今日のアニソン、「NINKU -忍空-」から『輝きは君の中に』 [今日のアニソン]
一応、転調をし、曲調が変わるところもあるしね♪
ネムネコ、かく考える （量子力学編） [ねこ騙し物理]
ネムネコ、かく考える （量子力学編）
一昨日の８月２９日に、原島鮮の初等量子力学に出ていた次の問題と、その解説について紹介した。
問題 波動の式
は、相対論的な力学では
ただし、
が成り立つ。この波の位相速度と群速度を求めよ。
【解】
したがって、
ここで、
となるので、
（解答終）
は古典的粒子類推のvに等しくなるが、位相速度
の方は光速度cより大きい。相対性理論に合わないようであるが、φは信号を伝えることができないので矛盾するものではない。
エネルギーEの標準、すなわちエネルギーを０にとる粒子の状態は任意である。ところが、角振動数ωは
で与えられるので、ωには不定の定数が存在しているはずである。それゆえ、ωがなまのまま入っている位相速度はこの定数のとり方によって違う値をとってしまう。しかしその違いは物理的な意味があるものではない。これに反して群速度は物理的にははっきりした意味があるので、エネルギーの標準のとり方に無関係な値をもつ。
原島鮮 初等量子力学
そして、この解答だと、｜v/c｜≪1のとき、非相対論的力学から得られる時の位相速度
と一致しないということにも言及した。
ネムネコが考えるにこの問題と解答はおかしいのではないかという話です。
つらつらと考えてみるに、問題に出ているエネルギーの式は間違っているかもしれない。
にするべきなんじゃ〜ないか。
これならば、｜v/c｜≪1のとき、
になるので、
となり、非相対論的力学の運動エネルギーと一致する。
相対論的力学のエネルギーEの式を、
とするならば、
となる。
そして、これならば、位相速度が光速度cを越すことがない。（下のグラフを参照）
しかし、物理の専門家がこんなミスをするものだろうか。しかも、原島鮮の初等量子力学（裳華房）と言えば、長年、大学の量子力学の教科書や参考書として使われてきた本（初等と題しているが、量子力学の初学者には何が書かれているか、さっぱり理解できないであろうといわれる、伝説の一冊）であり、間違いならば、誰かがこの過ちを指摘し、訂正がなされていたであろう。
であるからして、ネムネコが間違っているに違いない。
でもなぁ〜、
なので、
と、あらためて定義すると（いかにも数学的。０で割るという算法は認めない。ここは数学のブログだ！！）、｜v/c｜≪1のときは、
と非相対論の位相速度と一致するだけではなく、v=cのときは
になる。また、グラフから明らかなように、位相速度は
の範囲に収まり、すべてが丸く収まるんだよね。
エネルギーの定数分の不定という問題点も、エネルギーと静止エネルギーm₀c²との差をとることによって解消できる。
と同時に、原島の諸島量子力学にある
「エネルギーEの標準、すなわちエネルギーを０にとる粒子の状態は任意である。ところが、角振動数ωはで与えられるので、ωには不定の定数が存在しているはずである。それゆえ、ωがなまのまま入っている位相速度はこの定数のとり方によって違う値をとってしまう。しかしその違いは物理的な意味があるものではない。これに反して群速度は物理的にははっきりした意味があるので、エネルギーの標準のとり方に無関係な値をもつ。」
という説明が意味を有さないものになってしまう。
では、という（波動関数、物質波(・・?の）位相速度は、一体、何なのだ？
所詮、物理の素人の戯言。
だから、ここに書いてあることを真に受けないように！！
今日のアニソン、「ロードオブヴァーミリオン 紅蓮の王」から「天使よ故郷を聞け」 [今日のアニソン]
どれくらいの駄曲かといえば、冒頭の数小節を聞けば、「この曲は駄曲」とわかり、その予想を見事裏切らないレベルだにゃ。この曲を聞くのは時間の無駄遣いと言っていいにゃ。
フェルマーの原理とラグランジュの方程式 [ねこ騙し物理]
フェルマーの原理とラグランジュの方程式
フェルマーの原理を述べる前に、光学的距離を次のように定義する。
点Aと点Bを結ぶ経路Cの光学的距離Sとは、屈折率nと線素dsをかけたndsを経路に沿って積分したものであり、つまり、
で与えられる。
フェルマーの原理
２点間の光学的距離を最小にする経路を光は進む
ところで、
２次元平面上の線素dsは
で与えられるので、
となる。
屈折率nは一般に点の位置(x,y)の関数になるので、n=n(x,y)と表すことにし、
とおくと、
となる。
実際に辿る経路を
とし、これから少しずれた経路C’を
との光学的距離の差
