ベクトルの内積を使って平行四辺形の面積を求める

ベクトルの内積を使って平行四辺形の面積を求める

 

同一平面上に原点O、点A、点Bがあり、点Aの座標を(a₁,a₂）、点Bの座標を(b₁,b₂）とする。

△ABCの面積は、∠AOB=θとすると、

　　

であり、下図の平行四辺形OACBの面積Sは

　　

である。

点Aの位置ベクトル、点Bの位置ベクトルをとすると、

　　

である。

三角関数には、sin²θ+cos²θ=1という関係があるので、（２）式の両辺を２乗すると、

　　

である。

　　

だから、（３）式の根号の中は

　　

したがって、（３）式は

　　

となる。

　　

だから、２×２の行列

　　

の行列式（５）は、幾何学的には、が作る平行四辺形の符号付き面積と考えることができる。

 

そして、ベクトルとベクトルの外積は

　　

であり、（５）は外積a×bの基本ベクトルk=(0,0,1)の成分になっているのであった。

 

 

問題　次の問に答えよ。

（１）　A(2,1)、B(1,2)とし、原点をOとする。△OABの面積を求めよ。

（２）　A(5,2)、B(4,3)、C(3,1)とする。△ABCの面積を求めよ。

 

問題の（２）が出来ないとしたら、「ベクトルや図形の平行移動をまった理解していない」と言われてもしょうがない！！

チルミルが足りていないから、チルミルを飲むべきだと思うにゃ。

わからないヒトは、グラフ用紙に△OABと△ABCの絵をかくにゃ！！
と言っても、お前らは絶対に書かないので・・・。

ベクトル 直線の方程式２の続き

ベクトル　直線の方程式２の続き

問題１　直線lの方程式をax+by+c=0とする。

（１）　lはベクトルと平行であることを示せ。

（２）　P(x,y)、Q(x,y)からlにおろした垂線の足をそれぞれR、Sとするとき、RSの長さを求めよ。

【解】

（１）　直線lはと垂直。

　　

よって、と直線lは平行である。

（２）　QからPRに垂線をおろし、垂線の足をHとし、QPとQHのなす角度をθとする。

　　

また

　　

よって、

　　

（解答終わり）

 

問題２　△ABCと点Oがある。

　　

とするとき、次の問いに答えよ。

（１）　AからBCに引いた垂線上の点をPとし、とすると、

　　

となることを証明せよ。

（２）　上の（１）を使って、△ABCの３垂線が１点で交わることを証明せよ。

【解】

（１）　AP⊥BCだから
　　

（２）　AからBCにおろした垂線とBからCAにおろした垂線の交点をPとする。

（１）より

　　

①と②の辺々を足すと

　　

よって、CP⊥ABとなり、△ABCの３垂線は１点で交わる。

（解答終わり）

問題３　△ABCにおいて、辺の長さをBC=a、CA=b、AB=cとする。

（１）　△ABCの平面上の点Pが∠BACの２等分線（延長線も含む）の上にある条件は

　　

であることを示せ。

（２）　３頂点の座標がA(1,3)、B(−2,0)、C(5,-1)のとき、∠BAC、∠ABCの２等分線の方程式を求めよ。また、△ABCの内心を求めよ。

【解】

（１）　∠BAP=∠CAPだから

　　

（２）　∠BACの２等分線上の点Pの座標を(x,y)とする。

　　

よって、

　　

∠ABCの２等分線上の点Pの座標を(x,y)とすると、（１）より

　　

である。

　　

よって、

　　

内心はx=1とx−3y+2=0の交点だから、内心は(1,1)である。

（解答終わり）

内心Pを求めるだけならば、

　　

という公式があるので、これを使ってもよい。

【公式の略証】

与式の両辺をを引く。

　　

よって、点Pは、Aと辺ACをAB:ACに内分する点とを結ぶ直線、つまり、∠Aの２等分線上に存在する。

同様に、点Pは∠Bの２等分線上にあるので、点Pは△ABCの内心である。

（略称終わり）

ベクトル 直線の方程式２（平面の場合）

ベクトル　直線の方程式２（平面の場合）

平面上に、ベクトルに垂直で、位置ベクトルの点P₀を通る直線lがあるとする。

すると、平面上の点Pがこの直線l上にある条件は
　　

であり、

　　

