お前らに質問（級数） （４月１７日） [数列と級数]
お前らに質問（級数）
実数の数列
は
を満たす、つまり、無限級数
が収束するものとする。
このとき、
が収束する保証はない。
何故ならば、
は収束するけれど、
は発散するからだ。
では、ここで、お前らに質問。
問題１ 
がともに収束するとき、
は収束するか。また、
はどうか。ただし、
は実数列とする。
さあ、答えてもらおうじゃないか。
総和記号Σがつかなければ、
相加平均≧相乗平均から
だわな〜。
ところで、
が実数列で
が収束するとき、
って収束するんだっけ？
要するに、無限級数が絶対収束するとき、無限級数は収束するか、と訊いているんよ。
さらに、
問題２ 
のとき、
であることを示せ。
【略解】
シュワルツの不等式を用いると、
が成り立つ。
よって、
は有限確定。
（略解終）
とある本に書いてある答なんだけれど、何が書いてあるか、チンプンカンプンだにゃ。
だ・か・ら、
お前ら、他人（ひと）にわかるように補足し、この略解を完全なものにするにゃ。
そして、記事のコメントにそれを書いてネムネコのもとに送信するケロ。
オマケ問題の解答例（級数編） [数列と級数]
オマケ問題の解答例（級数編）
問１ 次のことを示せ。
【解答】
（１）
とおくと、
ゆえに、
となり、f'(x)は増加関数。
したがって、
となり、f(x)は増加関数。
よって、
ゆえに、x>0のとき、
（２） （１）より、x>0のとき、
また、
となるので、ハサミ打ちの定理より、
（３） 
とおくと、
n→∞のときx→∞になるので、
（解答終）
問２ 次のことを示せ。
【解】
nを２以上の自然数とすると、n+1<n²となるので、
問１より、
だから、ハサミ打ち定理より、
（解答終）
定理
ならば、
問３ 定理を使わずに、次のことを示せ。
【解答】
kを自然数とする。
閉区間[k−1,k]でlogxは増加関数なので、
したがって、
log1=0だから、
また、
となるので、
したがって、
（解答終）
もっとうまい方法があるかもしれないけれど、定理を使わなくても、この問題は解くことができる。
級数の収束に関するオマケ問題 [数列と級数]
級数の収束に関するオマケ問題
２４日で御用納めにすには早いので・・(^^ゞ
このままでは終われない！！
定理（？）
ならば、
上記の定理（？）を使って、いくつか、問題を解くことにする。
問題１ 次のことを示せ。
【解】
（１） 
とおくと、
したがって、定理より、
（２） 
とおくと、
したがって、定理より、
（解答終）
（１）については、
k≧2のとき、閉区間[k−1,k]で
となるので、
したがって、
ゆえに、
また、
となるので、ハサミ打ちの定理より
と、解くことも可能ですが・・・。
なお、
になることは、
の対数をとったあと、極限をとると
問１ 次のことを示せ。
問２ 次のことを示せ。
ロピタルの定理を使ったら、下の動画に出てくる魔理沙のように息の根を止めてやる！！
問題２ 次のことを示せ。
（１） 
でならば、
（２） 
【略解】
（１） 
の対数をとると、
問題の条件より
また、定理より
よって、
ここで、
（２） 
の対数をとると、
また、
なので、定理より、
も発散する。
したがって、
（略解終）
問３ 定理を使わずに、次のことを示せ。
関数列の問題 [数列と級数]
関数列の問題
問題１ I=[0,1]のとき、
が
で定義されるとする。
このとき、次の問に答えよ。
（１） 関数列
がIの各点で収束することを示せ。
（２） は一様収束か。
（３） 
は成立するか。
【解】
（１） x=0のとき、
なので、1に収束する。
0<x≦1のとき、
になるようにnをとると、
なので、
したがって、
（２） はIで連続であるが、その極限関数f(x)がIで連続でないので、一様収束ではない。
（３）
また、
よって、
（解答終）
（２）のの一様収束か否かの判定には、次の定理１を使っている。
定理１
I上の連続関数列が関数f(x)に一様収束すれば、f(x)はI上で連続である。
また、
で、
だから、
はIで一様収束でないとしてもよい。
問題２
