値が2以下ならば優位水準5%としての事象の成立は正しいとし、2より大きければその事象の成立は棄却される。
いま25人1組に新しい教育方法で数学を教えたら、1年間の平均成績が84点であった。いままでの教育方法では平均82点で標準偏差は4である。新しい教育方法は効果があったといえるか。
【解】
「新しい教育方法は効果がない」と仮定する。
新しい教育方法での平均点、m=82、σ=4とすると、
となり、この仮説は棄却される。
よって、新しい教育法は効果があった。
(解答終)
問題7 ある大学では1年生に対して毎年同じテストを行っている。昨年度の1年生の成績は平均点64.5、分散20の正規分布に従っていた。今年度の1年生にも同じテストを行い、無作為に8人を抽出しところ点数は次のとおりであった。
66, 73, 55, 69, 70, 67, 62, 71
今年度の1年生の平均点は昨年度よりも高いか有意95%で検定せよ。ただし、今年度の分散は昨年度と同一であるとする。
【解】
昨年と変わらないと仮定する。
なので、
よって、この仮説は棄却されない。
したがって、平均点は昨年度より高くないと考えられる。
(解答終)
問題8 ある工場の経験によると7mmボルトの規格の製品の寸法はほぼ正規分布をしており、標準偏差は0.20mmであるという。ある日の製品から16個のボルトを無作為抽出したところ、その寸法の平均が7.09mmであった。この日の寸法の平均は規格から外れているか。優位水準0.05で検定せよ。また、この日の寸法の寸法の平均μを95%信頼区間を求めよ。
【解】
この日の標本平均をとすると、
よって、この日の寸法の平均は規格から外れていない。
また、95%の信頼区間は、
(解答終)
今日のアニソン、「艦これ」から『華の二水戦』 [今日のアニソン]
スラバヤ沖海戦
https://goo.gl/6Krhy6
https://goo.gl/2Ss9su
ボロい、(新型の)駆逐艦並みの兵装、紙装甲etc.、こんな船、使い道がなくて当たり前だにゃ。
もし川内型三姉妹と暁型四姉妹が戦ったならば、排水量の合計は半分にも満たないけれど、暁型四姉妹の圧勝に終わったと思うにゃ。
対して、川内型軽巡の川内、神通が戦闘に参加した、ブーゲンビル沖海戦、コロンバン沖海戦などでは敵の格好の標的以外になっていないケロ。コロンバン沖海戦で活躍したのも、やはり、雪風などの新型駆逐艦だにゃ。コロンバン沖海戦では神通が的になってくれたので、神通以外の船はほとんど被害を受けずにすんだという面はあるのだが・・・。
独立試行の確率の補充問題 [高校の統計]
独立試行の確率の補充問題
独立試行の確率
1回の施行で、事象Aの起こる確率をpとする。この施行をn回繰り返すとき、事象Aがk回起こる確率は
独立試行で最大確率の場合の回数
1回の施行で事象Aの起きる確率をpとするとき、n回の施行のうちで事象Aがr回起きる確率が最も大きいとすれば、次の不等式が成り立つ。
問題1 1つのさいころを5回投げるとき、
(1) 4の目が3回出る確率求めよ。
(2) 4の目が3回以上出る確率を求めよ。
【略解】
4の目がk回出る確率をと表すことにする。
(解答終)
類題 1つのさいころを3回投げるとき、次の確率を求めよ。
(1) 1の目がまったく出ない確率
(2) 1の目が1回出る確率
(3) 1の目が2回以上出る確率。
【略解】
1の目がk回出る確率をで表すことにする。
(略解終)
1の目が2回以上でる事象の余事象は、1の目がまったく出ない、または、1の目が1回出る事象なので、余事象の確率を使い次のように求めることもできる。
問題2 AとBが互いに1つのさいころを投げて、最初に2の目を出したものを勝ちとする。Aから始めるとき、
(1) Aが勝つ確率を求めよ。
(2) Bの勝つ確率はAと同じと言えるか。
【解答】
