多変数関数の極値の復習

多変数関数の極値の復習

 

極大値、極小値の定義

関数f(x,y)に対して、あるδ>0があって

　　

が成り立つときf(x,y)は点(a,b)で極大であるといい、f(a,b)を極大値という。

また、

　　

が成り立つとき、f(x,y)は点(a,b)で極小といいf(a,b)を極小値という。

さらに、極大値と極小値をあわせて極値という。

 

例１　f(x,y)=x²+y²は、(0,0)で極小で、極小値は0。また、g(x,y)=−x²−y²は、(0,0)で極大、極大値は0。

 

定理１　f(x,y)は点(a,b)で極値をとり、(a,b)で偏微分可能であるとき、

　　

が成り立つ。

 

例２　f(x,y)=x²+y²とすると

　　

である。極値をとる点の座標を(a,b)とすると、

　　

より(a,b)=(0,0)でなければならない。

f(x,y)=x²−y²とすると、

　　

もし、f(x,y)=x²−y²が点(a,b)で極値をとるとすれば、

　　

より、(a,b)=(0,0)となるが、f(x,y)=x²−y²は極値を持たない。

偏微分可能な関数f(x,y)が点(a,b)で極値がとるために、

　　

は、十分な条件ではなく、必要な条件であることに注意。

 

停留点の定義

関数f(x,y)は偏微分可能であるとする。このとき、

　　

を満たす点(a,b)を停留点という。

 

例３　点(0,0)は、関数f(x,y)=x²+y²、g(x,y)=x²−y²の停留点である。

 

定理２　（極値をとるための十分条件）

f(x,y)は点(a,b)の近傍でC²級で、

　　

であるとする。

また、

　　

とする。

（ⅰ）　ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小

（ⅱ）　ならば、f(x,y)は点(a,b)で極大

（ⅲ）　D<0ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小でも極大でもない

（ⅳ）　D=0のとき、これだけではf(x,y)が点(a,b)で極値をとるかどうかわからない

 

例４　f(x,y)=x²+y²とすると、点(0,0)はf(x,y)の停留点である。

また、

　　

だから、

　　

よって、定理２より、f(x,y)=x²+y²は、点(0,0)で極小。

g(x,y)=x²−y²とすると、点(0,0)はg(x,y)の停留点。

また、

　　

よって、

　　

したがって、定理２より、g(x,y)=x²−y²は点(0,0)で極値をとらない。

 

ヘッセ行列とヘッシアン

f(x,y)をC²級の関数とする。このとき、

　　

をヘッセ（Hesse）行列といい、ヘッセ行列の行列式

　　

をヘッシアン（Hessian）という。

 

ヘッシアンを用いると、定理２は次のように書き換えることができる。

 

定理２’　（極値をとるための十分条件）

f(x,y)は点(a,b)の近傍でC²級で、

　　

であるとする。

f(x,y)のヘッシアンを

　　

とすると、

（ⅰ）　ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小

（ⅱ）　ならば、f(x,y)は点(a,b)で極大

（ⅲ）　H(a,b)<0ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小でも極大でもない

（ⅳ）　H(a,b)=0のとき、これだけではf(x,y)が点(a,b)で極値をとるかどうかわからない

 

 

問１　f(x,y)=−x²+xy−y²+xの極値を求めよ。

【解】

　　

よって、停留点は

　　

を解くことによって求められる。

この解は(x,y)=(2/3,1/3)なので、f(x,y)の停留点は(2/3,1/3)の１つ。

　　

したがって、点(2/3,1/3)におけるヘッシアンは

　　

だから、f(x,y)は点(2/3,1/3)で極大で、極大値は

　　

（解答終）

 

（別解）

　　

よって、f(x,y)は(2/3,1/3)で最大（極大）で、最大値（極大値）は1/3。

（別解終）

 

 

問２　f(x,y)=x³+y³−3xyの極値を求めよ。

【解】

まず、f(x,y)=x³+y³−3xyの停留点を求める。

　　

①より、y=x²。これを②に代入すると、

　　

したがって、f(x,y)の停留点は(0,0）、(1,1)である。

　　

だから、

　　

