三角関数表

三角関数表

角度（度）	正弦	余弦	正接	角度（度）	正弦	余弦	正接							π
0	0	1	0	45	0.7071067812	0.7071067812	1							3.1415926536
1	0.0174524064	0.9998476952	0.0174550649	46	0.7193398003	0.6946583705	1.0355303138
2	0.0348994967	0.999390827	0.0349207695	47	0.7313537016	0.6819983601	1.07236871
3	0.0523359562	0.9986295348	0.0524077793	48	0.7431448255	0.6691306064	1.1106125148
4	0.0697564737	0.9975640503	0.0699268119	49	0.7547095802	0.656059029	1.1503684072
5	0.0871557427	0.9961946981	0.0874886635	50	0.7660444431	0.6427876097	1.1917535926
6	0.1045284633	0.9945218954	0.1051042353	51	0.7771459615	0.629320391	1.2348971565
7	0.1218693434	0.9925461516	0.1227845609	52	0.7880107536	0.6156614753	1.2799416322
8	0.139173101	0.9902680687	0.1405408347	53	0.79863551	0.6018150232	1.3270448216
9	0.156434465	0.9876883406	0.1583844403	54	0.8090169944	0.5877852523	1.3763819205
10	0.1736481777	0.984807753	0.1763269807	55	0.8191520443	0.5735764364	1.4281480067
11	0.1908089954	0.9816271834	0.1943803091	56	0.8290375726	0.5591929035	1.4825609685
12	0.2079116908	0.9781476007	0.2125565617	57	0.8386705679	0.544639035	1.5398649638
13	0.2249510543	0.9743700648	0.2308681911	58	0.8480480962	0.5299192642	1.600334529
14	0.2419218956	0.9702957263	0.2493280028	59	0.8571673007	0.5150380749	1.6642794824
15	0.2588190451	0.9659258263	0.2679491924	60	0.8660254038	0.5	1.7320508076
16	0.2756373558	0.9612616959	0.2867453858	61	0.8746197071	0.4848096202	1.8040477553
17	0.2923717047	0.956304756	0.3057306815	62	0.8829475929	0.4694715628	1.8807264653
18	0.3090169944	0.9510565163	0.3249196962	63	0.8910065242	0.4539904997	1.9626105055
19	0.3255681545	0.9455185756	0.3443276133	64	0.8987940463	0.4383711468	2.0503038416
20	0.3420201433	0.9396926208	0.3639702343	65	0.906307787	0.4226182617	2.1445069205
21	0.3583679495	0.9335804265	0.383864035	66	0.9135454576	0.4067366431	2.2460367739
22	0.3746065934	0.9271838546	0.4040262258	67	0.9205048535	0.3907311285	2.3558523658
23	0.3907311285	0.9205048535	0.4244748162	68	0.9271838546	0.3746065934	2.4750868534
24	0.4067366431	0.9135454576	0.4452286853	69	0.9335804265	0.3583679495	2.6050890647
25	0.4226182617	0.906307787	0.4663076582	70	0.9396926208	0.3420201433	2.7474774195
26	0.4383711468	0.8987940463	0.4877325886	71	0.9455185756	0.3255681545	2.9042108777
27	0.4539904997	0.8910065242	0.5095254495	72	0.9510565163	0.3090169944	3.0776835372
28	0.4694715628	0.8829475929	0.5317094317	73	0.956304756	0.2923717047	3.2708526185
29	0.4848096202	0.8746197071	0.5543090515	74	0.9612616959	0.2756373558	3.4874144438
30	0.5	0.8660254038	0.5773502692	75	0.9659258263	0.2588190451	3.7320508076
31	0.5150380749	0.8571673007	0.600860619	76	0.9702957263	0.2419218956	4.0107809335
32	0.5299192642	0.8480480962	0.6248693519	77	0.9743700648	0.2249510543	4.3314758743
33	0.544639035	0.8386705679	0.6494075932	78	0.9781476007	0.2079116908	4.7046301095
34	0.5591929035	0.8290375726	0.6745085168	79	0.9816271834	0.1908089954	5.144554016
35	0.5735764364	0.8191520443	0.7002075382	80	0.984807753	0.1736481777	5.6712818196
36	0.5877852523	0.8090169944	0.726542528	81	0.9876883406	0.156434465	6.3137515147
37	0.6018150232	0.79863551	0.7535540501	82	0.9902680687	0.139173101	7.1153697224
38	0.6156614753	0.7880107536	0.7812856265	83	0.9925461516	0.1218693434	8.144346428
39	0.629320391	0.7771459615	0.8097840332	84	0.9945218954	0.1045284633	9.5143644542
40	0.6427876097	0.7660444431	0.8390996312	85	0.9961946981	0.0871557427	11.4300523028
41	0.656059029	0.7547095802	0.8692867378	86	0.9975640503	0.0697564737	14.3006662567
42	0.6691306064	0.7431448255	0.9004040443	87	0.9986295348	0.0523359562	19.0811366877
43	0.6819983601	0.7313537016	0.9325150861	88	0.999390827	0.0348994967	28.6362532829
44	0.6946583705	0.7193398003	0.9656887748	89	0.9998476952	0.0174524064	57.2899616308
45	0.7071067812	0.7071067812	1	90	1	0

