今日のアニソン、「メイドインアビス」から『Deep in Abyss』 [今日のアニソン]
絵を見た感じですと、お子様向けのアニメのようですが、実際はどうなんでしょう。
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［ベクトル3重積（外積編）］ [ddt³さんの部屋]
［ベクトル3重積（外積編）］
成分計算をほとんど使わない、ベクトル3重積（外積編）です(^^)。ただし任意次元への一般化は全く考えておりません。この前述べたようにa×記法は3次元以外では通用しないので、それなら3次元の特殊な幾何学事情をフルに使たって良いじゃないか！、という態度です(^^;)。
を示します。ここでa，b，cは3次元のベクトル，(*，*)は内積です。
最初にbとcが平行でなく両方とも0でないとします。b×cは、bともcとも直交し0でないので{b，c，b×c}は3次元空間の基底です。よってaは、
(1)
の形に表せます。α，β，γは適当なスカラーです。(1)の両辺にb×cをかけて内積をとれば外積の性質から、b×cはbともcともa×(b×c)とも直交するので、
(2)
です。b×c≠0だったので、(2)はγ＝0を意味します。従って、
(3)
で十分。(3)の両辺にaをかけて今度は内積をとれば、a×(b×c)はaと直交するので、
(4)
が得られます。(4)よりa×(b×c)は、
(5)
という形です。ξは適当なスカラーですが、要はξ＝1を示せばOKです。
ところでaも、
(6)
の形に表せます。{b，c，b×c}が基底だからです。(6)の両辺にb×cをかけ外積をとれば、(b×c)×(b×c)＝0なので、
(7)
ですが、(7)右辺に現れるb×(b×c)とc×(b×c)は、(5)でaが任意にとれる事に注意すると、
の形でなければなりません。ηとρはb×(b×c)とc×(b×c)の長さが決まれば求まります。そこでb×(b×c)の長さを検討すると、bとcの成す角をθとして、
9)
になります。
何故なら外積の定義から|b×c|2＝|b|2|c|2sin2θ，bとb×cは直交するので|b×(b×c)|2＝|b|2|b×c|2＝|b|2|b|2|c|2sin2θであり、内積の定義から、
を導けるからです。一方(8)右辺を直接2乗してやると（内積の意味で）、
(10)
(9)と(10)は等しいので結局、η＝±1です。次に、(8)上段右辺を（η＝±1とわかったので）、
(11)
と変形します。グラムシュミットの直交化を知ってる人なら、身に覚えがあるはずです。
(b，c)/|b|はcのbへの正射影です。b/|b|はb方向の単位ベクトルです。よって(11)右辺の2項目の()内の符号をかえたものは、bに左回りに直交するベクトルです。しかし外積は右ネジの法則に従うので、b×(b×c)は、bに右回りに直交するベクトルでなければなりません。図中の円弧矢印は、右ネジの法則を表しています。
よってη＝1です。c×(b×c)も同様なので、
とわかります(^^)。(12)を(7)に代入すれば、
(13)
が得られます。後は(13)の未定定数α，βを具体的に定めてやれば、結果を(5)にぶつけてやれるので、ξを決定できるはずです！。
(6)の両辺にb，cをかけて内積をとりましょう。b×cはbにもcにも直交するので、
(14)
とα，βが定まります。(14)でＤ＝|b|2|c|2－(b，c)2は、bとcが平行でなく両方とも0でないのでＤ≠0です。(14)を使えば、(13)の未定定数部分は、
これらの結果を(13)に代入すれば、
(15)
になります。ξ＝1でしたぁ～！。目立たしめでたしぃ～！(^^)。
最後に、bとcが平行であるか、どちらかが0の場合、(15)は明らかに0＝0の形で成立します。
・・・さて、計算の内情をゲロ（告白）しますか(^^;)。
以上の計算は全て基底{b，c，b×c}の係数に関するものでした。という事はじつは「成分計算をほとんど使わない」と言っておきながら、基底{b，c，b×c}に関する表現ベクトルの成分を延々と計算してたんですよ！。そうしながらも最後まで計算の方向性を見失わずに結論になだれ込めたのは、基底ベクトルとしてb×cを選んだからです。b×cを選んだおかげで、bとcが張る平面内で勝負できたからです(^^)。
