ラグランジュの未定乗数法を用いて・・・ [偏微分]
「ラグランジュの未定乗数法」を使って解けという次の問題をたまたま見かけた。
しかも、答が間違っているというオマケ付き(^^ゞ
「たとえ、大学の数学の先生のものであろうと、ヒトの答を迂闊に信じてはいけない」ということを教えるために、その身を犠牲にして、わざわざ間違った答を書いたに違いない！！
定理 ラグランジュに未定乗数法
条件g(x,y)=0のもとで、f(x,y)が極値をとるx、yの値は、
とおいたとき、
の解である。
問題 楕円x²+xy+y²=1/4と原点との最短距離を求めよ。
ラグランジュの未定乗数法を用いれば確かにこの問題は解けるのだけれど、極座標を用いると、次のように簡単に解ける。
【解答例】
とし、楕円x²+xy+y²=1/4に代入すると、
したがって、楕円x²+xy+y²=1/4と原点との最短距離は1/√6。
（解答終）
−1≦sin2θ≦1だから、
したがって、x²+xy+y²=1/4と原点との最長距離は1/√2である。
何もわざわざ難しく解くことはないと思うけれど、ラグランジュの未定乗数法の練習問題ということで・・・。
【別解】
楕円x²+xy+y²=1/4上の点P(x,y)と原点Oとの距離OPとすると、
OP>0だから、OPが最小のときにOP²は最小。
そこで、
とおき、g(x,y)=0の条件下でのf(x,y)の極値を調べる。
とおき、ラグランジュの未定乗数法を用いると、条件g(x,y)=0下でf(x,y)が極値をとる(x,y)は、
②、③が自明解(x,y)=(0,0)以外の解を持つためには、
でなければならない。
λ=2/3のときx=y、λ=2のときx=−y。
x=yとして①に代入すると、
このとき、
y=−xとして②に代入すると
このとき、
x²+xy+y²=1は有界な閉集合でf(x,y)=x²+y²は連続関数なので、最大・最小値が存在し、f(x,y)は
のときに極小かつ最小。
よって、楕円x²+xy+y²=1/4と原点との最短距離は1/√6。
（別解終）
こんな簡単な問題でも、ラグランジュの未定乗数法を使って極値を求めるのはとにかく面倒くさいんだケロ。
問 x²+y²=1のとき、x²+3y²の最大、最小値を求めよ。
【解答例】
x²+y²=1だから
これをx²+3y²に代入すると、
したがって、x=0、y=±1のときに最大値3、x=±1、y=0のとき最小値1である。
（解答例終）
【別解１】
x²+y²=1は単位円なので、円周上の点(x,y)は
と表すことができる。
したがって、
よって、θ=π/2、3π/2のとき、すなわち、x=0、y=±1のとき最大で最大値は3、θ=0、π、すなわち、x=±1、y=0のとき最小で最小値は1。
（別解１終）
【ラグランジュの未定乗数法による略解】
とおき、
②、③の自明解(x,y)=(0,0)は①を満たさないので不適。
②、③が自明解(x,y)=(0,0)以外の解を持つ条件は、
λ=1のとき、③よりy=0。よって、①よりx=±1。
このとき、
λ=3のとき、②よりx=0。よって、①よりy=±1。
x²+y²=1は有界閉集合で、f(x,y)=x²+3y²は連続関数なので、最大値、最小値をもつ。
したがって、x=0、y=±1のとき、f(x,y)は極大かつ最大で、最大値は３。
x=±1、y=0のとき、f(x,y)は極小かつ最小であり、最小値は１。
（解答終）
練習問題２ g(x,y)=x²+y²−1=0の条件下で、f(x,y)=xy+x+yの最大値、最小値を求めよ。
x²+y²=1だから、x=cosθ、y=sinθ（0≦θ<2π）とし、
として解くもよし、
だから、xy+x+yにこれを代入して、最大・最小問題にして解くもよし、
対称性に注目し、u=x+y、v=xyとおき、
として解いてもよい。
ただし、対称性に注目して解くとき、x、yが実数であることから、
という条件がつくことを忘れてはいけない。
お前らに質問（８月２８日）の答えだケロ！！ [偏微分]
お前らに質問（８月２８日）の答えです。
問題１ 次の関数fの定義域を答えよ。