三角関数の第１７回の問題２の（３）を微分を使って解く

三角関数の第１７回の問題２の（３）を微分を使って解くと・・・

問題

　　

の解の個数は、aの値によってどう変わるか、求めよ。

第１７回の問題２の（３）を、微分を使ってとこうという企画です。

　　

とする。

この関数の最大、最小値やグラフの概形を書くために微分する。

　　

で、極値を求めるためにf'(x)=0とする。

　　

0≦x<2πでcosx=0を解くと、cosx=0の解はx=π/2、3π/2。

2sinx+1=0の解は

　　

となる。

極値の判定は、f''(x)を求めて、f'(x)=0を満たすxに対して、f''(x)<0ならば極大、f''(x)>0ならば極小を用いてもいいけれど、この場合、計算が少し面倒なので、増減表を使って極値の判定をすることにするにゃ。

そして、

　　
を前回と同じように

　　

として、この２つの求める。

そうすると、次のような図が得られ、答えが求められる。

第１７回 問題演習ラスト

問題１

　　

とする。

（１）　x=sinθ+cosθとおき、yをxの式であらわせ。

（２）　0<p<1のとき、yの最大値および最小値を求めよ。

【解】

（１）

　　

x=sinθ+cosθを2乗する。

　　

よって

　　

（２）　合成公式から、

　　

これで、xの定義域が定まった。

そして、（１）で求めたxの２次関数を基本変形する。

　　

また、0<p<1であるので、この２次関数の頂点は

　　

である。

このグラフの概形を書くと、x=−pのとき最小で、x=√2のときに最大になることが分かる。

ということで、x=−pのとき最小でが最小値で、x=√2のとき最大で最大値はである。

（解答終わり）

xの範囲を求めるのに三角関数の合成公式を使っているけれど、シュワルツの不等式を使うと

　　

と簡単に求まる。

ちなみに、シュワルツの不等式は

　　

この他にもいくつか方法はあるにゃ。

 

問題２　関数

　　

がある。

（１）　sinx=tとおきyをxであらわし、そのグラフを書け。

（２）　yの最大値、最小値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。

（３）　xについての方程式

　　

の実数解の個数をaによって分類せよ。

【解】

（１）

　　

（２）yを基本変形する。

　　

このことから、t=−1/2のとき最小で−5/4が最小値。t=sinx=−1/2なので、x=7π/6、11π/6である。

t=1のとき最大で、最大値は１。t=sinx=1なので、x=π/2。

（３）
　　

と

　　

は同値なので、（１）の結果を用いて、上の交点の数を調べる。
このままでは調べられないので、

　　