とすると、

　　

だから、点を通りに垂直な直線の方程式は

　　

となる。

は定数なので、とおくと、上式は

　　

となる。

さらに、とすると、次のようになる。

　　

以上のことから、ax+by=cはに垂直な直線である。

問題１　原点Oから直線lへひいた垂線OHとx軸のなす角がαで、OHの長さがpのとき、lの方程式は

　　

であることを示せ。

【解】

l上の動点をP(x,y)とする。

条件より

　　

OH⊥HPだから

　　

p≠0だから、両辺をpで割って

　　

（解答終わり）

 

問題２　点P(x₀,y₀)から直線l:ax+by+c=0におろした垂線の足をHとするとき、推薦の長さPHを求めよ。

【解】

垂線PHは、ベクトルと平行。

　　

垂線の足H(x,y)は直線l上の点なので

　　

よって、

　　

故に、

　　

（解答終わり）

自然な次の別解を。

【別解】

PHは、ベクトルと平行だから、

　　

となる実数ｔが存在する。

垂線の足Hをの座標を(x,y)とすると

　　

この点は直線l:ax+by+c=0上に存在するので

　　

よって、

　　

（別解終わり）

そして、これで、直線l:ax+by+c=0と点P(x₀,y₀)の距離dの公式

　　

を求め、証明したことになる。

 

ベクトル 直線の方程式（平面の場合）

ベクトル　直線の方程式（平面の場合）

§１　直線の方程式

点Aを通り、方向がである直線lがあるとする。

点Pが直線l上にあるので、

　　

となる実数tが存在する。

点Aと点Pの位置ベクトルをそれぞれ

　　

とすると、

　　

より

　　

となる。

ここで、tはすべての実数値をとる変数、媒介変数である。

次に、直線l上に２点A、Bがあり、その位置ベクトルをとする。

直線lはに平行なので、

　　

と考え、上式に代入すると

　　

この結果をまとめると、次のようになる。

１．　点を通り、方向の直線の方程式

　　

２。　２点を通る直線の方程式

　　

s+t=1とすると、上の式は次のように書き換えることができる。

　　

§２　問題

問題１　２点A(−2,3)、B(2,−4)を通る直線上の任意の点の座標を、媒介変数tを使ってあらわせ。

【解】

　　

さらに、直線上の任意の点Pの位置ベクトルを

　　

とする。

　　

したがって、

　　

（解答終わり）

　　

を使って計算してもいいけれど、上のように解いたほうが、計算は楽でしょう。

問題２　平面上に異なる３点A、B、Cがある。s、tは、s≧0、t≧0であるような実数値をとる変数で

　　

とする。

（１）　s+t=1のとき、Pの軌跡を求めよ。

（２）　s+t=k（kは正の定数）のとき、Pの軌跡を求めよ。

（３）　s+t≦1のとき、Pの存在範囲を求めよ。

【解】

（１）　s+t=1よりs=1−t。

また、s≧0とt≧0より、0≦t≦1。

　　

t=0のときP=A、t=1のときP=B。また、点Pは線分AB上を動くので、点Pの軌跡は線分AB（両端を含む）である。

（２）　l=sk、m=tkとおくと、l≧0、m≧0で

　　

さらに、

　　

とおくと、

　　

（１）より、Pの軌跡は線分CDであり、よって、Pの軌跡は原点を中心にABをk倍した線分CDである。

 

（３）　s+t=kとおくと0≦k≦1。

よって、点Pの存在範囲は、△OABの内部とその周である。

 

（解答終わり）

問題３　１直線上にない３点A、B、Cがあって、とする。∠AOBの２等分線が直線ABと交わる点をPとするとき、次のことを示せ。

　　

【解】

　　

とする。

（１）　Pは直線AB上にあるので

　　

またPは∠AOBの２等分線上にあるので

　　

よって
　　

内積を計算すると

　　