この答えは、（３）の「わかるか、ボケ！！」です。
（１）の0≦x≦1は、関数2x、合成関数f(2x)の定義域です。
（２）の0≦x≦2は、関数2x（定義域0≦x≦2）の値域で、関数fの定義域Dの部分集合です。
ですから、正解は（３）の「わかるか、ボケ！！」です。
（２）と答えたヒトには半分くらい点数をやってもいいかな(^^ゞ
問題２ 次の等式は一般に成立するか。
ただし、aは定数である。
この等式は一般に成立しません。
の意味なので、一般に
です。
だから、合成関数f(ax,ay)のxに関する偏微分を
と書いてはいけない。これは意味が違う。
これは１変数の合成関数の微分でも同じことが言える。
とすると、
であって、
である。
合成関数f(ax)の微分は、u=axとおくと、
だから、f'はxで微分したものではないんだケロよ。
同様に、合成関数f(ax,ay)のxに関する偏微分は
など書くべきであり、ものすごくうるさいことを言うと、重箱の隅を突きをすると
と、さり気ない顔で、涼しい顔をして、すり替えるのはすこし問題があるのであった。
お前らに質問！！（８月２８日） [偏微分]
関数の超〜基本問題だケロ。お前ら、解くケロ！！
問題１ 次の関数fの定義域を答えよ。
答えは、三択にしておこう。
（１） ０≦ｘ≦１
（２） ０≦ｘ≦２
（３） わかるか、ボケ！！
どれでしょうか？
正しく答えられるヒトは意外に少ないのかもしれない。
問題２ 次の等式は一般に成立するか。
ただし、aは定数とする。
一般論として、「成立するか」という問の答えは、「成立しない」の場合が圧倒的に多い(^^)
成立する場合は、「このことを証明せよ」と問うから。
包絡線 [偏微分]
包絡線
αをパラメータとして含む曲線群
f(x,y,α)をC¹級とする。
曲線群と包絡線の接点を(x,y)とすると、xとyはαの関数である。これを
（１）と（２）は接するのだから、
ゆえに、包絡線は
逆に（４）の２つの方程式から
（４）より
（５）をαで微分すると、
（６）より
だから
したがって、
でないならば接する。
少し補足説明する。
例えば、 
αの値を一つに固定すると、たとえば、α=1とすると、①は中心(1,0)、半径1の円になる。
次にα=1/2とすると、中心(1/2,0)、半径1/2の円になる。このようにαを変化させれば、中心(α,0)、半径｜α｜の曲線群を得ることができる。
図から明らかなように、この曲線群は、αの値にかかわらず、y軸、つまり、x=0に接する。つまり、x=0が①の包絡線ということになる。
問題１ 次の曲線群の包絡線を求めよ。
【解】
（１） αで偏微分すると
で、
よって、包絡線は放物線y²=4x
（２）
（３）
x=0は特異点の軌跡。
（解答終了） 
したがって、x=0、y=αは特異点。
また、 
問題２ 次の包絡線を求めよ。
（１） 円x²+y²=r²のy軸に平行な弦を直径とする円の曲線群（２） 座標軸で切り取られる部分の長さが一定である曲線群
【解】
（１） 弦の両端をA、B、その中点をCとし、C(α,0)とする。
よって、円の方程式は
（２） 直線の方程式を
②をαで微分すると
③に代入すると、
とおくと、
よって、アステロイドになる。
（解答終了）第２６回 平面曲線２ [偏微分]
第２６回 平面曲線２
前回に続きまして、f(x,y)=0で表される平面曲線をやりますにゃ。
で、まず、前回のおさらい。
関数f(x,y)が
級（偏微分可能で、偏微分した関数が連続）であり、点(a,b)をこの曲線上の点とするにゃ。
このとき、
が同時に０にならない点(a,b)を通常点、
になる点(a,b)を特異点というケロ。
さらに、(a,b)が通常点であるならば、この点(a,b)での接線はただ一つで
になるケロ。
ここまでが前回の復習。
で、f(x,y)を
級関数、点(a,b)をf(x,y)=0の特異点とする。それで、
が同時に０にならないとき、この点(a,b)を２重点という。
それで、
とするとき、
２重点は