との交点を調べる。

そうすると、

　　a=−5/4のとき、t=−1/2で１個。

　　−5/4<a≦1のとき、２個。

　　1<a≦1のとき１個。

これでオシマイじゃじゃ〜ない。

　　

をグラフにすると、次のようになる。

つまり、t=sinxを満たすxは、t=±1のときは1個。−1<t<1のとき２個ある。

ということで、解の個数は、

　　a=−5/4のとき、２個

　　−5/4<a<−1のとき、４個

　　a=−1のとき、３個

　　−1<a<1のとき、２個

　　a=1のとき、１個

これが（２）の答えとなる。

微分を使えば、次のような図を書けるけれどね〜。



このグラフを見れば、このことがわかると思う。

ちなみに、点線で示してあるx=2πのところは定義域外なので注意して欲しい。

もしこれを、三角関数の微分を知らない文系さん用の入試問題に出したのであれば、落とすことを目的にした大学入試の問題とは言え、（２）は「数学嫌い」や「数学アレルギー」を作るだけで、いただけない。

第１６回 問題演習４

第１６回　問題演習４

問題１　

△ABCにおいて、∠A=60°、AB=3、DC=10とする。BCを2:3に内分する点D、ADの延長が△ABCの外接円と交わる点をEとするとき、次の長さを求めよ。

（１）　AE　（２）CE

【解】

薄い藤色の２つの△ABDと△CEDは相似。

何故ならば、円周角の定理より

　　∠EAB=∠ECB

　　∠ABC=∠AEC

となり、

　　△ABD∽△CED

ADは余弦定理より

　　
△ABD∽CEDなので
　　

よって、

　　

（２）

　　

（解答、終わり）

①より、円に内接する四角形に関して、

　　

という関係が成立することがわかる。

この問題にはないけれど、　ACは余弦定理を使って

　　

そして、正弦定理より、△ABCの外接円の半径Rは

　　

問題２　円に内接する四角形において、AB=a、BC=b、CD=c、DA=dであるとき、cosBの値を求めよ。

【解】
四角形ABCDは円に内接するので、∠Bと∠Dの和は180°である。よって、

　　

になる。

よって、

　　

§　転換法

三角関数の次に、ねこ騙し数学で取り上げる初等幾何との関係もあり、転換法と呼ばれる証明法について少し説明することにする。

転換法

一連の真である命題p₁⇒q₁、p₂⇒q₂、p₃⇒q₃、…があって

　　【１】　p₁、p₂、p₃、…は、すべての場合を尽くしている

　　【２】　q₁、q₂、q₃、…は、どの２つも両立することがない

このとき、q₁⇒p₁、q₂⇒p₂、q₃⇒p₃、…は、すべて真である。

もっとも簡単なp₁⇒q₁、p₂⇒q₂の場合を証明する。

【証明】

p₁⇒q₁、p₂⇒q₂で、かつ、【Ⅰ】、【Ⅱ】を満たしているとする命題があるとする。

いま、仮に、q₁であってp₁のものがある、つまり、q₁かつp₂のものがあるとする。

p₂⇒q₂は真なので、q₁かつq₂である。

しかし、q₁とq₂は両立しないから矛盾。

よって、q₁⇒p₁である。

同様に、q₂⇒p₂である。

（証明終わり）

これでは何を書いているかわからないと思うので、２次方程式の解の判別を例にとって説明するにゃ。

例　次のような実係数（a、b、cは実数）の２次方程式があるとする。
　　

この解は

　　

になる。

　　

とすれば、２次方程式の解は次のように書ける。

　　

そして、

　　（１）　D>0⇒相異なる２実根

　　（２）　D=0⇒唯一の実根、実数解（重根）

　　（３）　D<0⇒相異なる虚根

（１）〜（３）はすべて真。

さらに、

Dは実数だから、D>0、D=0、D<0のいずれかで、これ以外の値はとりえない。つまり、すべての場合を尽くしており、【１】を満たしている。（１）〜（３）の結論も互いに両立せず、【２】も満たしている。