を求めると、
微分と変分の順序の交換が可能であるとすると、
さらに、δy(x₀)=0、δy(x₁)=0という境界条件を入れて、この積分を計算すると、
最小値のときδS=0となる必要があり、しかも、δyは任意なので、δS=0になるためには、
これは何かといえば、オイラー・ラグランジュの方程式！！
ということで、光の辿る経路もラグランジュの方程式を解くことによって求められるんだケロ。
このことは、かなり誇張を交えて言うと、
ラグランジュの方程式は、単にニュートンの運動方程式であるのみならず、光の運動方程式でもある。
何で、光学的距離が最小となる経路を光が辿るかといえば、自然法則を定めた神さまがケチだったからだにゃ（笑）。
神さま、自然は無駄を嫌うんだケロ。
そして、フェルマーの原理、つまり、最小作用の原理は、こうした神学、形而上学的思想、信念と深く関係があると言われているのであった。
位相速度と群速度 [ねこ騙し物理]
今日、Tastenkastenさんからいただいたコメントの返信で大ポカをしてしまったので、反省と自身の知識の確認のために、波の速度に関して記事を書くことにするにゃ。
位相速度と群速度
角振動数ω、波数kの次の波がある。
位相一定、つまり、
の状態が移動するようすは
であらわされるので、位相速度は
になる。
次に、分散などがあり、波の振動数ωと波数kが少し異なる２つの波
の合成について考えると、
と、「うなり」をもった振動になる。
この振幅
は
という速さで伝わることになり、これが群速度である。
ωがkの関数であるとき、群速度は
になる。
――数学とは違って、Δk→0のときΔω/Δkがある１つの値に限りなく近づく、といった細かいことは言わない(^^ゞ――
以上のことをまとめると、
したがって、角振動数ωが波数kに比例するとき、
になる。
周波数、つまり、角振動数がすこしだけ異なる２つの波を合成すると、合成された波は下の図に示すように元の２つの波の（位相）速度と異なる波の速度、群速度を持つことになるんだケロ。
次に、位相速度と群速度の関係について考えることにする。
波長をλとすると、
一方、群速度に関しては、
という関係があるので、
という関係式が得られる。
たしか、
という関係式は、重要な式だったはず。
ネムネコが物理を勉強したのは大昔のことなので、このあたりの話はすっかり忘れてしまった。
たまにこうしたことを復習しないと、今回のTastenkastenさんのお便りへの返信のように、大嘘をつくことになってしまうんだにゃ(^^ゞ
勘違いや記憶違いは、誰にもあることだにゃ。だから、今回のことで、ネムネコを責めてはいけないと思うケロ。
そして、
ネムネコが考えるに、
光の位相速度が真空中の光の速さc=3×10⁵km/sを越えることがあること、この場合でも、「（真空中の）光よりも情報を早く伝えることはできない」とする（特殊）相対性理論の仮定（？）が破れないことについては、
ddt³さんが、きっと、実例をあげて、詳しく解説してくださるのではないだろうか(^^)
青ざめるネムネコ 解析力学 [ひとこと言わねば]
っん
と、一瞬、固まるネムネコ！！
積分記号が抜けているだけならば、それを付け足せばいいだろう。
もっともな意見だけれど、手書きと違って、この追加は簡単じゃないんだケロよ。積分記号をただ付け足すだけだと、数式全体が変なふうになっちまうんだよ。積分記号のような特殊記号が入っている数式は、追加、修正が厄介なんだケロ。修正しているうちに、何が何だかわからなくなって、パニックを起こす（笑）。
"" = int_{ t_0 }^t sum from i ( {partial L} over {partial dot q_i} %delta q_i + {partial L} over {partial dot q_i}%delta dot q_i )dt newline
"" = int_{ t_0 }^t sum from i ( {partial L} over {partial q_i} dq_i + d over dt ({partial L} over {partial dot q_i} %delta q_i ) - d over dt ({partial L} over {partial dot q_i} )%delta q_i) dt newline