（１）D<0ならば結節点で、点(a,b)で相異なる２接線が引ける （２）D=0ならば通常は尖点で、点(a,b)で接線は１本
（３）D>0ならば孤立点で、その小さな近傍での曲線の部分は点(a,b)である
何故かは知らないにゃ。
ちなみに、
結節点は
この図形の点(0,0)のところ。
の原点(0,0）。
孤立点は
の原点だにゃ。
で、問題を一つ。
問題 次の曲線の特異点を調べ、曲線の概形を描け。
【解】
とおいて、偏微分するにゃ。
だにゃ。
このことから、
として、特異点を求めるにゃ。
点(0,0)が曲線
にあることは明らかだけれど、(0,−2a/3)が曲線上にある保証はないケロ。
となる。
このことから、(0,−2a/3)が曲線上の点であるためにはa=0となり、結果的に、特異点は(0,0)だけとなるにゃ。これで特異点は求まったにゃ。で、判別式Dを使って、特異点の種類を調べるにゃ。このためには２階偏微分が必要なので、計算するにゃ。
これから、点(0,0)が２重点あることがわかるにゃ。
さらに上の結果を使って、点(0,0)での判別式Dの値を求めると
となる。
以上のことから、点(0,0)は
a>0ならばD<0で結節点
a=0ならばD=0で尖点
a<0ならばD>0で孤立点
となるケロ。
で、前の３つの図はa=1、a=0、a=−1ののものなんだにゃ。
腕に自身のある奴は、次の宿題を解いてみそ。
宿題 次の曲線の概形を描け。
第２５回 平面曲線の接線の方程式 [偏微分]
第２５回 平面曲線の接線の方程式
通常点と特異点
f(x,y)を級とし、a=(a,b)を曲線f(x,y)=0上の点とする。
このとき、
が同時に０にならないときaを通常点といい、
となるときは特異点という。
それで、陰関数定理より
ならばaの近傍でこの曲線はy=φ(x)、
ならばaの近傍でx=φ(y)
と表すことができるケロ。
また、通常点aではただ一つの接線が存在し、その方程式は
となる。
このことは、のとき、
となり、接線の方程式が
となることからわかると思うにゃ。
ということで、簡単な問題をやってみるにゃ。
問題 次の曲線の点
での接線の方程式を求めるケロ。
【解】
での接線の方程式は①より 
これは、当然だけれども、１変数の微分を使って
違ったら、大変だケロ(^^)
それで、①の良い点は、
の場合で考えてみるとわかるにゃ。
あまりうるさいことを考えないで、機械的にdy/dxを求めてみるにゃ。
になるので、
になるね。このことから、点(±1,0)でdy/dxが存在しないことがわかるにゃ。y=0だから、数学の大禁則ゼロ割りが発生してしまうからだにゃ。
つまり、点(±1,0)でこれは微分可能じゃないんだケロ。だから、
とかは使えないにゃ。
でも、①式は
と接線の方程式が出てくるんだにゃ。
凄いと思わないケロか？
「⑨ネコ、ちょっと待った！！」
「
となるので、陰関数定理から、y=φ(x)と一意に決まる保証がないじゃないか」
「オレが書いた部分をよく読んでみるにゃ。この点では
だから、(1,0)の近傍ではx=φ(y)と一意に決まるんだよ。だ・か・ら、問題は発生しないにゃ」
だけど、
だと、
しかも、この点では接線が２個あるんだケロ。
この話は次回ということで。
第２４回 極値に関する問題の演習 [偏微分]
第２４回 極値に関する問題の演習
問題１ 次の関数に極値があれば求めよ。
【解】
（１）
とする。で、これをｘとｙに関して偏微分をして停留点を求めるにゃ。
すると、
となり、この連立方程式を解くと(x,y)=(0,0)。
だから、
は極小値。
（２） 
となり、(x,y)=(0,0)は停留点。
（３） これは見ただけで最小値が３だとわかるにゃ。
たぶん、
になる。
でも、x=0だと、 
となるので、これに(x,y)=(1,1)の値を代入すると、A>0、D>0になり、f(1,1)=3が極小値であることがわかるケロ。
問題２ 
の定める陰関数yの極値を求めよ。
【解】
とする。
となって、この連立方程式の解(x,y)は(1,−3)、(−1,3)だにゃ。
で、
だから、
となるにゃ。
だから、(1,−3)では
