第9回 コンパクト空間 [位相入門]
第9回 コンパクト空間
Xの部分集合からなる集合族(Xの冪集合の部分集合)が
を満たすとき、はAを覆うといい、をAの被覆という。特に、の元がすべて開集合であるとき、をAの開被覆という。Aがの部分集合で覆われるとき、すなわち、であるとき、をAの部分被覆という。
Aが任意の開被覆に対して、Uの部分被覆で有限なものが取れるとき、すなわち、Aの任意の開被覆に対して、に属する有限個の開集合を選んで、
となるとき、Aはコンパクト集合といい、Aはコンパクトであるという。
X自身がコンパクトであるとき、をコンパクト空間といい、位相空間はコンパクトであるという。
例1 位相空間の有限部分集合は常にコンパクトであり、離散空間がコンパクトであるのは有限集合の時に限る。
例えば、Nを自然数全体の集合とし、Nの離散空間について考える。
とすると、
となるので、はNの開被覆となるが、有限個の開集合を選んで、Nを覆うことはできない。
例2 有限個のコンパクト集合の和集合はコンパクトである。
【証明】
をコンパクト集合とし、和集合の開被覆をとすると、は各の開被覆であり、コンパクトなので、はに対する有限部分被覆をもち、は和集合Aの有限開被覆となる。
よって、有限個のコンパクト集合の話集合はコンパクトである。
(証明終)
を集合Aの直径という。集合Aの直径が有限なとき、集合Aは有界であるという。
例3 距離空間上のコンパクト集合は有界である。
【証明】
Aの1点xをとり、
とおくと、これはAの開被覆である。
また、Aはコンパクトなので、
となる自然数nが存在する。
したがって、Aは有界である。
(証明終)
定理1 ハイネ・ボレルの定理
Rの任意の有界閉区間[a,b]はコンパクトである。
【証明】
を閉区間[a,b]の開被覆とし、が部分被覆を持たないと仮定する。
このとき、
の少なくとも一方はの有限個の開集合で被覆できない。その閉区間を[a₁,b₁]とする。同様に、
の少なくとも一方はの有限個の開集合で被覆できない。その閉区間を[a₂,b₂]とする。以下同様に、の有限個の開集合で被覆できない閉区間を2等分して、閉区間を選ぶことができる。
このような操作を繰り返すことによって、閉区間の列
を定めることができる。
よって、カントールの区間縮小の原理によって、すべての開区間に属する実数cがただひとつ定まる。
さて、は閉区間[a,b]の開被覆だから、に属するOでcを含むものがある。このとき、正の実数εで、
となる。であるから、十分大きな自然数nに対して
よって、この閉区間がのただひとつの開集合で被覆されることになり、閉区間の作り方に矛盾する。
したがって、閉区間[a,b]の任意の開被覆は有限な開被覆をもつことになり、閉区間[a,b]はコンパクト。
(証明終)
定理2 コンパクト空間の閉集合はコンパクトである。
【証明】
を位相空間とし、Aを閉集合とする。をAの開被覆とし、とおけば、これはXの開被覆。
Xはコンパクトなので、に属する有限個の開集合とによって
とXを覆うことができる。
このとき、
よって、コンパクト空間の閉集合はコンパクトである。
(証明終)
定理3 fを位相空間からへの連続写像とする。Aをのコンパクト集合とすると、その像f(A)はコンパクト集合である。
【証明】
をf(A)の開被覆とすれば、
はAの開被覆となる。
とすることができる。
ゆえに、
よって、f(A)はコンパクトである。
(証明終)
可算無限個のコンパクトな集合の和集合は閉集合ですか?
by 松下太郎 (2023-11-11 15:37)