［数列の極限値］ [高校の数列の極限]
［数列の極限値］
ddt^3です。
ねぇねぇネコ先生、極限が存在する漸化式って、絶対に縮小写像（注１）になってますよね？(^^)。
例えば、
なら、
とおく事で、
を考えれば、
ですよね？。（注２）
でも図-1はx方向に－1平行移動すると、さらに具合が良さそうじゃないですか(^^)。
この時、f(x)，g(x)は（図-2)、
ああでも、g(x)＝xでなくなった。それが成り立たないと、縮小写像の計算が面倒になる（一般的には）。
・・・そうだ！、y方向に－1平行移動しよう。この時、f(x)，g(x)は（図-3）、
となる。これを通常の漸化式に戻すと、
なぁ～んだ、等比数列を扱えば良いだけじゃない(^^)。
いやぁ～、x方向に－1平行移動した時、
・f(x)の切片もg(x)の切片も1になる、(1)の形で助かったぜ！(^^;)。
・・・という事にはなるんですが、このやり方を知ってると、等比数列に落とし込む方法とか、等比数列に落とし込める条件とかを予想できる事になります。しかし普通の高校生は、こんな事は絶対に自分では考え付けないし、教師も絶対に教えません。教師もそこまで考えてないのが普通だと思うし。
自分が高校生の頃、こういう事を平気で考え付ける数学の天才がいたんですよ。この問題に関してそいつの説明を聞きましたが、「全くのチンプンカンプン」でした(^^;)。
何故ならポイントは、
「極限が存在する漸化式は常に縮小写像になっている」
「よってグラフを描いて判断すればいいのだ」
だからです。高校生の世界を超えてますよね(^^)。彼は数学に関しては超高校生だったと思います。
自分がこういう事を考え付けるようになったのは、関数解析の本なんかを読み出して、そこに出てくる縮小写像の例題なんかを考え出してからでした。なので今はこんな話も出来ますが、非常にみっともないと思う。まさに、
「卵の殻を割るのに、鉈をふるう」
ようなものだと思える。超高校生の彼には、とうてい及ばないなぁ～(^^;)
（執筆 ddt³さん）
（注１） 縮小写像
とする。
0<c<1となるaが存在し、すべての、x,y∈Xに対して、
が成り立つとき、写像fを縮小写像という。
（注２） このような解法をクモの巣図法、この図をクモの巣図と呼んだりする。
ウィキペディアの「クモの巣図法」
以下のページに「縮小写像の不動点定理」についての、高校生向け（？）の読み物が出ているので、興味のあるヒトは読んでみるといいのでは。
http://izumi-math.jp/F_Wada/fixpoint_theorem.pdf
考えるネムネコ 数列の極限値 [高校の数列の極限]
大学入試問題に、漸化式
であたえられる数列
の極限値問題が出ていたような記憶があったので、ネムネコが高校時代に使っていた参考書を調べてみたら、出ていた。
問題１ 実数x₁を任意にとり、２次関数f(x)=x(2−x)を用いて
により、数列x₁,x₂,x₃,・・・を定める。
（１） 一般項
を初項x₁で表わせ。
（２） この数列が収束するようなx₁の範囲を定めよ。
【略解】
（１） の両辺を１で引くと、
よって、
（２） 収束の条件は、
よって、0≦x₁≦2である。
（略解終）
問題２ 無限数列
が次の条件を満たしている。
（１） 
とするとき、
と
の間の関係式を求めよ。
（２） 初項x₁が0<x₁<をみたしているならば
であることを示せ。
（３） 0<x₁<1であるとき、
を求めよ。
【略解】
（１） 問題の条件より、
これを代入すると、
（２） 
とすると、
（３） （１）より
0<y₁<1だから、
よって、
（略解終）
何故、⑨になるのかわからないヒトは、
だから、
の両辺の対数をとると、
ここで、
とおくと、（１）より
とするといいのではないか。