よって、f(x,y)は停留点(0,0)で極値をとらない。

　　

したがって、だから、f(x,y)は停留点(0,0)で極小で、f(1,1)=−1が極小値である。

（解答終）

 

 

 

点と直線、点と平面の距離の公式とラグランジュの未定乗数法

点と直線、点と平面の距離の公式とラグランジュの未定乗数法

 

点と直線の距離の公式

(a,b)≠(0,0)とする。xy平面において点A(x₀,y₀)から直線l:ax+by+c=0におろした垂線の足をHとする。このとき、線分AHの距離dを点Aと直線lの距離といい、

　　

である。

 

直線l上の点P(x,y)とすると、点Aと点Pとの距離APは

　　

である。

したがって、点Pが直線l:ax+by+c=0上にあるという条件のもとでの

　　

の最小値問題に帰着することができ、その最小値がd²になる。

点Aから直線l:ax+by+c=0におろした垂線と距離は一意的に定まるので、条件付きの最小値（極小値）はただ１つだけ存在する。

そこで、ラグランジュの未定乗数法を用いて、条件付きの極値問題を解くことにする。

　　

とおくと、ラグランジュの未定乗数法より極値をとるx、yは

　　

の解になる。

②と③式より

　　

これを①に代入すると、

　　

よって、

　　

が極小値（最小値）。

したがって、

　　

 

このようにラグランジュの未定乗数法を用いて点と直線の距離の公式を導くことができる。

 

なお、（１）は、ラグランジュの未定定数を用いることなく、次のように導くこともできる。

 

AHとベクトル(a,b)は平行なので、垂線の足Hの座標を(x,y)とすると、

　　

ここで、tは媒介変数（パラメータ）。

(ta+x₀,tb+y₀)は直線l：ax+by+c=0上にあるので、

　　

よって、

　　

 

点と平面の距離の公式

(a,b,c)≠(0,0,0)とする。xyz空間上の点A(x₀,y₀,z₀)から平面ax+by+cz+d=0におろした垂線の足をHとする。このとき、線分AHの長さを点Aと平面ax+by+cz+d=0の距離といい、

　　

である。

 

問　(a,b,c)≠(0,0,0)とする。ラグランジュの未定乗数法を用いて、ax+by+cz+d=0という条件で、

　　

の最小値を求めることによって、（２）を導き出せ。

【略解】

　　

とおくと、極値をとる点(x,y,z)では次のことが成り立つ。

　　

②、③、④より

　　

これを①に代入すると、

　　

の時に極小（最小）になるので、

　　

そして、これはAHの距離の平方である。

よって、点A(x₀,y₀,z₀)と平面ax+by+cz+d=0の距離は、

　　

である。

（略解終）

 

ベクトルを使うならば、例えば、次のように（２）を導くことができるだろう。

 

(a,b,c)は平面の方程式ax+by+cz+d=0の法線ベクトル。

したがって、A(x₀,y₀,z₀)から平面ax+by+cz+d=0におろした垂線の足をH(x,y,z)とすると、と(a,b,c)は平行。

よって、

　　

(ta+x₀,tb+y₀,tc+z₀)はax+by+cz+d=0上に存在するので、

　　

したがって、

　　

 

ベクトル関数の回転

ベクトル関数の回転

 

ベクトル関数A(x,y,z)の成分をとすると、

　　

を成分とするベクトルをAの回転といい、記号

　　

などであらわす。

すなわち、

　　

行列式を用いてあらわせば、

　　

である。

したがって、ハミルトン演算子∇をベクトルと考えれば、∇×Aは∇とAの外積と考えることができる。

 

 

問１　原点からの位置ベクトルをrとするとき、∇×r=0であることを示せ。

【解】

　　

（解答終）

 

 

問２　φ(x,y,z)をスカラー関数とすれば、

　　

であることを示せ。

【解】

　　

よって、スカラーポテンシャルの回転は零ベクトル０である。

（解答終）

 

 

問３　A(x,y,z)をベクトル関数とすれば、

　　

であることを示せ。

【解】

　　

（解答終）

 