"" = int_{ t_0 }^t sum from i ({partial L} over {partial q_i} - d over dt ({partial L} over {partial dot q_i}))%delta q_i %delta t+ [sum from i{ {partial L } over {partial dot q_i} %delta q_i}]_{t_0}^t
ハミルトン・ヤコビの方程式 [ねこ騙し物理]
ハミルトン・ヤコビの方程式
始点は同じだが終点が異なる２つの経路１、２があるとする。
経路１によって求められる作用をS₁、経路２によって求められる作用をS₂とする。
このとき作用の差は
ラグランジュの方程式
から、最終行の第１項の積分は０である。
また
より、
一般化運動量
を用いると、
今度は、始点と終点を固定し、終点に到達時刻が異なるものとする。
作用Sは
だから、時刻ｔで微分すると、
また、先の議論で作用Sは一般化座標qの関数でもあったので、
を上の式に代入すると、
ここで、Hはハミルトニアン、
ですが、
を用いてハミルトニアンを書き換えると、
になるので、
これをハミルトン・ヤコビの方程式という。
話を簡単にするために、自由度１の場合について考えるケロ。
このとき、ハミルトン・ヤコビの方程式は、
になるにゃ。
で、量子力学の時間を含むシュレディンガーの方程式は、
ここで、iは虚数単位
、
はプランク定数hを2πで割ったもの、つまり、
すこし形が違うけれど、ハミルトン・ヤコビの方程式とシュレディンガーの方程式は似た形をしているのがわかるだろう。
シュレディンガーは、どうも、このハミルトン・ヤコビの方程式を参考に、有名なシュレディンガーの波動方程式を使ったらしいんだよね。
（デカルト直交座標以外の座標系における）運動方程式を導いて微分方程式を解くという実用的な観点からすると、ラグランジュの方程式で十分。ハミルトンの正準方程式、まして、ハミルトン・ヤコビの方程式から運動方程式を導き、その微分方程式を解くなんてことは、まず、することはない。だって、得られるのはニュートンの運動方程式（と同等なもの）なんだから、ラグランジュの方程式だけを知っていれば十分。
じゃぁ、何で、大学の理工系の学部で解析力学なんて小難しいものを教えるかといえば、そりゃ〜、量子力学と統計力学を学ぶためだにゃ。解析力学で使う手法、用語が量子力学や統計力学で出てくるので、解析力学は避けて通れない関門、難関なんだにゃ。そして、多くの学生が解析力学で討ち死にするのであった（笑）。
統計力学で必要となるリュービルの定理は紹介していないけれど、ちょっと進んだ微分積分、解析の応用として、解析力学を取り上げてみたにゃ。
お前ら、ネムネコにこのドリルの答を教えるにゃ [ひとこと言わねば]
何が書かれているのかネムネコにはまったく意味不明なので、誰か、ネムネコに、デカルトの光の屈折に関する以下の説明を解説してくれ。
光線がある透明な物体から他の物体の中へ斜めに進入するとき、その物体が光線をより容易に受け入れる場合は他の物体に比べて、光線はその物体の表面で常により少なく傾斜するように向きを変えるといわねばならない。そしてこのことは、その物体が光線を受け入れる方法が、他の物体に比べてより容易であるかどうかにちょうど比例して起こる。ただ注意しなければならないのは、この傾斜はCBあるいはAHとか、EB あるいはIGとか、互いに比較されるこのような直線によって測られねばならず、ABHやGBIといった角度、ましてや屈折角と呼ばれるDBIに似たような角度で測られてはならないということである。というのはこれらの角度の間の比、あるいは比例は、光線の傾斜によってすべて変わるからである。これに反して線AHとIGなどの間の比例は屈折が同一物質によって引き起こされる場合には必ず同一のままである。
（略）
（注 下線部はデカルトの考える屈折角であって今の屈折角ではない）
この文章は、
に出ているのだけれど、これがまたさっぱりわからない。
つまり、ネムネコは、筑波の教育学科（２年生）の学生さんたちよりずっとずっとアタマが悪いということか(^^ゞ。
自分のアタマが不自由なのは知っていたけれど、まさか、これほど不自由だったとは・・・。
たぶん、オレの国語力があまりに低いために、デカルトのこの文章が理解できないのだと思う。
ところで、上記の記事には次のようなドリルがついている。
この文章を解釈してみよう。
∠ABHと∠GBIといった角度には比例関係がない
AHとIGには比例関係がある
この文章は同一物体に対する が一定であることを述べている
この下線部には一体、どのような言葉が入るんだケロ。「屈折角」とか「屈折率」、あるいは、「角度の比」や「傾斜」といった言葉が入る(・・?