この類題は、おそらく、これまでに何度も繰り返し大学入試に出題されつづけてきた有名問題なんでしょう、きっと。
ただ、問題１の（１）は、少し不親切のように思う。
両辺を１で引くことに気づかないと、一般項を求めるのは難しいからね〜。
「
とし、漸化式に代入すると、
だから、α=1で両辺を引くんです。（受験）参考書にはそう書いてあります。これは受験数学のテクニックで、いやしくも難関大学（問題１は阪大の大昔の入試問題）を目指す者は誰しも知っていることです」と言われて、「あっ、そうですか」と苦笑いするネムネコであった。
本当に、そんなことを（受験）参考書には書いてあるのだろうか？
じゃぁ〜、なぜ、０で引いたら、ダメなんだろうか？
第１５回 数列と確率 [高校の数列の極限]
第１５回 数列と確率
確率と数列の極限の問題を幾つか紹介し、それを解くことにする。
問題１ １つのさいころを振って１が出れば甲の価値、６が出れば乙の勝ちとして、さいころを振ることを止め、１と６以外の他の目が出たら、繰り返して降るものとする。
（１） さいころを振る回数をn回までとしたとき、甲の勝つ確率を求めよ。（２） 回数を制限しないとき、甲の勝つ確率を求めよ。
【解】（１）
したがって、甲が１〜n回で勝つ確率
は
（２）
（解答終了）
甲がk回目で勝つ場合は、k−1回連続で2〜5の目が出て、k回目に1が出る場合。
２〜５の目が出る確率は 
問題２ ある人が射的をする。一度命中した次に引き続き命中する確率は0.8であり、外れた次に引き続き外れる確率は0.4であるという。第n回目が命中であったときの確率を
とするとき、次の問いに答えよ。
（１） を
を用いて表せ。
（２） 
を求めよ。
（１） 命中した次に命中する確率は0.8
外した後に命中する確率は1−0.4=0.6n−1回目が命中の確率
n−1回目がはずれである確率
したがって、n回目が命中である確率は
したがって、数列
は初項
、公比
の等比数列。
（２）
問題３ A、B２人が、A、Bの順で交互にさいころを振り、最初に１の目が出た人を勝ちとする。A、Bの勝つ勝率を求めよ。
【解】p=1/6とすると、Aが勝つパターンは下の表のようになる。
よって、Aが勝つ確率P
したがって、Bの勝率は
つまり、このゲームは先攻の方が有利ということになるのであった。
第１４回 漸化式で表された数列の極限 連立漸化式 [高校の数列の極限]
第１４回 漸化式で表された数列の極限 連立漸化式
問題１ 数列
はx₁=1、y₁=5をもとにして
にしたがって作られている。このとき、およびを求めよ。
①から
ここで,t²−4t+3=0として、この２次方程式を解くと、
⑥より
は初項x₂−x₁、公比3の等比数列。
⑦より、数列
は一定だから――初項x₂−3x₁、公比1の数列と考えてもよい――
⑩−⑪
上のように隣接３項の漸化式に変形して解くことができるけれど、実はうまい方法がある。
【別解】
①+②
③より、数列
は、初項x₁+y₁、公比3の等比数列だから
⑤−⑥
【別解終了】
どちらが楽かは言うまでもないだろう。
この他に、
問題２
に対して次の問いに答えよ。
（１） 
をnの式であらわせ。
（２） 
を求めよ。
（１）
①＋②
④より数列
は初項x₁−y₁=1、公比1/3の等比数列。
⑤−⑥
（２）
（解答終了）
問題３ 
が次の条件を満たすとき、
を求めよ。
【解】
①より、
②より
④−③
で、
よって、
【別解】
①−②
①−２×②
③、④より
第１３回 漸化式で表された数列の極限４ 隣接する３項の場合 [高校の数列の極限]
第１３回 漸化式で表された数列の極限４ 隣接する３項の場合
隣接する３項の漸化式の一般形は
と変形できる。
（２）は数列
が初項a₂−βa₁、公比αの等比数列であることを表すので、
（３）は数列
が初項a₂−αa₁、公比βの等比数列であることを表すので、
α≠βならば、（６）をα−βで割ることによって、一般項