とする。このとき、次の問に答えよ。
（１） [0,1]の各点で収束することを示せ。
（２） 一様に収束するか。
（３） は成立するか。
【解】
（１） x=0のとき、
だから、０に収束する。
0<x≦１のとき、
n→∞のとき2/nx→0なので、ハサミ打ちの定理より
よって、は[0,1]の各点でf(x)=０に収束する。
（２） の増減を調べるために、xで微分すると
したがって、x=1/nのときに、は最大。
したがって、
よって、
である。
なので、は一様収束でない。
（３）
また、
よって、
（解答終）
定理１の逆は一般に成り立たないので、
極限関数f(x)=0が[0,1]で連続だから関数列は[0,1]で一様収束
とするのは間違いなので、注意。
問題３
とする。このとき、次の問に答えよ。
（１） 関数列が[0,1]の各点で収束することを示せ。
（２） 一様収束か。
（３） は成り立つか。
【解】
（１） x=0のとき、
0<x≦1のとき、1/n≦xとなるように自然数nをとると、
したがって、
よって、[0,1]の各点xでf(x)=0に収束する。
（２）
したがって、一様収束でない。
（３）
よって、
また、
だから、
は成立しない。
（解答終）
(1+1/n)^nの収束を示す問題 [数列と級数]
が収束することを示す問題
問題１ x>0のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
ただし、nは、n>1の自然数である。
微分を使うならば、次のように解くのが一般的だろう。
【解答１】
とし、この関数の増減を調べるために微分すると
したがって、増減表は次のようになる。
よって、
ゆえに、
である。
（解答終）
微分を使いたくなければ、
に注目し、次のように解くことができる。
【解答２】
0<x<1のとき、
よって、
x=1のとき、0=0で等号成立。
1<xのとき、
よって、
以上のことをまとめると、
（解答終）
問題２
（１） 前問の不等式を用いて、
が単調増加列、
が単調減少列であることを示せ。
（２） 
であることを示せ。
【解】
（１） nをn>1の自然数、x>0とすると、
である。
を代入すると、
したがって、
よって、
は単調増加列である。
を代入すると、
よって、
したがって、
は単調減少列である。
（２） 
と、は上に有界な単調増加列だから収束する。
また、
だから、
よって、
である。
（解答終）
が収束することを示しているので、
としてもよいのでしょう。
よくまぁ、問題２の（１）のような、うまい方法を思いつくもんだと、ただただ感心するばかり。
この問題が出ていた本には、
と置けと書いてあるだけで、あとは何も書いていないんだけれど・・・。
有界収束の定理 [数列と級数]
有界収束の定理
普通の微分積分の教科書では取り扱っていない、有界収束の定理を紹介する。
定理４（有界収束の定理）
有界閉区間[a,b]で定義された連続関数から構成された関数列が有界で、連続関数f(x)に収束するならば、
が成り立つ。
この有界収束の定理はいわゆる微分積分の範囲を逸脱するので、証明は示さない。
例１ 連続関数
からなる関数列は、すべての自然数nについて、
で有界。また、極限関数はf(x)=0は[0,1]で連続なので、上の有界収束の定理より
と計算することができる。
問
を実際に計算し、
となることを確かめよ。
問題１ 次の値を求めよ。
【解】
[0,1]の全ての点で
に収束し、
で有界。
したがって、定理４より
（解答終了）
実は、定理４は、もっと条件を弱めることができる。
定理４’（有界収束の定理）
が有界閉区間[a,b]で積分可能、[が[a,b]（のほとんど全て almost everywhere ）でf(x)に収束し、かつ、
が有界ならば、f(x)は積分可能で、
が成り立つ。
ただし、下線部を引いた積分可能はリーマン積分可能の意味でない場合があるので注意が必要。
この定理４’を用いると、
関数列
の極限関数は
と、[0,1]で不連続なのに、
と計算できる理由を説明できる。
問題２ 次の値を求めよ。
【解】
x=0のとき、
