お前ら、関数列の収束に関する、この問題を解けるか？ [お前らに質問]
お前ら、関数列の収束に関する、この問題を解けるか？
正確に言うと、この問題の答を解答の形式で書くことができるケロか。
問題
とすると、各点x≧0で
は極限をもつことを示せ。
また、この収束は一様収束か。
右のグラフを見れば、この関数列
が0に収束することはすぐにわかるでしょう。
だけど、これを解答の形にするのは意外に難しいかもしれない。
ということで、
問題自体は難しくないはずなので、この問題を解いてもらおうじゃないか。
明日の記事の予告 [ひとこと言わねば]
ddt³さんからいただいた微分方程式の数値計算に関する記事をブログにアップするにゃ。
これで１日分の数学の記事が助かった(^^)
さすが、マイクロ・ソフトの狗を自任するddt³さんだね。
エクセルという表計算ソフトで計算している。
た・ぶ・ん、計算に使用したスプレッドシートも送ってくれると思うので、もらったら、公開するにゃ。
関数列の収束の復習 [数列と級数]
関数列の収束の復習
閉区間[0,1]で定義される次のような関数があるとする。
すると、
という関数の列、すなわち、関数列
が得られる。
そして、xの値を1つに固定すると、関数列は数列となるので、極限を定義することができ、この数列の場合、n→∞の極限をとると、
となる。
この関数列のように、定義域全ての点で関数列が収束するとき、各点収束するという。
さらに、
という関数を定義すれば、
と表すことができる。このような関数f(x)を関数列の極限関数という。
関数列と関数f(x)に対し、任意のx∈Iを固定するときに極限
が存在し、
を満たすとき、f(x)をの極限関数といい、はfに各点収束するという。また、Iを収束域という。
これをε-δ論法で書けば、次のようになる。
任意のx∈I、ε>0に対して、ある自然数N(x,ε)が存在し、n≧N(x,ε)であるすべての自然数nについて
を満たすとき、f(x)をの極限関数といい、はfに各点収束するという。また、Iを収束域という。
ここで、N(x,ε)としているのは、自然数Nの値がxとεの値で決定されることを示す。
たとえば、上述の（１）の関数列の場合、
x=0のとき任意のε>0に対して、
が成立するので、N(0,ε)=1にとればよい。
x=1のときにも同様で、N(1,ε)=1にとればよい。
対して、0<x<1のとき、
両辺の対数をとると、
したがって、
に定めれば、
任意のε>0に対して、
とすることができる。
ではあるのですが、xが1に近づくとつれてN(x,ε)を限りなく大きく取らなければならなくなる。
ここで、記号[x]はガウス記号で、xを越さない整数のことである。
（注）
εの値によっては、
は負の整数になることがある。
したがって、
とすべきだが、ここでは、εは1に対して十分小さい正の数としている。
次に、0<a<1とし、
で定義される関数列について考えてみよう。
このとき、0≦x≦aである任意のxについて、
に収束する、つまり各点収束し、この関数列の極限関数は
である。
x=0のときは、前回同様にN(0,ε)にとればよい。
0<x≦a<1のときは、
となるが、前回とは違って、このN(x,ε)は青天井ではなく、
という上限が存在する。
だから、
任意のε>0に対して、xの値に無関係に、N(x,ε)を（３）式の値にを定めることができて、
とすることができる。
このように、xの値によらずにN(x,ε)を定められるとき、N(ε)と表すことにする。
任意の正数ε>0に対して、ある自然数N(ε)が存在して、任意のx∈Iとn≧N(ε)であるすべての自然数nについて、
を満たすとき、関数列はf(x)に一様収束するという。
このことは、
と同値である。
最初の例の場合、
つまり、 
の場合、
となり、n→∞のとき、これは０に近づかないので、一様収束ではない。（下図参照）
対して、0<a<1で、の場合、
となるので、一様収束ということになる。（下図参照）
なお、安直な判定法は、
が連続であるのに、極限関数f(x)が不連続ならば一様収束ではない
というものがある。
連続な関数から構成される関数列が一様収束ならば極限関数f(x)は必ず連続であるが、この逆は必ずしも成立しないので注意が必要。
たとえば、
関数列
は、極限関数f(x)=0に各点収束し、また、f(x)=0は連続であるが、[0,∞)で一様収束ではない。