故に、転換法によって、

（１）〜（３）の逆、

　　（１’）　相異なる２実根⇒D>0

　　（２’）　唯一の実根、実数解（重根）⇒D=0

　　（３’）　相異なる虚根⇒D<0

が成立し、

　　【Ⅰ】　D>0⇔相異なる２実根

　　【Ⅱ】　D=0⇔唯一の実根、実数解（重根）

　　【Ⅲ】　D<0⇔相異なる虚根

である。

こういうことです。

では、これを真似て次の問題を。

問題３

△ABCにおいて、次のⅠ、Ⅱ、Ⅲが成り立つ。これらの逆も成り立つことを証明せよ。

　　Ⅰ　∠Cが鋭角⇒a²+b²>c²

　　Ⅱ　∠Cが直角⇒a²+b²=c²

　　Ⅲ　∠Cが鈍角⇒a²+b²<c²

【証明】

△ABCにおいて、余弦定理

　　

が成り立つ。

∠Cは鋭角（C<90°）か、直角（C=90°）、鈍角（C>90°）のいずれかのひとつだけ。だから、この３つの場合ですべて尽くされている。

そして、C<90°ならば、cosC>0なので

　　

C=90°のとき、cosC=0なので

　　

C>90°のとき、cosC<0なので

　　

よって、Ⅰ〜Ⅲは真。

そして、Ⅰ〜Ⅲにおいて、その仮定はすべてを尽くしており、その結論はどの２つも両立することがない。

よって、転換法によって、Ⅰ〜Ⅲの逆もすべて成立する。

（証明終わり）

上の議論から、

　　Ⅰ　∠Cが鋭角⇔a²+b²>c²

　　Ⅱ　∠Cが直角⇔a²+b²=c²

　　Ⅲ　∠Cが鈍角⇔a²+b²<c²

であることがわかる。

問題４　3数、x、x+1、x+2が鈍角三角形の３辺の長さをあらわす数値であるための範囲を求めよ。

【解】

三角形の３辺には、三角不等式、他の２辺の長さの和>１辺の長さの和が成り立たなければならない。

よって、

　　

また、この三角形は鈍角三角形なので、最大辺x+2と他の２辺x、x+1において、次の関係が成り立たなければならない。

　　

よって、1<x<3

第１５回 問題演習３

第１５回　問題演習３

問題１　

三角形の３つの高さが６、４、３であるとき、

（１）　最小角の余弦を求めよ。

（２）　３辺の長さを求めよ。

【解】

（１）　三角形の面積をSとすると

 　　

よって、最小角は、余弦定理より

　　

（２）

　　

（１）の結果よりS=6k。

よって

　　

したがって、

　　

問題２　

△ABCの辺AB、AC上にそれぞれ点P、Qをとり、線分PQをひいて△ABCの面積を２等分する。このような線分PQの長さの最小値を、辺ABの長さをc、辺ACの長さb、∠Aの大きさをαを用いてあらわせ。ただし、b/2≦c≦2bとする。

【解】

x=AP、y=AQとする。

条件より、

　　

余弦定理より

　　

相加平均≧相乗平均より

　　

①より、等号が成立するとき

　　

だからと言って、こんなxとyが存在するとは限らないにゃ。b、cの値によって、xはcより大きく、yはbより大きくなったりするからだにゃ。

PはAP上に存在しなければならないので、x≦c

　　

同様に、y≦bなので

　　

ここから、b/2≦c≦2bという条件が出てくるというわけ。

よって

　　

したがって、

　　

のとき、PQは最小で最小値は

　　

（解、終わり）

b=3、c=1のとき

　　

となって、PはABの延長線上にあることになってしまう(^^)

じゃ〜、このとき、PQに最小値は存在するのか。

∠A=α=90°とすると、

　　

そして、

　　

よって、

　　

だから、

　　

