ネムネコ、この曲を急に聞きたくなる♪

今しがた、明日の数学の記事をブログにアップしたのですが、例によって、So-net名物「１記事１０万字制限」のために数式のいくつかを画像に変換する必要に迫られた。
そして、この作業中、何故か、この曲を聞きたくなった。

さらに、この曲を聞いていて、「これってボサノバだよな」と気付いた。
今までこのことにまったく気づかなかったことに、さらなる強い衝撃を受けた（笑）。
何故、このことにまったく気づかなかったんだろう。恥ずかしい限りだ。
たまには、こういう曲もいいね。

アニソンにも、この曲に匹敵する名曲はあるので、それを紹介するにゃ。

この曲が使われていたツバサ・クロニクルを見ていた頃、この曲を作曲した梶浦由紀の才能に驚いたのだけれど、しかし、このヒトは同じような曲しか作曲できないので、次第に、「大したことねぇな」と思うようになった。
正規の音楽教育、作曲の教育を受けていないから、いくら、才能があったとしても表現の幅、引き出しがなくて、すぐに、マンネリ化、陳腐化してしまうんだよね〜。これは素人作曲家の宿命といってもいいのかもしれない。

ここに登場する「クロ様」、かっこいいにゃ。
それにしても、女性漫画家が描く男同士の関係って何ですぐにBL（Boys Love）っぽくなるんだろう。
クロ様とファイの関係は、どう見たって、BLだケロよ。
そう思わないケロか？

で、お前ら、問題は解けたのか？

で、お前ら、問題は解けたのか？

 

問題　x>0で、関数列が次のように定義されている。

　　

このとき、はx>0の各点で収束することを示せ。

 

「難しすぎて頭を抱え込むような問題ではない」と思うけれど、ヒントをいくつか出してやろう。

 

【ヒント１】

両辺の対数をとると、

　　

というに関する漸化式が得られる。

この両辺をlogxで引くと、

　　

・・・

 

このlogxはの極限値で、これからすぐに

　　

という答が導けたりして(^^)

 

 

もっとうまい方法は、x>0であることに注目！！

 

【ヒント２】

x>0なので、両辺をxで割ると、

　　

という漸化式が得られる。

この両辺の対数をとってもよし、（１）から直接一般項を導いてもよい。

 

なお、（１）式は、対数関数の

　　

という性質を使うと、

　　

と変形することも可能。

 

【ヒント３】

　　

これから、の一般項を推測し（「推測できるのならば」の話）、

　　

を求める。

 

まっ、こんなところですかね。

これだけヒントを出してやったのだから、どの方法でもいいから最後まで

画像元：下の動画

答は、

　　

だケロよ。

なお、
この問題は、の一般項を求めよという問題ではなく、極限値、極限関数を求めよという問題なので、必ずしもを求める必要はなく、極限関数だけを求めてもいい。

ただし、

　　

とし、

　　

の両辺の極限をとると、

　　

f(x)=0は解として不適だから、f(x)=xで、

　　

というのは無しだぜ。

これではあまりにひどすぎる。
ではあるが、これから「極限関数はf(x)=0かf(x)=xのいずれかだろう」と予想できることは事実である。

 

今日のアニソン、「新竹取物語 １０００年女王」から『コスモスドリーム』

今日のアニソンは、「新竹取物語 １０００年女王」から『コスモスドリーム』です。

さすがに、絵、曲ともに古いけれど、古臭いのが返って新鮮でいい曲のように感じられる。
ED曲はこちら↓

コアなヤマトファン、松本零士作品ファン（？）であるddt³さんは、きっと、何らかの反応を示すに違いない、と思うにゃ。
でも、ddt³さんの世代はヤマトファンとガンダムファンに２分されるから、ddt³さんはコアなガンダム党かもしれないが・・・。
ガンダムファンとヤマトファンとは仲が悪いにゃ(^^)

関数列の微分

関数列の微分

 

定理３

関数列を閉区間[a,b]上のC¹級の関数列とする。[a,b]でが関数f(x)に各点で収束し、かつ、がある関数に一様収束するならば、

　　

である。

【証明】

は[a,b]上でC¹級なので、は[a,b]で連続で、積分可能である。

x∈[a,b]とすると、

　　

はf(x)に各点で収束し、はその極限関数g(x)に収束するので、

n→∞の極限をとると、

　　

右辺は微分可能なので、f(x)も微分可能で、

　　

（証明終）

 

例１

　　

とすると、これはx≧1でC¹級で、f(x)=0に一様収束する。

　　

また、

　　

なので、も0に一様に収束する。

したがって、定理３より、

　　

となり、定理が成り立っていることがわかる。

 

問１　次の関数列が一様に収束することを示せ。

　　

【略解】

　　

また、

　　

なのでハサミ打ちの定理より、

　　

よって、関数列はf(x)=0に収束する。

　　

だから、一様に収束する。

（略解終）

 

例２

　　

はC¹級で、f(x)=0に一様に収束。

また、

　　

は、

　　

となり、一様収束ではない。

この例の場合、

　　

である。

 

例３

　　

で定義される関数列がある。

　　

となるので、この関数列の極限関数はf(x)=0である。

また、

　　

は、0に一様ではなく各点収束する。

しかし、

　　

が成立する。

 

例３を見るとわかる通り、が一様収束ではなく各点収束であっても、

　　

が成立することがある。

実は、が一様収束であるという条件は強すぎる。もっと縛りの弱い条件でも成立するのですが、これは微分積分の範囲を越えてしまうので、これ以上は語らない。

 

問２

　　

がx∈[0,1]であるすべて点xで収束することを示せ。また、一様収束でないことを示せ。

【略解】

　　

よって、[0,1]で0に収束し、極限関数はf(x)=0 (x∈[0,1]) である。

x=1/nとすると、

　　

となるので、一様収束ではない。

（略解終）

 

上の解答では、ずるい一様収束の判定を行ったが、

　　

を微分し、それから増減を調べ、

　　

となることを確かめるように。

 

 

お前らに問題 関数列の収束

お前らに問題

 

問題　x>0で、関数列が次のように定義されている。

　　

このとき、が各点で収束することを示せ。

 

ねこ騙し数学の過去の記事を探すと、この問題の答はどこかに出ているのだが、

お前らならば、この問題をどのように解くのか見てみたいので、問題にしてみたにゃ。

 

下の図を見れば、

　　

になるのは明らかだにゃ。

 

 

お前らのお手並みを拝見だにゃ。