となり、極小。(−1,3)では
となり極大。よって、x=1のとき極小で、極小値は−3、x=−1のとき極大で、極大値は3となる。
問題３ 次の関数ｆの示された条件での極値を求めよ。
【解】
として、ラグランジュの未定乗数法を使うと
となるにゃ。
最初の２式より
となるので、
よって、
で、
よって、
(x,y)=(1/√5,4/√5)のとき極大で極大値は√5
(x,y)=(−1/√5,−4/√5)のとき極大で極大値は−√5になる。
y=4xという関係があるので、
として計算してもいいケロ。
こっちの方が計算は楽だにゃ。第２３回 ２変数関数の極値のまとめ [偏微分]
第２３回 ２変数関数の極値のまとめ
これまで２変数関数の極値の求め方について説明してきましたにゃ。
で、ここで改めて２変数関数の極値に関する定理をまとめて書くにゃ。
まず、極値（極大値、極小値）の定義から。
関数f(x)=f(x,y)の定義内の点をa=(a,b)とする。正の数δを適当に小さくとれば、ｆの定義内の点xに対して、
になるとき、ｆは点aで（狭義の）極大という。
になるときｆは点aで（狭義の）極小という。
ここで、斜体字のxはx=(x,y)、a=(a,b)だと思ってくださいな。斜体の太字は、ベクトルを表すんだにゃ。
で、次は２変数関数の極大・極小の判定に関する定理。
定理 （２変数関数の極値の判定）
関数f(x,y)を開集合Uで定義された関数とする。
である。この条件を満たす点(a,b)を停留点という。
（２）ｆが級の関数とする。点(a,b)が停留点ならば、
とするとき、
である。
極値の判別式であるDは、基本的に２次方程式の判別式と同じものなので、本によっては
で定義しているものがある。このとき、D<0になる時に極値が存在することになるので、ここは注意して欲しいにゃ。
２次不等式のところで、
としたとき、すべての実数でf(x)>0がになるとき、
になるという話をしたけれど、これと基本的に同じなんだにゃ。
判別式のacの前の係数が1と4で違うじゃないかと疑問に思うかもしれないけれど、極値の判定のときは
の時の判別式になっていて、
になるので、
になる。判別式で欲しいのは、正負の符号と、それが０になるかどうかだから、このD/4も判別式と呼ぶんだにゃ。
つぎは、f(x,y)で定まる陰関数y=φ(x)の極値に関する定理。
定理 （f(x,y)=0で定まる陰関数の極大・極小）
f(x,y)を級の関数、y=φ(x)がf(x,y)=0で定まる陰関数であるとする。このとき、このときy=φ(x)がaで極値b=φ(a)をとるならば、
であり、
である。
何でこうなるかは、極値をとる点(a,b)では
となり、極大のとき
で、極小のとき
となるから。
「−」がかかっているので、０との大小関係が変わっていることに注意して欲しいにゃ。
最後にラグランジュの未定乗数法の定理。
定理 （ラグランジュの未定乗数法）
f(x,y)、g(x,y)が級関数とする。条件g(x,y)=0でf(x,y)が極値をとる点(a,b)では、定数λがあって、次が成り立つ。
これも本によったら、
式の形が少し違っているから面食らうかもしれないけれど、この２つの式は同じ内容を表しているにゃ。
これまでにも何度も出てきているけれども、
級関数というのはn回（偏）微分できて、その（偏）微分した関数が連続である関数のことね。 
級なんて気にすることないにゃ。第２２回 違う方法で解く [偏微分]
第２２回 違う方法で解く
問題１ 
のとき、x+yの最大、最小値を求めよ。
x+y=kとおき、y=k–xをに代入する。
xは実数なので、上のxの２次方程式は実根を持たなければならないにゃ。
で、判別式を使うと、 
よって、最大値は√2、最小値は−√2。
【別解２】
なので、x=cosθ、y=sinθとするにゃ。 
この他にも解答は幾つか考えられるけれど、このあたりが代表的なものなんだろう。
ちょっと毛色の違う解答を示すならば、コーシー・シュワルツの不等式
問題２ 
のとき、
の最大値と最小値を求めよ。