微分してもいいけれど、グラフを書くと、次のようになるにゃ。

よって、x=1、y=2/3の時に最小ということになる。

このとき、PはB、QはACの中点になる。

だから、PQにはの最小値は存在する。

第１４回 幾何的な問題を・・・

第１４回　幾何的な問題を・・・

三角関数の最終回として、その応用として、幾何的な問題を幾つか解いてみることにする。

問題１　acosA=bcosBを満足する△ABCはどのような三角形か。ただし、a=BC、b=CAとする。

【解】

余弦定理より

　　

よって、
　　

よって、BC=CAの二等辺三角形、または、∠C=90°の直角三角形。

問題２　次の問いに答えよ。

（１）　AB=4、AC=3、∠BAC=30°を満足する△ABCがある。この三角形の面積を求めよ。

（２）　AB=4、AC=3、∠ABC=30°を満足する△ABCがある。この三角形の面積を求めよ。

【解】

（１）
　　

（２）　BC=aとする。余弦定理より

　　

面積は

　　

問題３　△ABCで

　　

のとき、

　　

を求めよ。

【解】

　　

とおく。

　　

①の右辺と左辺を足し合わせると、

　　

②を①で引くと

　　

正弦定理
　　

余弦定理から

　　

よって

　　

問題４　３辺の長さがそれぞれ１３、８、７である三角形について次の値を求めよ。

（１）　面積　　（２）　最大角　　（３）　外接円の半径　　（４）　内接円の半径

【解】

（１）　ヘロンの公式は使わないにゃ。

a=13、b=8、c=7とおき、余弦定理を使うケロ！！

　　

これから、A=120°と分かるにゃ。

よって、

　　

よって、面積Sは

　　

（２）　最大角は１２０°

 

（３）　外接円の半径をRとすると、正弦定理より

　　

（４）　内接円の半径をrとすると

　　

（１）では、

　　

からAを求め、そして、sinAを計算しているけれど、

　　

と求めることができる。
さらに、補足すると、最大角は、辺の長さが最も大きい辺に対応する角になる。

ちょっと自慢していいケロか？
この図は正確なんだにゃ。
何と、分度器で測ると、（１）の答え、∠A=120°が出てくるという優れもの(^^ゞ
嘘だと思うなら測ってみろ！！

第１３回 問題演習２

第１３回　問題演習２

x軸と角度θをなし、原点Oを通過する直線があるとする。

tanの定義は

　　

だから、直線の傾きmが

　　

になる。

このことから、x軸と角度θをなす、点(x₀,y₀）を通る直線の方程式は

　　

になる。

このことを踏まえて、次の問題を解いてみることにする。

問題１　２直線y=mx+kとy=m'x+k'の作る角（はじめの直線からあとの直線の方へまわる角）をαとする。1+mm'=0のとき

　　

となることを証明せよ。

【解】

y=mx+k、y=m'x+k'に平行な原点を通る直線は

　　

上の直線とx軸とがなす角度をθ、θ'とすると

　　

直線y=mxからy=m'xへまわる角度αは

　　

となる。

よって、

　　

ちなみに、1+mm'=0という条件は

　　

だから、２直線が直交する条件。

また、このとき、①式の分母が０になるので、①式は意味を持たない。

問題２　２直線

　　

の交角を求めよ。

【解】

3x−y−2=0はy=3x+2だから、傾きm=3。そして、x−2y+5=0はy=x/2−5/2だから、の傾きm'=1/2。

よって、①より

　　

問題３　sin⁴θ+cos⁴θの最大値・最小値を求めよ。

【解】

sin²+cos²=1だからcos²θ=1−sin²θ。

さらに、u=sin²θとおくと

　　

になる。

u=sin²θだから、0≦u²≦1で

　　

の最大値・最小値を求める問題に帰着できる。

よって、

u=1/2のとき、f(u)は最小で最小値は1/2。

u=0、1のとき、f(u)は最大で最大値はf(0)=f(1)=1。

類題

（１）　sin⁶θ+cos⁶θの最大値・最小値を求めよ。

（２）　sin⁸θ+cos⁸θの最大値・最小値を求めよ。

【答】

（１）　最小値1/4　最大値1

（２）　最小値1/8　最大値1

の最小値には、規則性がありそうな、なさそうな・・・。

 