を得ることができる。
両辺を
で割ると
では、問題を。
問題１ 次のように定められた数列
について
を求めよ。
【解】
（１）
よって、
また
②−①は
（２）
とおくと、①は
また、
③−②
（解答終了）
問題２
で定義される数列について次の問いに答えよ。
（１） はどんな数列か。
（２） n項までの和
を求め、
を求めよ。
【解】
（１） 
とおくと
よって、
は初項b₁=log2、公差−log2とする等差数列。
（２）
（解答終了）
問題３
（１） 数列、1,2,3,5,8,13,21,34,・・・はどんな規則でできているか。その規則を式であらわせ。
（２） 上の数列の第n項を第n+1項で割ったものをとおくとき、
を求めよ。【解】
（１） 
（２）
両辺を
で割ると、
で、
だから
で、
ちなみに、問題３に出てくる数列をフィボナッチ数列という。
第１２回 漸化式で表された数列の極限３ 隣接する２項の場合２ [高校の数列の極限]
第１２回 漸化式で表された数列の極限３ 隣接する２項の場合２
問題１ 
を満たす数列がある。
（１） とおくとき、ととの関係式を求めよ。
（２） 0<x₁<1のとき、を求めよ。
【解】
（１）
だから、
（２） 0<x₁<1より、0<y₁<1、また
。
したがって、数列
は初項logy₁、公比2の等比数列。
（解答終了）
（※） 
とおくと、
問題２ aは1<a<2を満たす定数とする。
によって定められた数列
について、次の問いに答えよ。
（１） 
を証明せよ。
（２） 
を証明せよ。
（３） 
を求めよ。
（１） n=1のとき
よって、
n=k+1のとき
だから、
また、
よって、数学的帰納法により、
（２） 
（３）
ここで、
問題３ 次の数列について、下の問（１），（２）に答えよ。
（２） この数列が収束することはわかっていて、その極限値を求めよ。
【解】（１） n=1のとき
n=kのとき、
（２）
また、
よって、極限値α=1
（解答終了）
第１１回 漸化式で与えられた数列の極限２ 隣接する２項の場合 [高校の数列の極限]
第１１回 漸化式で与えられた数列の極限２ 隣接する２項の場合
前回にひき続いて、今回も漸化式で表された数列の極限の問題を解くことによって、その解法を紹介することにする。
今回は、漸化式の最も基本的な隣接する２項の場合。問題１ 次のように定められた数列の極限値を求めよ。
【解】
（１） 
したがって、数列
は初項
、公比1/2とする等比数列。
（２）
で、
ここで、両辺の絶対値をとる。
だから
（３）
よって、
（解答終了）
（２）、（３）から分かるように、漸化式で与えられた数列の極限を求める場合、必ずしも一般項を求める必要はない。
問題２ 一般項が次のように与えられる数列の一般項を求め、
と求めよ。
とおくと、
したがって、数列
は初項−1、公差−1の等差数列。
（解答終了）
なのですが、
と順次計算し、これから
――分子は2ずつ増え、分母は1ずつ増えているのだから、上のように推測できる――
それから、
数学的帰納法を使って
第１０回 漸化式で表された数列の極限１ [高校の数列の極限]
第１０回 漸化式で表された数列の極限１
具体的に問題を解くことによって、漸化式で表された数列の極限を求める基本的な解法を学ぶことにする。
その前に、総和記号Σの定義 
公比r、初項aとする等比数列の一般項は
また、漸化式で等比数列を表すと
問題１
について、次の問いに答えよ。（１） 階差
を調べてを求めよ。
（２） 
とおいて定められる数列
を調べて、を定めよ。
（３） を求めよ。
【解】
（１） 
したがって、数列は初項
、公比1/2の等比数列。
よって、
（２）
したがって、数列
は、初項c₁=a₁−6=−3、公比1/2の等比数列。
（３）
（１）では、
のとき
