有界収束の定理

有界収束の定理

 

普通の微分積分の教科書では取り扱っていない、有界収束の定理を紹介する。

 

定理４（有界収束の定理）

有界閉区間[a,b]で定義された連続関数から構成された関数列が有界で、連続関数f(x)に収束するならば、

　　

が成り立つ。

 

この有界収束の定理はいわゆる微分積分の範囲を逸脱するので、証明は示さない。

 

例１　連続関数

　　

からなる関数列は、すべての自然数nについて、

　　

で有界。また、極限関数はf(x)=0は[0,1]で連続なので、上の有界収束の定理より

　　

と計算することができる。

 

 

問

　　

を実際に計算し、

　　

となることを確かめよ。

 

問題１　次の値を求めよ。

　　

【解】

[0,1]の全ての点で

　　

に収束し、

　　

で有界。

したがって、定理４より

　　

（解答終了）

 

実は、定理４は、もっと条件を弱めることができる。

 

定理４’（有界収束の定理）

が有界閉区間[a,b]で積分可能、[が[a,b]（のほとんど全て almost everywhere ）でf(x)に収束し、かつ、が有界ならば、f(x)は積分可能で、

　　

が成り立つ。

 

ただし、下線部を引いた積分可能はリーマン積分可能の意味でない場合があるので注意が必要。

 

この定理４’を用いると、

関数列

　　

の極限関数は

　　

と、[0,1]で不連続なのに、

　　

と計算できる理由を説明できる。

 

問題２　次の値を求めよ。

　　

【解】

x=0のとき、

　　

0<x≦1のとき、

　　

したがって、極限関数f(x)は

　　

また、[0,1]で

　　

と有界なので、定理４’より

　　

（解答終了）

 

問２

　　

を実際に積分することによって、

　　

の値を求めよ。

【略解】

　　

よって、

　　

ここで、erf(x)は誤差関数

　　

（略解終）

 

これで、厄介な一様収束の判定から無縁になった！！

 

ただし、有界収束の定理は有界閉区間[a,b]でないと一般に成立しないので注意が必要である。