ベクトル場Aがベクトル関数pの回転で表されるとき、すなわち、

のとき、pをAのベクトルポテンシャルという。問３より、ベクトルポテンシャルをもつベクトル場の発散は０である。

 

 

ベクトル関数の発散

ベクトル関数の発散

 

ベクトル関数A(x,y,z)のx、y、z成分をとする。すなわち、

　　

とする。

このとき、

　　

をベクトル関数Aの発散と言い、記号

　　

などであらわす。

すなわち、

　　

である。

 

ハミルトン演算子∇は

　　

だから、ベクトル関数Aの発散∇・Aは

　　

と、ハミルトン演算子∇とベクトル関数Aの内積と考えることができる。

 

 

問１

　　

の発散を求めよ。

【解】

　　

（解答終）

 

 

問２　原点に対する位置ベクトルをrとするとき、次の発散を求めよ。

【解】

（１）

　　

だから、

　　

 

（２）　のx成分をとすると、。

　　

同様に、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

なお、

　　

は暗記物！！

 

 

ベクトル関数Aが

　　

の発散は、

　　

である。

　　

と書き、

　　

とおけば、これは微分演算子∇²をφに作用させたものと考えることができるから、

∇²をラプラス演算子、ラプラシアンと呼び、∇²のかわりに記号Δを使うこともある。

また、微分方程式

　　
はラプラス方程式と呼ばれ、これを満足する関数を調和関数という。

 

 

問３　原点からの距離をrとすると、

　　

であることを示せ。

【解】

　　

同様に、

　　

したがって、

　　

問２より

　　

よって、

　　

（解答終）

 

問３より、

　　

は、ラプラス方程式∇²=0を満たすので、調和関数である。

 

問題　φがrのスカラー関数であるとき、

　　

であることを示せ。

 

 

スカラー関数の勾配と方向微分係数

スカラー関数の勾配と方向微分係数

 

定点Pと単位ベクトルuが与えられたとき、Pを通りuを方向ベクトルとする直線をCとする。直線C上の点Qのパラメータとして点Pからの距離をsをとると

　　

である。したがって、点Qの位置ベクトルをr(s)とすると、

　　

である。

極限値

　　

が存在するとき、この極限値を点Pにおけるfのu方向の方向微分係数といい、記号

　　

などであらわす。

　　

したがって、点Pにおける、fのu方向の方向微分係数は、点Pにおけるfの勾配ベクトルとuとの内積に等しい。∇fとuのなす角をθとすれば、

　　

よって、θ=0のとき、は最大値｜∇f｜をとる。

ゆえに、点Pにおける勾配∇fは、点Pにおける曲面f(x,y,z)=cに垂直で、fの増加する向きに向かい、その大きさは、曲面f(x,y,z)=cの法線方向に対する増加率に等しい。

 

ベクトルと∇fとの内積は

　　

だから、

　　

と書き

　　

とおけば、これは一種の微分演算子で、これをfに作用させたものがと考えられるので、

　　

と書くことができる。

したがって、fのu方向の方向微分係数は

　　

と書くことができる。

 

 

問１　点(1/2,1/2)における

　　

の(−1,1)方向の方向微分係数を求めよ。

【解】

(−1,1)方向のベクトルの単位ベクトルuは

　　

また、

　　

より、点(1/2,1/2)におけるf(x,y)の勾配は

　　

だから、点(1/2,1/2)におけるf(x,y)の方向微分係数は

　　

（解答終）

 

 

問２　関数fを

　　

とする。

（１）　∇fを求めよ。

（２）　点(1,0)におけるπ/3方向の方向微分係数を求めよ。

（３）　点(1,0)における方向微分係数が最大になる方向の基本ベクトルを求めよ。

【解】

（１）

　　

したがって、

　　

 

（２）

　　

x軸と方向ベクトルのなす角をθとすると、θ=π/3方向の単位ベクトルuは

　　

したがって、点(1,0)におけるπ/3方向の方向微分係数は

　　

 

（３）　方向微分係数が最大になるのは、単位方向ベクトルuが∇fが同方向のとき。点(1,0)における関数fの勾配∇f=(2,0)だから、単位方向ベクトルu=(1,0)のとき、すなわちθ=0方向のときに最大になる。