問題４

　　

の解xが存在するための範囲を求めよ。

【解】

　　

ということで、

　　

−1≦sin(x+α)≦1だから

　　

２乗すると

　　

【別解１】

sinx=u、cosx=vとし

　　

の共有点を調べる。①は原点を中心とする半径１の円なので、①と②が共有点をもつためには、原点から②の距離が１以下でなければならない。

よって、

あとは・・・。

あるいは、②より

　　

となり、これを①に代入すると

　　

となる。vは実数でなければならないので、

　　

となる。

三角関数の合成公式を使う方法が一番自然な解法なのでしょうけれど・・・。

第１２回 三角関数の積和・和積の公式

第１２回　三角関数の積和・和積の公式

§１　三角関数の積和の公式

三角関数の加法定理より正弦関数については次の関係が成り立つ。
　　

よって、①＋②は

　　

①−②は

　　

よって、

　　

正弦関数と余弦関数の積を正弦関数の和に変えた。

こういうのを、三角関数の積和公式とかいうにゃ。

同様に、余弦関数に関する加法定理は

　　

なので、③＋④、③−④を計算すると、
　　

以上の結果をまとめると

　　

上の式は、積分の計算、たとえば

　　

などの計算に使うために必要なもので、mとnが自然数でm≠nのとき

　　

であることが分かる。

非常に重要な公式であるのだけれど、私は覚えていない(^^ゞ

こんな式は、加法定理からすぐに導ける。覚える必要はないケロ。

さらにいうならば、加法定理も

　　

だけを覚え、あとは、sin(−θ)=−sinθ、cos(−θ)=cosθを覚えておけば、その場ですぐに導くことができる。

§２　三角関数の和積の公式

三角関数の積和の公式を導く前、たとえば、

　　

なども見て欲しいにゃ。

A=α+β、B=α−βとすると、

　　

となることが分かる。

　　

をα、βについて解けば、

　　

になるので、

　　

同様に、

　　

また、

　　

なので、

　　

そして、

　　

になるので、

　　

となる。

結果をまとめると、

　　

三角関数の和・差から三角関数の積に直すので、和積の公式とか呼んでいるケロ。

上の２番目、４番目の公式は、正弦関数と余弦関数の微分のところで使った。

バズル的な問題を・・・。

問題１　△ABCで

　　

であることが証明せよ。

【解】

　　
C=π−(A+B)だから

　　

よって、

　　

ゆえに、

　　

問題２　α+β+γ=πのとき

　　

【解】

加法定理より

　　

よって、

　　

また、α+β=π−γ

　　

これを①に代入すると、

　　

第１１回 合成公式

第１１回　合成公式

次の図のようなxy平面上の点があるとする。

このとき、

　　

が成立する。

このことは三角関数の定義より明らかでしょう。
上で定義した角度αを使うと、asinθ+bcosθは次のように変形できる。
　　

これを三角関数の合成公式という。

あらためて書くと、

　　

結構、間違えやすいので、これは次の図とセットで覚えてください。

そうでないと、aとb、どっちが分母で分子かで悩むことになる。

例１　sinθ+cosθは、a=b=1の場合で

　　

とすると、

　　

例２　3sinx+4cosx（0≦x<2π）の最大値、最小値を求めよ。

【解】

　　

よって、最小値は−5、最大値は5。

 

問題　x²+y²=1のとき、x+yの取りうる値の範囲を求めよ。

【解】

x=cosθ、y=sinθ（0≦θ<2π）とする。

　　

よって、

　　

ちなみに、x+yが最大になるとき、

　　

最小になるのは

　　

【別解】

シュワルツの不等式

　　

を使うケロ！！

　　