【別解１（？）】
だケロ。
ここで、相乗平均≦相乗平均 
で、
なので、
となる。
等号が成立するときは 
相乗平均≦相加平均を使うときは、これを満たすｘとｙなどの値が存在することを示さないといけないにゃ。問題によっては、そんなｘとｙが存在しないことがあるので。
【別解２（？）】
として、
と正弦関数の２倍角の公式を使ってもいいにゃ。
そうすれば、
だから、・・・。
前回やった程度の問題ならば、ラグランジュの未定乗数法や微分積分すら使う必要がないんだにゃ。
「ラグランジュの未定乗数法をどのように使うか」の練習問題だったワケなんだにゃ。
という制限がついている時、x=acosθ、y=asinθとすると、１変数関数の最大、最小問題に直せるので、こうした方が一般的に計算や議論が楽だにゃ。
ならば、x=acosθ、y=bsinθとするにゃ。
のときは、
と考え、
とすればいいにゃ。
第２１回 ラグランジェの未定乗数法 [偏微分]
第２１回 ラグランジェの未定乗数法
たとえば、x+y=1のとき、
の最小値を求めよという問題があるとするにゃ。
これやy=1–xとｙを消去すれば、
となるので、x=(y=)1/2のときに最小で、最小値は1/2となることがわかるにゃ。
微分を使って、
などから、最小値を求めてもいいにゃ。
だけど、
のとき、
の最小値を求めよというような問題だと、ｘやｙを消去してというわけにはちょっといかない。
しかし、ラグランジェの未定乗数法という方法を使うと、こうした制限付きの極値問題や、最大値・最小値の問題を解ける場合がある。
だから、ねこ騙し数学においても、ラグランジュの未定乗数法をやろうじゃないか、という訳だにゃ。
仮にφ(x,y)=0という制限がついていたとするにゃ。φ(x,y)が級で、
ならば、陰関数定理より、φ(x,y)=0で定まる陰関数y=ψ(x)が存在するにゃ。
となり、これをxで微分すれば
で、陰関数定理から
となるから、
となるにゃ。
で、g(x)がx=aで極値をとるとするとg'(a)=0なので、b=ψ(a)とすると、
で、
とすると、
さらに、
ならば、
となり、
も成立するにゃ。
が成立するのは、(A)より
となり、なので、
で、
でもある。
未知数はa、ｂ、λの３つ、方程式は①、②、③の３本だから解けるはずだ、というわけだケロ。本当に、このラグランジュの未定乗数法で解けるか、最初の例でやってみるにゃ。
とするにゃ。
で、 
として、これをxとyでそれぞれ偏微分すると、
となるにゃ。
この上の式を下の式で引けば、x=yになるので、x+y–1=0と合わせれば、x=y=1/2となり、このことから、f(x,y)の極値（？）が
という訳だにゃ。
問題１ 
のとき、x+yの最大値と最小値を求めよ。
【解】
として、ラグランジュの未定乗数法を用いる。
よって、
これを
に代入すれば、λは出てくるけれど、欲しいのはλじゃなくて(x,y)だから、x=yを使えば
となり、このことから
となり、x+yの最大値が√2、最小値が−√2であることがわかるにゃ。
問題２ 
のとき、
の最大値、最小値を求めよ。
【解】
とするにゃ。
このことから、
そして、
④、⑤、⑥の連立方程式を解けばいいんだけれど、これは問題１の時と違ってちょっと厄介なんだケロ。
④から
これを⑤に代入すると、
この両辺に−2をかけて整理すると、
になる。
で、
ならば、これで両辺を割ることが出来て、x=0となり、そして、y=0となるにや。
でも、これは⑥式を満たさないから、
でなければならない。
で、このλに関する②次方程式を解けば
となるにゃ。
で、λ=−1を④に代入すると、
これを⑥式に代入すると、
λ=−5を④式に代入すると
これを⑥式に代入すれば、
となる。
この４つを
に代入すれば最大と最小値は出てくるにゃ。
最大値は２０、最小値は４になるはずだにゃ。 
の時が最大で２０、
の時が最小で４になるはずだにゃ。
線形代数なんかを知っている人は、④と⑥の連立方程式を解く時、これが(x,y)=(0,0)の時
でなければならない、とするとオシャレにゃ。