つまり、AH：IGは常に であり、屈折率と等しくなっている。
この下線部には、「一定」という言葉が入るケロか？
このAHとIGを三角比を使って表すと
AH＝
IG＝
となる。
図から判断するに、おそらく、ここには、
が入るんでしょう。
そして、ABとBIは円の半径なので、AB=BIだから、
と屈折の法則（スネルの屈折の法則）が導き出せるという事になるのでしょう。
ネムネコは、いかにも理系らしく、数学的な部分はともかく、国語の部分がさっぱりわからない。
ネムネコは、ヒトじゃなく、（化け）ネコだからヒトの言葉を完全に理解できないのはしょうがない！！
ということで、お前ら、国語の部分をネムネコに教えるにゃ。
ネコにも理解できるように、やさしく、丁寧に、この部分を解説するにゃ。
ネムネコをバカにできるまたとない機会だにゃ。この絶好の機を逃す手はない！！
さらに、この曲、この動画を追加！！
デカルトの有名な言葉に「我思う、ゆえに、我あり」というものがある。これは「方法序説」に書かれている言葉らしいですが、方法序説とあるように、方法序説は、ある文章の序言、前書きで、光学や気象学、幾何学に関して書かれている部分の前にあるんだケロ。
そして、今回紹介した文章（和訳）は、「方法序説」のあとに出ている部分なんだにゃ。
ネムネコは、デカルトのこの著作を持っていないから、どんなことが書かれているのかについてはよく知らないのだけれど、結果は正しいけれど、屈折の法則の説明で重大な過ちを犯しているらしいんだケロ。確か、運動量保存則（これはデカルトが見つけたもの）で光の屈折を説明しようとし、大きなポカを犯していたはずなんですよ。このことを調べたかったんだけれど・・・。反射の法則は、運動量保存則、正確には、運動量の大きさが変わらないことから説明することができる。
――オレは出来るってヤツはこれに挑戦せよ。反射前、反射後のx軸、y軸方向の運動量の成分を大きさを比較すればよい――
中学３年の頃に、ブルーバックスの本で、こういったことを読んだ。なにぶん、大昔のことなので、オレの記憶が間違っている可能性もあるが・・・(^^ゞ。
そして、このことをネットで調べようとして、たまたま、この文章を見つけた次第であります。お目当ての物は見つけられなかったのですが、このことについて知っているヒトがいたら、あわせて教えて欲しい。
お前らに問題８月２７日 解析力学編)の解答例 [ねこ騙し物理]
お前らに問題８月２７日 解析力学編)の解答例
問題 ハミルトニアンがH=H(p,q)であるとき、ハミルトニアンは時刻によらず一定、つまり、
であることを証明せよ。
ここで、pとqは、それぞれ、一般化座標と一般化運動量である。
【解】 
ハミルトンの正準方程式より
よって、
（解答終）
【別解】
前回のポアソン括弧の（３）より
（別解）
別解ではポアソン括弧式
を定義に従って計算しているが、これはポアソン括弧の基本的性質なので、としてよい。
余談ですが、
とすると、
ここで、
とおくと、形式的に、①式は形式的に次のようになる。
①や②を物質微分やラグランジュ微分といい、特に、記号、
で表すことがある。
各地で猛烈な暑さ 東北や新潟は夜にかけ激しい雨のおそれ NHK [ひとこと言わねば]
すでに猛暑日も 関東甲信中心に局地的に激しい雨のおそれ #nhk_news https://t.co/utuilzVQEN
— NHKニュース (@nhk_news) 2018年8月27日
ところで、今年の８月は日本のすべてが記録的な猛暑に見舞われたと思っていたら、
【8月の札幌 10年ぶりの低温か】 https://t.co/CJz0HxyBGJ 今日(26日)の北海道は、日本海側で北部を中心に平年より低い気温となった所が多く..
— tenki.jp (@tenkijp) 2018年8月26日