（解答終）

 

なお、方向単位ベクトルu=(cosθ,sinθ)のとき、f(x,y)の点Pにおける方向微分係数は

　　

となる。

 

 

問３　φ=φ(x,y,z,t)において、x、y、zがtの関数であるとき、

　　

であることを示せ。

【解】

rを点P(x,y,z)の位置ベクトル

とすると、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

rを動点Pの位置ベクトルとすると、速度ベクトルvは

　　

だから、

　　

これは、流体力学や連続体力学で実質微分や物質微分と呼ばれるものである。

 

 

スカラー関数の勾配

スカラー関数の勾配

 

関数φ(x,y)がC¹級であればf(x,y)は全微分可能で

　　

あるいは、Δx、Δyをdx、dyに置き換え

　　

で表される。

このとき、ベクトルを関数φの勾配（gradient）といい、記号

　　

などであらわす。すなわち、

　　

である。

したがって、

　　

とすると、全微分dφは、ベクトルの内積を用いて

　　

とあらわすことができる。

 

φ(x,y)=c（一定）とすれば、φ(x,y)=cは１つの曲線をあらわす。この曲線上の点P(x₀,y₀)における全微分は

　　

であり、これは点Pにおける曲線φ(x,y)=cの接線の方程式である。

したがって、

　　　

とおけば、曲線φ(x,y)=cの点P(x₀,y₀)における接線の方程式は

　　

となり、これは∇φが曲線φ(x,y)=cと直交していることを表している。つまり、∇φは曲線φ(x,y)=cの法線ベクトルである。

 

この議論は、そのまま、２次元から３次元へ拡張することができ、C¹級の関数φ(x,y,z)に対して、φの勾配を

　　

を定義する。

そして、

　　

をハミルトン演算子といい、記号（微分演算子）∇をナブラと読む。

曲面φ(x,y,z)=cの点P(x₀,y₀,z₀)における接平面の方程式は

　　　　　　
であり、∇φは曲面φ(x,y,z)=cと直交する。そして、∇φはこの曲面の法線ベクトルである。

 

特に、z=f(x,y)のとき、φ=f(x,y)–z だから、

　　

曲面z=f(x,y)の点P(x₀,y₀,z₀)における接平面の方程式は、

　　　　

である。

 

問　z=x²+xy+2y²の点(1,1,4)における接平面の方程式を求めよ。

【解】

だから、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

なにか冗漫でスッキリしないな。次のように書くべきか。

 

曲面φ(x,y,z)=cがある。曲面上の点P(x,y,z)を通る曲面上の曲線x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)を考えると、φはtの関数である。そこで、tを微分すれば、

　　

である。とすると、

　　

で、これは曲面φ(x,y,z)=cの接線ベクトルである。

したがって、

　　

よって、∇φは曲面φ(x,y,z)=cと直交し、∇φはこの曲面の法線ベクトルである。

 

 

問題１　uがx,y,zの関数で、uの関数をf(u)とすれば、

　　

であることを示せ。

【解】

　　

（解答終）

 

 

問題２　原点に対する位置ベクトルをrとし、r=｜r｜とすれば、

　　

であることを示せ。

【解】

（ⅰ）　だから、

　　

同様に、

　　

したがって、

　　

 

 

（ⅱ）

　　

同様に、

　　　

よって、

（別解）

f(r)=1/rとおけば、問題１より

　　

（解答終）

 

 

問題３　スカラー関数u(x,y,z)、v(x,y,z)の関数をF(u,v)とするとき、次の式を示せ。

　　

【解】

　　

（解答終）

 

 

ベクトル関数の偏微分

ベクトル関数の偏微分

 

ベクトルAが２つのスカラーの関数、すなわち、A=A(u,v)であるとする。

２変数のベクトル関数A(u,v)の偏導関数を

　　

で定義する。

A(u,v)のx成分、y成分、z成分をとすると、

　　

である。

 

問　ベクトル関数の偏導関数を求めよ。

【解】

Aのx成分、y成分、z成分をとすると、

　　

だから、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

なんとも見づらいので、ベクトル表示で次のようにしたほうがいいのだろう。

　　