(1) nを正の整数とするとき、Aから交互にコインを振ってAが2n−1回目に勝つのは、2n−2回目まで2以外の目が出て、2n−1回目に2のさいころの目が出るとき。
このときの確率は
よって、Aが勝つ確率は
(2) Bの勝つ確率は
なので、Aの勝つ確率と同じではない。
(解答終)
類題 袋の中から1から10までの番号を書いた札が1つずつ入れてある。いまA、B2人がAからはじめて交互に1枚ずつ札を取り出し、先に1の番号の札を出したものを勝ちとする。取った札は必ず元に戻すことにすれば、A、Bが勝つ確率はいくつか。
【略解】
Aが勝つ確率は
Bが勝つ確率は
(略解終)
問題3 さいころを振って、偶数の目が出たらそのたびにもう1回振り、奇数の目が出たらそこで止めるものとし、k回でやめとなればk円もらえるものとする。最大回nまで振るものとし、その期待金額をとするとき、を求めよ。
【解】
k回でやめになる確率をとすると、これはk−1回連続で偶数が出て、k回目に奇数が出る事象の確率になるので、
よって、期待金額は
両辺を1/2倍すると
①と②の差をとると、
よって、
(解答終)
問題4 さいころを50回投げるとき、5の目が何回出る確率が最も大きいか。
【解】
n=50、p=1/6、5の目が出る確率が最大となる回数をrとすると、(2)より
よって、8回
(解答終)
類題 硬貨を100回投げるとき、表が何回出る確率が最も大きいか。
【解】
p=1/2、n=100、表の出る確率が最大である回数rとすると、
よって。50回
(解答終)
問題5 さいころをn回振るとき、少なくとも1回6の目が出る確率が0.9より大きくなるか。ただし、log₁₀2=0.3010、log₁₀3=0.4771とする。
【解】
題意より、
両辺の常用対数をとると、
ここで、
よって、
したがって、
よって、n=13回。
(解答終)
考えるネムネコ(高校の微分編) [高校の微分積分]
考えるネムネコ(高校の微分編)
この連休中、実家に帰っていて、ネムネコが高校時代に使っていた数学の参考書を覗いていたら、次のような解答があった。
問題 x+y=a(a>0)のとき、√x+√yの最小値を求めよ。
【解答】
x+y=aよりy=a−x。
とおき、微分すると
よって、0<x<a/2のとき増加、a/2<x<aのとき減少で、x=a/2のとき極大(最大)。
で、
よって、x=0、y=aまたはx=a、y=0のときに最小で最小値は√a
(解答終)
といったようにこの問題を解くのだそうだ。分子の有理化をして解くあたり見事で、ここでの有理化は気づきにくいのではないか。
なお、問題にはないけれど、x=y=a/2のとき最大で最大値はだケロ。
上のグラフを見れば、x=a/2に関してf(x)が対称であることもわかるだろう。
(対称であることを示せ!!)
この解答にケチをつけるつもりはないけれど、
u=√x、v=√yとおくと、
となり、u+v(u≧0、v≧0)の最小値を求める問題になる。
だから、この問題は、原点を中心とする半径√aの円u²+v²=aとu+v=kという直線のお絵かきすることで簡単に解けてしまう。
何でもかんでも微分すりゃ〜いいというもんでもないだろうに・・・。
なお、最大値は、シュワルツの不等式を使うと、
と求めることも可能。
もちろん、最大値は、原点と直線x+y=kの距離を用いて
と求めてもいいだろう。
円と直線が接する時に最大になるので、みんなが大好き判別式を使って解くこともできるだろう。
ということで、お前ら、次の問題を解くにゃ。
問題 √x+√y=1のとき、x+yの最小値を求めよ。 (答 1/2)
なお、この問題は大学入試の問題です。
解いた奴は、「オレはこんなふうに解いた」と、コメント欄にその解答を書いて送るにゃ。
もちろん、
これをx+yに代入し、
とし、微分を使って解いてもいいにゃ。
こう解く場合、微分を使わずに、
と行きたいところだが・・・。
中には、
とおき、ラグランジュの未定乗数法を使って解く物好き、猛者もいるかもしれない(^^)