こういうの、困ってしまうケロ・・・ [ひとこと言わねば]
こういうって、困ってしまうにゃ。
[0,1]で次の関数列が一様収束だというのはわかる(下図参照)。
しかし、[0,1]で定義されるこの関数列が一様収束だということを示せと言われると、ちょっと困ってしまう。
はてはて、どう証明したらいいものか。
これを使うか・・・。
よって、は一様収束・・・。
お絵かきすれば、x=1のときにが最大になるのはわかるが、これを示すのが結構、厄介だしな〜。
やっぱり困ってしまう。
この関数列の極限関数fは
なんだけどね。
ちなみに、は[0,1]で一様収束するので、積分と極限の順序の交換が可能で、次のように計算できる。
真面目に計算したところで、たいして難しくないので、この計算はお前らにやってもらおうか。
問 次の問に答えよ。
(1) 次の定積分の値を求めよ。
(2) 次の極限値を求めよ。
参考までに、
(2)の極限計算のところで、きっと、これが必要になる。
この動画を数えきれないほど多くの記事に埋め込んでいるので、被害が甚大だにゃ。
困ったケロよ。
チラッと見ただけで答がわかるのに、いったい、どんなふうに計算しているのやら。
今日のアニソン、「超昂閃忍ハルカ」から『風のように炎のように』 [今日のアニソン]
ナンパブログを追い抜くには、エロを入れるしかないケロ!!
雪が降って寒いから、こんなブログはやってられないにゃ [ひとこと言わねば]
なんで、オレがこんなつらい思いをしなければならないんだにゃ。
So-netブログの対する殺意と恨みがふつふつと湧いてきたにゃ。
したら、オレが何故切れるのか、この理由がわかるケロ。
北日本中心に今季一番の冷え込み 初雪も #nhk_news https://t.co/aqbxPNo6oO
— NHKニュース (@nhk_news) 2018年12月8日
オレは切れてチェックする気はさらさらないから、間違いを見つけた奴は、間違いの箇所をこの記事のコメント欄に書いて、ネムネコのもとに送信するにゃ。
位相の問題 距離空間の開核、閉包作用子 [位相入門]
位相の問題 距離空間の開核、閉包作用子
dをX上の距離(関数)とする。
1 x∈Xと、任意のε>0に対し、
となるXの部分集合をxのε‐近傍や開球という。
2 x∈Xに対して、Xの部分集合Uが、あるε>0が存在し、
を満たすとき、Uはxの近傍といい、xの近傍全体の集合を近傍系という。
3 Xの部分集合Aに対し、x∈Xが、あるε>0が存在し、
を満たすとき、xをAの内点という。Aの内点全体の集まりをAの開核といいなどで表す。
4 Xの部分集合Aに対し、x∈Xが、任意のε>0について、
を満たすとき、xをAの触点という。Aの触点全体の集まりをAの閉包といい、などで表す。
7 Xの部分集合Aに対し、x∈Xが、任意のε>0について、
を満たすと、xをAの境界点という。Aの境界点全体の集まりをAの境界といい、などで表す。
8 Xの部分集合Aに対し、x∈Xが、任意のε>0について、
をみたすとき、xをAの集積点といい、Aの集積点全体の集まりをAの導集合といい、などで表す。
定理1 を距離空間、をXの開集合全体の集まりとする。このとき、次のことが成り立つ。
【証明】
(1) 略
(2) x∈O₁∩O₂とすると、だから、あるε₁>0が存在し、B(x;ε₁)⊂O₁、あるε₂>0が存在し、B(x;ε₂)⊂O₂とできる。
そこで、正数εを
にとれば、
よって、
(3) x∈O₁∪O₂とすると、x∈O₁またはx∈O₂である。だから、
をみたすが存在する。
したがって、
よって、
(証明終)
定理2 AをXの部分集合とする。
Aが開集合⇔Aの補集合は閉集合
§2 問題編
問題1 を距離空間、AをXの部分集合とする。次のことを示せ。
【解】
(解答終)
問題1は、閉集合の補集合は開集合であることを、開集合の補集合は閉集合であることを表している。
問題2 を距離空間、A、BをXの部分集合とするとき、次のことを示せ。
【解】
(1) すべてのx∈X、すべてのε>0に対して。したがって、。
(3) (2)より、である。とすると、あるε>0が存在して、とすることができる。y∈B(x;ε)に対して、δ=ε−d(x,y)>0とおき、とすると、
よって、
ゆえに、
したがって、
(4) (3)よりはともに開集合なので、は開集合。ゆえに、任意のに対してとなるε>0が存在する。さらに(2)より、となり、。すなわち、。
とすると、となるε>0が存在する。よって、
すなわち、
よって、
したがって、
(解答終)
問題3 を距離空間、AとBをXの部分集合とする。このとき、次のことを示せ。
【解】
問題1の(1)と問題2の結果を使う。
(3) より、
(4) より、
したがって、
よって、
(解答終)
問題4 を距離空間、AとBをXの部分集合とする。このとき、次のことを示せ。
【解】
(1) よりは開集合。Oを開集合でO⊂Aとすると、任意のx∈Oに対して、あるε>0が存在して、B(x;ε)⊂G。
また、G⊂Aであり、B(x;ε)⊂A。
したがって、
よって、は集合Aに包まれる最大の開集合である。
ならば、任意のε>0に対して、
よって、
ゆえに、
よって、
(3)
(解答終)