 

u、vの微小変化Δu、Δvに対して

　　

になるとすれば、Δu、Δvをdu、dvであらわし、

　　

をAの全微分という。

そして、uとvがtの関数、すなわち、u=u(t)、v=v(t)のとき、実関数のときと同様にチェーンルールが成立し

　　

である。

また、uとvがs、tの関数、すなわち、u=u(s,t)、v=v(s,t)のとき

　　

である。

 

曲面の方程式は、スカラー変数、u、vを用いれば、

　　

であるから、曲面上の任意の点P(x,y,z)の位置ベクトルをとすれば、曲面は

　　

で表される。これを曲面のベクトル方程式という。

vを一定としuを変化させれば、rは曲面上の曲線をあらわす。これをu曲線という。また、uを一定にしvを変化させれば、rは曲面上の曲線をあらわす。これをv曲線という。偏微分係数の定義よりあきらかなように、はu曲線の接線ベクトルであり、はv曲線の接線ベクトルである。

また、u、vが変数tの関数であるときには、は曲面上の曲線をあらわす。曲面上の点Pにおける接線ベクトルは

　　

したがって、Pを通る曲面上の曲線の接線は、が定める平面上にある。この平面を点Pにおける接平面といい、Pを通り接平面に垂直な直線を法線、Pを始点とし接平面に垂直なベクトルを法線ベクトルという。したがって、

　　

は法線ベクトルである。

 

問２　曲面z=1–x²–2y の点(1,1,−2)における接平面を求めよ。

【解】

x=u、y=vとおくと、z=1–u²–2v。よって、曲面上の点の位置ベクトルは

　　

だから、

　　

法線ベクトルnは

　　

点(1,1,−2)のときu=x=1、v=y=1だから、(1,1,−2)における法線ベクトルnは

　　

したがって、曲面z=1–x²–2y の点(1,1,−2)における接平面の方程式は

　　

（解答終了）

 

曲面z=f(x,y)上の点P(x₀,y₀,z₀)における接平面の方程式は

　　

である。

これを使うのならば、

　　

となるので、接平面の方程式は

　　

 

ベクトルの微分の問題

ベクトルの微分の問題

 

問題１　曲線上を運動する質点Pの原点に対する位置ベクトルをr、曲線上の定点からPまでの曲線の長さをs、時間をtとすれば、接線ベクトルaの接線成分、法線成分は

　　

であることをしめせ。

ここで、 、ρは曲率半径とする。

【解】

P点の速度ベクトルvは

　　

よって、

　　

ここで、κは曲率で

　　

したがって、

　　

である。

（解答終）

 

補足

tは点Pにおける曲線の単位接線ベクトルだから

　　

これを時間tで微分すると、

　　

これからtと、すなわち、が直交していることがわかる。

 

問題２　次の螺旋曲線の（単位）接線ベクトル、主法線ベクトル、従法線ベクトル、さらに曲率κと捩率τを求めよ。

　　

【解】

　　

したがって、

　　

よって、

　　

単位接線ベクトルtは

　　

また、

　　

ゆえに、曲率κは

　　

よって、主法線ベクトルnは

　　

従法線ベクトルbは

　　

これから、

　　

となり、捩率τは

　　

（解答終）

 

空間曲線

空間曲線

 

空間の点Pの描く空間曲線は

　　

で与えられるが、これは原点Oを始点とする点Pの位置ベクトルが

　　

と与えられることと同等である。

 

そして、接線ベクトルは

　　

で与えられる。

 

さらに、この曲線Cが滑らかなとき、位置ベクトルr(a)からr(t)までの弧の長さs(t)は

　　

となり、

　　

となり

　　

よって、

　　

となる。

dsを線元素という。

 

sはtの関数であるが、逆にtもsの関数と考えられるので、曲線は、曲線の長さを用いて

r=r(s)

とあらわすことが可能。

　　

は曲線に接しsの増加する方向に向かうベクトルである。

何故ならば、

　　

で、ベクトルtの向きは接線ベクトルdr/dtと同じだから。

sとs+Δsに対応する曲線上の点をP、Qとし、とすれば

　　

だから、tは単位接線ベクトルである。

 