これを代入すると、

　　

∠AOB≠0だから、

よって

　　

s+t=1と連立して解くと、
　　

（２）

　　

よって、

　　

である。

ベクトル 空間図形への応用

ベクトル　空間図形への応用

問題１　正四面体ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとするとき、次の問いに答えよ。

（１）　AB⊥CD、AC⊥BD、AD⊥BC

（２）　PR⊥AB、PR⊥CD

【解】

　　
とする。

正四面体だからAB=AC=AD。

正四面体の１辺の長さをaとすると、

　　

また、△ABC、△ABD、△ACDは正三角形だから、∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°。

　　

（１）

　　

同様に、AC⊥BD、AD⊥BC

（２）　とする。

　　

よって、

　　

また、

　　

よって、

　　

問題２　立方体の３つの辺をOA、OB、OCとし、同一の平面上にない頂点をDとすると、ODは△ABCの平面に垂直であることを示せ。

【解】

立方体の１辺の長さをaとし、O(0,0,0)、A(a,0,0)、B(0,a,0)、C(0,0,a)とする。さすれば、D(a,a,a)。

　　

そうすると、

　　

よって、

　　

だから、ODと△ABCの平面は垂直である。

（解答終わり）

座標を導入せず、次のように解いてもいい。

【別解】

　　

立方体だから

　　

また、

　　

だから、

　　

よって、OD⊥AB、OD⊥AC。

したがって、ODと△ABCの平面に垂直である。

（解答終わり）

問題３　空間の３点A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1）がある。

（１）　△ABCの面積を求めよ。

（２）　原点Oから△ABCに垂線OHをひくとき、の向きの単位ベクトルを求めよ。

（３）　△ABCの平面と△AOCのなす角の余弦を求めよ。

【解】

（１）
　　

（２）
　　
とする。

単位ベクトルだから

　　

また、OH⊥CA、OH⊥CBだから

　　

よって、

　　

x≧0、y≧0、z≧0だから、
　　

 

（３）　△ABCの平面の単位垂直ベクトルは、△AOCの単位垂直ベクトルをとすると

　　

この２つの平面のなす角をθとすると

　　

ベクトル 演習問題

ベクトル　演習問題

問題１　△ABCと△PQRの間に、次の関係がある。

　　

△ABCと△PQRの面積比を求めよ。

【解】

　　

とする。

　　

よって、点PはABを2:1に内分する点。

同様に、QはBCを、RはCAを2:1に内分する。

よって、

　　

（解答終わり）

問題２　ベクトルがあって、の間に

　　

の関係がある。

（１）　の内積をkを用いて表せ。

（２）　内積の最小値、およびそのときののなす角θ（0≦θ≦180°）を求めよ。

【解】

（１）　だから、。

また、

　　

（２）

　　

相加平均≧相乗平均より

　　

よって、

　　

したがって、内積の最小値は1/2。

　　

（解答終わり）

 

問題３　円Oに内接する△ABCがある。動点Pが円O上を動くとき、

　　

を満たす点Qの軌跡は、△ABCの各辺の中点を通る円であることを示せ。

【解】

　　

とする。

　　

△ABCの外接円の半径をRとすると、は△ABCの外接円の半径Rであり、点QはDを中心とする半径R/2の円周上の点である。

また、

　　

より、点Aと点Pが一致するとき、つまり、

　　

のとき

　　

で、点Qは辺BCの中点と一致し、したがって、点QはBCの中点を通過する。

同様に、点Pが点Bに一致するときはCAの中点、点Cと一致するときはABの中点を通る。

以上のことより、点Qの軌跡は、△ABCの各辺の中点を通る円である。

（解答終わり）

△ABCの重心をGとすると、

　　

だから、

　　

である。

ベクトル ベクトルの図形への応用２

ベクトル　ベクトルの図形への応用２

問題１　決まった平行四辺形ABCDがある。任意の点Pに対して、

　　

が一定であることを証明せよ。

【証明】

　　
とする。

四角形ABCDは平行四辺形だから

　　

よって、

　　