0<x≦1のとき、
したがって、極限関数f(x)は
また、[0,1]で
と有界なので、定理４’より
（解答終了）
問２
を実際に積分することによって、
の値を求めよ。
【略解】
よって、
ここで、erf(x)は誤差関数
（略解終）
これで、厄介な一様収束の判定から無縁になった！！
ただし、有界収束の定理は有界閉区間[a,b]でないと一般に成立しないので注意が必要である。
級数のどうでもいい話 [数列と級数]
級数のどうでもいい話
次に何をやろうかと考え、数学の演習書をチラリと覗き、次のような問題を見つけた。
問題 次の無限級数の収束判定をせよ。
数秒間、何も考えずに、問題をただじっと見つめ、閃きの瞬間を待つ。
――これがネムネコ的問題解決法。どうしても閃かないときは、仕方がないので考える(^^ゞ――
そして、「あっ、そうか」と閃き、
で、
と、
が発散するので、は発散する
と解けというわけね。
まっ、
で、
は発散するから、も発散する
と解いてもいいのだろうけれど、上の解答の方がオシャレだね。
でも、いつも、このような閃きが訪れるとは限らない。
そこで、閃かないときのために、次のような解答も用意したにゃ。
k=1,2,・・・,nとし、k≦x≦k+1、すなわち、[k,k+1]という閉区間で、
という関数を考えると、これは単調減少関数。
したがって、
という関係が成り立つ。
よって、
である。
てなわけで、
そして、
となるので、
は発散する。
さてさて、では、この記事の読者の閃きを信じて、次の問題を解いてもらおう。
問題２ 次の級数が収束することを示せ。
閃きが訪れると、この問題は実に鮮やかに解くことができる。
とはいえ、閃かないヒトたちのために、次の解答を用意しておこう。
【閃かない人向けの解答】
k=2,3,・・・,nとし、閉区間[k−1,k]で
について考える。
すると、f(x)は減少関数なので、
よって、
したがって、
両辺に１を足すと、
となる。
だから、 
はnが増えると増加する単調増加列で、は２より小さく、つまり、上に有界。
上に有界な単調増加列は収束するので、
は収束する。
（解答終）
なお、f(k−1)≧f(x)を使うと、
両辺に1/n²を加えると、
では、上の解答を真似て、つぎの類題を解いてもらいましょうか。
類題
は、α>1のとき、収束することを示せ。
関数列の微分 [数列と級数]
関数列の微分
定理３
関数列
を閉区間[a,b]上のC¹級の関数列とする。[a,b]でが関数f(x)に各点で収束し、かつ、
がある関数に一様収束するならば、
である。
【証明】
は[a,b]上でC¹級なので、
は[a,b]で連続で、積分可能である。
x∈[a,b]とすると、
はf(x)に各点で収束し、はその極限関数g(x)に収束するので、
n→∞の極限をとると、
右辺は微分可能なので、f(x)も微分可能で、
（証明終）
例１
とすると、これはx≧1でC¹級で、f(x)=0に一様収束する。
また、
なので、も0に一様に収束する。
したがって、定理３より、
となり、定理が成り立っていることがわかる。
問１ 次の関数列が一様に収束することを示せ。
【略解】
また、
なのでハサミ打ちの定理より、
よって、関数列はf(x)=0に収束する。
だから、一様に収束する。
（略解終）
例２
はC¹級で、f(x)=0に一様に収束。
また、
は、
となり、一様収束ではない。
この例の場合、
である。
例３
で定義される関数列がある。
となるので、この関数列の極限関数はf(x)=0である。
また、
は、0に一様ではなく各点収束する。
しかし、
が成立する。
例３を見るとわかる通り、が一様収束ではなく各点収束であっても、
が成立することがある。
実は、が一様収束であるという条件は強すぎる。もっと縛りの弱い条件でも成立するのですが、これは微分積分の範囲を越えてしまうので、これ以上は語らない。
問２
がx∈[0,1]であるすべて点xで収束することを示せ。また、一様収束でないことを示せ。
【略解】
よって、[0,1]で0に収束し、極限関数はf(x)=0 (x∈[0,1]) である。
x=1/nとすると、