Qにおける接線ベクトルとPにおける接線ベクトルのなす角度をΔθとすれば、

　　

は、曲線の長さに対する接線の向きの変化率をあらわし、

　　

を点Pにおける曲率という。この定義から明らかなように曲率は正または０であり、曲線上の各点でκ=0である時は、この曲線は直線である。

 

単位法線ベクトルt同士の内積t・t=1を微分すると、

　　

となり、はtに垂直である。また、

　　

と同じ向きの単位ベクトルをnとすれば、

　　

このnをPにおける（単位）主法線ベクトルといい、

　　

となる。

 

また、曲率は

　　

 

曲率の逆数
　　

を曲率半径といい、曲線上のPから引かれたベクトルρnの終点を曲率半径の中心という。

 

また、曲線上の点Pにおける接線ベクトルと主法線ベクトルの外積

　　b=t×n
を、点Pにおける曲線の（単位）従法線ベクトルという。

したがって、

　　

 

t、n、bは互いに直交する単位ベクトルで、右手系をなす。

また、

　　

が成立し、τを捩率（れいりつ）という。

 

b・b=1なのでこれをsで微分すると
　　

となり、bとは直交する。

さらに、t・b=0をsで微分すれば、

　　

となる。

　　

なので、第２項はκn・b=0である。よって、
　　
となり、tとは垂直。

故に、 はbとtに垂直であり、nと同じ方向である。

 

t、n、bの３つの単位ベクトルは右手系を構成するので、

　　n=b×t=−t×b

となる。

これをsで微分すると、

　　

となる。

 

　　

の３つの公式を合せてフルネ・セレの公式と呼ぶ。

 

空間曲線のベクトル方程式と接線ベクトル

空間曲線のベクトル方程式と接線ベクトル

 

空間曲線は、スカラー変数tを用いて

　　

であらわすことができる。

曲線上の任意の点P(x,y,z)とし、とおけば、rはtの関数だから、

　　

と書き、これを曲線ベクトル方程式という。

 

とすると、Δt≠0のとき

　　

はに平行である。

したがって、

　　

は、曲線の接線ベクトルと平行であり、これを曲線の接線ベクトルという。

また、

　　

を単位接線ベクトルという。

単位接線ベクトルtは大きさが１で変わらないので、

　　

したがって、tとは直交する。そこで、を曲線r(t)の法線ベクトルといい、

　　

を主法線ベクトルという。

また、曲線上の点における単位接線ベクトルtと単位主法線ベクトルnとの外積

　　

ベクトルを（単位）従法線ベクトルという。

 

曲線r=r(t)は、r'(t)が連続で常にr'(t)≠0であるとき、滑らかな曲線という。滑らかな曲線r=r(t)のa≦t≦bの部分の長さを弧長といい、弧長sは

　　

で与えられる。

 

 

問１　の単位接線ベクトルと、単位法線ベクトルを求めよ。また、t=π/4のときの接線の方程式を求めよ。

【解】

　　

よって、単位接線ベクトルtは

　　

また、

　　

よって、単位法線ベクトルnは

　　

である。

t=π/4の接線ベクトルは

　　

よって、接線の方程式は

　　

tを消去し

　　

（解答終）

 

t=π/4のときの、接線の法線ベクトルnは(-1/√2,1/√2)だから、接線の方程式を

　　

と求めることもできる。

 

 

問２　曲線の0≦t≦2πの曲線の長さを求めよ。

【解】

　　

（解答終）

 

 

曲線が弧長sをパラメータとしてr=r(s)で表されているとする。このとき、

　　

になるので、単位接線ベクトルtは

　　

である。

次に、平面上の曲線の曲がり具合（曲率）について考えることにする。

平面にある曲線上の点Pにおける接線とx軸のなす角をθとする。点Pが動くと接線とx軸のなす角θも変化する。このとき、単位弧長あたりのθの変化率を曲率といい、

　　

であらわす。

 

問題　曲線y=f(x)の曲率を求めよ。

【解】

tanθは接線の傾きなので、

　　

これをxで微分すると、

　　

また、

　　

だから、

　　

したがって、

　　

（解答終）