したがって、この値は、任意の点Pによらず、一定である。
（証明終わり）

この問題の結果を使うと、次の問題を簡単に解くことができる。

問題２　、を満たすベクトルを位置ベクトルとする４点A、B、C、Dはどんな位置関係にあるか。

【解】

　　

よって四角形ABCDは平行四辺形。

として問題１の結果に代入すると

　　

よって、AB⊥AD。

以上のことから、四角形ABCDは長方形。

（解答終わり）

そして、平行四辺形の面積を与える公式の証明。

問題３　平面上の２つのベクトルを隣り合った２辺とする平行四辺形の面積をSとするとき、

（１）　であることを証明せよ。

（２）　のとき、Sを求めよ。

【解】

（１）　平行四辺形の面積Sは、∠AOB=θとすると

　　

内積の定義から

　　

よって

　　

（２）　（１）より

　　

で、S≧0だから

　　

（解答終わり）

問題２の（１）より

平面上の２つのベクトルを隣り合った２辺とする平行四辺形の面積をSは

　　

平面上の２つのベクトルを隣り合った２辺とする三角形の面積は

　　

問題４　平面上で、３点A(1,1)、B(2,3)、C(4,−1)を頂点とする三角形の面積を求めよ。

【解】

　　

（解答終わり）

 

ベクトル 図形への応用

ベクトル　図形への応用

本格的にベクトルの図形への応用をする前に、知識の確認。

　　

1の||はABとCDが平行であることをあらわす記号。

さらに、

点Cが直線AB上にある必要十分な条件はとなるkが存在することである。

問題１　△ABCの外心をOとし、

　　

となるHをとるとき、次のことを証明せよ。

（１）　Hは△ABCの垂心である。

（２）　△ABCの外心、垂心、重心は１直線上にある。

【証明】

（１）　とする。

Oは△ABCの外心なので、

　　

である。同様に、BH⊥CA、CH⊥AB。
　　
よって、Hは垂心である。

 

（２）　重心をGとすると

　　

だから、

　　

故に、O、G、Hは１直線上にある。

（証明終わり）

オイラー線

三角形において、外心をO、重心をG、垂心をHとすると、O、G、Hは一直線上にあり、

　　

を証明したことになる。

 

問題２　△ABCと同じ平面上に点Oがあり、

　　

であるとき、Oはどんなん点か

【解答】

とすると、条件は

　　

よって、

　　

よって、CO⊥AB。

また、

　　

よって、AO⊥BC。

同様に、BO⊥CA。

したがって、Oは垂心である。

（解答終わり）

問題　３点A、B、Cの位置ベクトルが次の条件を満たしているとき、△ABCはどんな三角形か。

（１）　

（２）　

【解（？）】

重心をGとすると

　　

のときとなり、重心Gと原点Oは一致する。

（１）のはOA=OB=OC、つまり、Oと三角ABCの各頂点の距離は等しいので、Oは外心。外心Oと重心Gが一致するのだから、△ABCは正三角形。

（２）のは、問題２よりOが垂心であることを表しており、また垂心と重心が一致するのだから、△ABCは正三角形である。

（解答？終わり）

 

しかし、こんな解答をしたら、学校の先生から怒られる。学校の先生から怒られるだけならばまだしも、大学受験で点数をもらえないかもしれない。

【解】

（１）　より　　

　　
よって、AB=AC。

同様に、BC=BA。

よって、△ABCは正三角形。

（２）　

で、
　　

よって、AB=AC。

同様に、BC=BA。

よって、△ABCは正三角形。

（解答終わり）

これはあくまで解答の一例で、他にもいくつか解答は考えられる。

たとえば、次のように考えるだろう。

　　

同様に

　　

だからとなり、という条件が出てきて、（２）を（１）に書き換えることもできる。

（１）、（２）ともに、△ABCが正三角形であるための必要十分な条件なのだから、当たり前の話。

（１）はから

　　

として、

　　