問題２ 数列がある。
（１） 
とおいて定められる数列を調べてを定めよ。
（２） を求めよ。
（１）
したがって、数列
は初項
、公比3の等比数列。
（２）
問題３ 数列
の項の間に次の関係がある。
（１） 
とおいて
に関する漸化式を求めよ。
をnの式であらわせ。（３） を求めよ。
（１）
（２） ①より、数列は初項b₁=a₂−a₁=1、公比1/2の等比数列。
（３）
ゆえに、
第９回 無限級数６ 無限級数の図形への応用 [高校の数列の極限]
第９回 無限級数６ 無限級数の図形への応用
問題１ 右図のように直角三角形ABCの中に正方形S₁、S₂、S₃、・・・が限りなくならんでいるとき、これらの正方形の面積S₁、S₂、S₃、・・・の総和を求めよ。ただし、BC=a、∠A=60°、∠B=90°とする。
【解】正方形S₁、S₂、S₃、・・・の１辺の長さをx₁、x₂、x₃、・・・とし、AB=cとする。
△ABC∽△ARQだから 
（解答終了）
問題２ ２等辺三角形ABCの３辺に内接する円Oの半径をrとする。等辺AB、ACと円Oとに内接する円をO₁とし、AB、ACとO₁とに接する円をO₂とする。このようにして次々と円を作っていくとき、これらすべての円の面積の和を求めよ。ただし∠A=2αとする。
【解】
OからAB、O₁からABに下ろした垂線の足をT、T₁、O₁からOTに下ろした垂線の足をHとする。
また、
の面積を
とすると、
は初項
、公比
よって、
問題３ 放物線y=x²をCとする。C上の点A₁(a,b)(a>0）における接線とx軸との交点をP₁とし、P₁を通ってx軸に垂直な直線とCとの交点をA₂、点A₂におけるCの垂線とx軸との交点をP₂とする。以下、同じようにして、C上に
、x軸上に
を作る。
（１） のx座標を、それぞれとすると、はどんな数列になるか。
（２） 図形
の面積を
とするとき、無限級数
を求めよ。
【解】（１） dy/dx=2xだから、
における接線の方程式は、 
したがって、は初項a/2、公比1/2の等比数列で、
（２） 図形
の面積は
は初項
、公比1/8の等比数列。
よって、
第８回 無限級数５ [高校の数列の極限]
第８回 無限級数５
問題１
数列について、
であり、すべてのnに対して、
のときは、この数列は収束する。
この定理は使っていいものとして、次の問いに答えよ。
（１） rは一定の数で、0<r<1とする。すべてのnに対して
が成り立つとき、無限級数
は収束することを示せ。
（２） n²>n(n−1)であることをつかって、次の級数が収束することを示せ。
（１） だから、
よって、
とおくと、
また、0<r<1だから
は単調増加で、すべてのnに対して
だから収束する。
（２） n²>n(n−1)だから、n≧2に対して
とおくと、1/n²>0だから、数列は単調増加数列で、かつ、すべてのnに対して
だから、この無限級数は収束する。
問題２ 級数
は収束する。このことを使って、級数
が収束することを示せ。
また、級数との和をそれぞれS、Tとするとき、SとTの間の関係式を求めよ。
とおく。
数列
とは収束するので、①より
となり、は収束する。
【解】
①から、
と
が収束することTに収束することがわかっていないから。
問題１の
数列について、であり、すべてのnに対して、のときは、この数列は収束する。
という定理を使っていいのならば、次のように証明することもできる。
すべての正の整数kについてk²(k+1)>k²だから
また、
だから
は単調増加で、すべてのnに対して
だから、上記の定理より収束する
なお、問題１の（２）は積分を使うと、次のように証明できる。
k≧2とする。x∈[k−1,k]のとき
よって、
この両辺に１を加えると、
問題３ 次の条件を満たす数列は収束するか。
【解】
（１） 
（２）
よって、は収束しない、振動する。