等号成立はx=yの時で、x=y=−√2/2の時に最小、x=y=√2/2の時に最大。

【別解２】

x+y=kとする。y=k−xをx²+y²=1に代入する。

　　

上の２次方程式を満たすxは実数でなければならないので、

　　

よって、−√2≦x+y≦√2

この他にも別解はいくつか作れますが、別解２は好きじゃない。これは自然な考え方ではないケロ。

x+y=kとし、これを直線の方程式とみなし、原点を中心とする半径1の円x²+y²=1との共有点を調べる図形的に解く方法もある。
次の図のように接する時に最大・最小になる。そして、y軸の赤い線で示した範囲がx²+y²=1のときx+y=kが取りうる範囲となる。

この解法は、もっと嫌いだ！！

問題２

　　

のグラフをかき、かつ最大値・最小値を求めよ。

【解】

　　

よって、最大値2（x=π/6）、最小値−1（x=5π/6）

問題３

　　

について、次の問いに答えよ。

（１）　t=sinx+cosxとおき、tの範囲を定めよ。

（２）　f(x)をtの式であらわせ。

（３）　f(x)の最小値とその時のxの値を求めよ。

【解】

（１）　−√2≦t≦√2

（２）　t=sinx+cosxを２乗する。

　　

よって、

　　

（３）

　　

よって、t=−1のとき最小で、−1が最小。
　　

第１０回 三角関数の演習問題

第１０回　三角関数の演習問題

問題１　cosx+cosy=a、sinx+siny=bのとき、cos(x−y)をa、bを用いてあらわせ。

【解】

　　

cosx+cosy=a、sinx+siny=bをそれぞれ２乗すると、
　　

上の式と下の式を足すと

　　

よって、

　　

類題　sinz=cosx+cosy、cosz=sinx+sinyのとき

　　2cos(x−y)+1=0

であることを示せ。

問題２　△ABCの面積S、辺BCの長さをaとするとき、

　　

であるという。このとき、△ABCはどんな三角形か。

【解】

△ABCの面積S

　　

また、
　　

余弦定理より

　　

よって、
　　

（１）と（２）を比較すると

　　

sinB>0で0じゃないので、sinBで両辺を割って式を少し整理すると、

　　

よって、∠A=∠Rの直角三角形。

 

問題３　半径の円に内接する△ABCの面積が1で

　　

のとき、この三角形の三辺の長さを求めよ。

【解】

三角形だから

　　

よって、
　　

正弦定理より

　　

三角形の面積は１だから

　　

余弦定理より

　　

よって、

　　

または

　　

を解けば答えが出てくるにゃ。

格好良く解きたい人は

　　

α=a²、β=b²とし、２次方程式の解と係数の関係を使うケロ。

すると、

　　

①は実根を持たないので、②だけ解く。

　　

このことから、

　　

となる。

何を書いてあるかわからない人は、真面目に連立方程式を解けばいい！！

問題４　２次方程式

　　

の２つの解がtanA、tanBであるとき、tan(A+B)の取りうる範囲を求めよ。

【解】

２次方程式

　　

が実数を解を持たなければならないので、この２次方程式の判別式をDとすると

　　

a>0なので、

　　

また、解と係数の関係から

　　

tan(A+B)は加法定理より
　　

a>0だから相加平均≧相乗平均が使えて

　　

上の不等式の等号成立は

　　

のときで、a>0よりa=√2で存在する。

よって、

　　

２次方程式の判別式、解と係数の関係、相加平均≧相乗平均、三角関数の加法定理が組み合わさったいい総合問題だと思うけれど、試験会場で受験生にこれを解けというのは酷だと思うにゃ。

ここで使っている手法を用いると、これまでに何度も出てきた

　　

の値域を簡単に求められるケロ。

この関数は、f(−x)=−f(x)が成り立つので、x≧0だけを調べればいい。そして、f(0)=0なので、x>0として

　　

分母に注目すると
　　

よって、0≦xのとき

　　

また、f(x)は奇関数だから

　　

となる。