同様に、∠COA=∠AOB=120°。

また、条件よりOA=OB=OC。

２辺挟角相等より△OAB≡△OBC≡△OCA。

よって、AB=BC=CAで△ABCは正三角形。

平面図形と式 平面座標

平面図形と式　平面座標

平面座標を使って、重心、外心の問題を解くことにします。

その前に、平面座標の基本事項の復習。

１　２点間の距離

２点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)の距離ABは

　　

２　内分と外分

２点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)を結ぶ線分をm:nに内分する点は

　　

であり、中点は

　　

２点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)を結ぶ線分をm:nに外分する点は

　　

３　重心

３点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)を頂点とする△ABCの重心の座標は

　　

３の重心の座標の式⑤だけがあらたに出てきたので、これを導くことにする。

BCの中点をとすると、Dは

　　

また重心の座標を

　　

とすると、Gは中線ADは2:1に内分するので、

　　

となる。

では、問題を。

問題１　平面上に２点A(−2,1)、B(3,2)がある。

（１）　線分ABを2:3に内分する点、外分する点を求めよ。

（２）　点Bに関して、点Aと対称な点の座標を求めよ。

（３）　２定点A、B等距離にある点をx軸上に求めよ。

【解】

（１）　内分する点Cは

　　

2:3に外分する点Dは

　　

ウォーミングアップを済ませたところで、本格的な問題を。

問題２　３点A(−5,5)、B(−2,6)、C(2,4)を頂点とする△ABCの重心Gと外心Dの座標を求めよ。

【解】

重心Gの座標を(x,y)とすると

　　

よって、重心は

　　

外心Dの座標を(x,y)とする。

Dは外心なのでAD=BD=CD、よってAD²=BD²=CD²。

　　

これを解くと、x=−2、y=1。

よって、D=(−2,1)。

（解答終わり）

座標を使うと、このようにして重心、外心を求めることができる。

問題３　３点A(4,1)、B(6,−3)、C(−3,0)が与えられている。

（１）　A、B、Cから等距離にある点Pの座標を求めよ。

（２）　AQ²+BQ²が最小となるようなx軸上の点Qの座標を求めよ。

【解】

（１）　点Pの座標を(x,y)とする。

　　

これを解くとx=1、y=−3。

よって、P(1,−3)。

（２）　Q(x,0)とする。

　　

x=5のときAQ²+BQ²は最小となる。

よって、Q(5,0)。

（解答終わり）

問題３の（１）の点Pは、△ABCの外心。

ベクトル 内積の不等式への応用

ベクトル　内積の不等式への応用

成分で表される２つの平面ベクトルがあるとき、その内積は

　　

になる。

空間ベクトルの場合、つまり、のとき、この内積は

　　

になる。

では、問題。

問題１　ベクトルの内積を利用して、次の不等式を証明せよ。

　　

【証明】

とし、この２つのベクトルのなす角度をθとする。

　　

また

　　

よって、

　　

等号が成立するのはcos²=1、または、またはのとき。

cos²θ=1になるのはθ=0またはθ=180°のときで、これは。

よって、等号成立は、またはまたはのときである。

（証明終わり）

また、

　　

は一般に成り立つので、とすれば、次の不等式が得られる。

　　

これを使って、次の問題を解くことにする。

問題２　x、y、zが負でない実数でx+2y+3y=1のとき

　　

の最大値を求めよ。

【解】

　　

等号が成立するのは、

　　

よって、

　　

（解答終わり）

こうした解法がいいかどうかは別にして、こういうふうに解くことができる。

次の問題は有名問題なので、やらないわけにはいかない。

問題３　零ベクトルでない２つのベクトルが与えられている。

が最小となるとき

（１）　tの値を求めよ。

（２）　とが直交することを示せ。

【解】

（１）　だから２乗しても大小関係は変わらない。だから、を２乗する。

　　

よって、

　　

の時に最小。

（２）

よって、とが直交する。

（解答終わり）

とすると、点Pはで表される点Aを通り、に平行な直線上の点。
は、原点Oと点Pとの距離。

だから、問題３の（１）で、原点Oと直線上の点との距離の最小値を求めていることになる。

原点Oからこの直線におろした垂線の足をHとすると、（２）では、直線と原点との距離が最小のとき、OHと直線が直交しているということを表している。