となるので、一様収束ではない。
（略解終）
上の解答では、ずるい一様収束の判定を行ったが、
を微分し、それから増減を調べ、
となることを確かめるように。
関数列のどうでもいい話かも [数列と級数]
関数列のどうでもいい話かも
定理２
を閉区間[a,b]で連続な関数列とする。[a,b]上でがf(x)に一様収束するならば、
次の連続な関数列
は、
に収束するので、[0,1]で一様収束ではない。
したがって、定理２を使うことはできない。
しかし、
となる。
また、極限関数f(x)は[0,1]で積分可能であり、
となるので、
が成立する。
したがって、連続な関数列が[a,b]上でf(x)に一様収束しなくても、（１）式が成立することがある。
つまり、連続な関数列が極限関数に一様収束することは（１）式が成立することの十分条件にすぎないことがわかるだろう。
（２）式で定義される関数f(x)は[0,1]で連続でないので、積分できないって？
それは、
が成り立つとき、F(x)をf(x)の原始関数（不定積分）といい、定積分を
と定義する高校流の定積分の話。
（２）式で定義される関数は、（リーマン）積分可能ですよ。
f(x)を閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。[a,b]の分割
に対し、
を任意に選んだ
をリーマン和といい、
を分割の幅という。
このとき、ある実数αが存在して、
のとり方によらず、
が成り立つとき、f(x)は[a,b]上で積分可能であるといい、
で表し、この値をfの[a,b]上の定積分という。
（２）の関数の場合、x=1が
に選ばれた時、
であり、x=1が選ばれない時は、
となるので、の選び方によらず、
となり、f(x)は[0,1]で積分可能で、
になる。
なお、
となる微分可能な関数F(x)は存在しないので、f(x)に原始関数は存在しない。
というわけで、（２）式で与えられる関数列に関しては、
が成立することを理解してもらえたと思う。
次の関数列の場合はどうなるであろうか。
この関数列は、[0,1)では0に収束するが、x=1のとき、
となるので、x=1では収束しない。
したがって、この数列の収束域は[0,1)で、極限関数は
となる。
では、ここで問題。
問題
0<a<1とする。
で定義される関数列がある。
（１） 関数列は[0,a]で各点収束することを示せ。
（２） 関数列は[0,a]で一様収束するか。
（３） 
は成り立つか。
一様収束する関数列の性質の復習 [数列と級数]
一様収束する関数列の性質の復習
定理１
I上の連続関数列が関数f(x)に一様収束すれば、f(x)はI上で連続である。
【証明】
a∈Iとし、ε>0を任意の正数とする。
関数列は一様収束するので、任意の正数ε/3に対して、ある自然数Nが存在して、
を満たす。
特に、
である。
また、関数
は点aで連続なので、あるδ>0が存在し、
よって、
である任意のxに対して、
したがって、f(x)はIに属する任意の点aで連続となり、f(x)はI上の連続関数である。
（証明終）
関数列
とすると、は[0,1]で連続。
極限関数f(x)は
となり、x=1でf(x)は不連続。
したがって、定理１からこの関数列は一様収束でないと判定できる。
定理２
を閉区間[a,b]で連続な関数列とする。[a,b]上でがf(x)に一様収束するならば、
である。
【略証】
は[a,b]で連続なので積分可能。
したがって、
（略証終）
0<a<1とする。
次の連続な関数列
は、
に[0,a]で一様収束する。
したがって、定理２より
と計算することが可能。
現に
となることから、このことを確かめることができる。
問題 次の関数列がある。
（１） が[0,1]で一様収束することを示せ。
（２） の極限関数をf(x)とするとき、
となることを確かめよ。
【略解】
（１） 関数列の極限関数をf(x)とすると、
である。
の最大、最小値を求めるために、をxで微分し、増減を調べると、
ゆえに、
増減表は次のようになる。
したがって、
よって、
はfに一様収束する。
（２） 定理２より
また、
（略解終）
