お前らに初等幾何学の簡単な問題（４月１５日） [初等幾何学]
お前らに初等幾何の問題
問題１ 三角形ABCの内部に点Pをとる。このとき、次のことを示せ。
（１） ∠BAC＜∠BPC
（２） BA＋AC＞BP＋PC
ヒントとなる補助線を引いてあるから、簡単に解けるだろ。
間違っていようが、ネムネコが責任をもって、もらった解答を清書した上で、このブログの記事として紹介するにゃ。
円外の点より引いた接線と極線の問題 [初等幾何学]
円外の点より引いた接線と極線の問題
問題 円x²+y²=r²の周上の点P(a,b)における接線の方程式はax+by=r²である。
（１） 円外の点Q(x₁,y₁)より、この円に２つの接線、その接点をA、Bとするとき、直線ABの方程式を求めよ。
（２） 直線ABの円外の点より、この円に２つの接線を引き、接点をそれぞれC、Dとすると、直線CDはQを通ることを示せ。
【解】
（１） 接点A、Bの座標を(a₁、b₁)、(a₂,b₂)とすると、接線の方程式は
直線①、②は点Q(x₁,y₁)を通るので
よって、A(a₁、b₁)とB(a₂,b₂)は直線x₁x+y₁y=r²上にある。２点を通る直線は１本だから、直線の方程式は
である。
（２） （１）で求めた直線x₁x+y₁y=r²上の円外の点をR(x₂,y₂）とすると、
また、（１）より接点C、Dを通る直線CDの方程式は
である。③より点Q(x₁,y₁)は直線x₂x+y₂y=r²上の点なので、直線CDは点Qを通る。
（解答終）
円x²+y²=r²の外部の点P(x₁,y₁)からこの円に２本の接線を、そのときの接点を通る直線は
である。
この直線を、円x²+y²=r²の点P（極という）に関する極線という。
反転の問題 [初等幾何学]
反転の問題
数学の問題集を見ていたら、反転に関する次の問題があった。
問題
原点を中心とする半径rの円の円外の点P(x,y)から接線を引き、２つの接線を結ぶ直線とOPとの交点をQ(X,Y)とするとき、PをQに写す写像を反転という。
（１） OP・OQ=r²を証明し、次の等式を導け。
（２） この反転の逆写像も反転であることを証明せよ。
（３） Pが直線x+y=1上を動くとき、Qのえがく図形の方程式を求めよ。
【解】
（１） 円外の点Pから円に引いた接線の交点をA、Bとし△OQAと△OAPに注目する。
∠AOQ=∠POA
∠OQA=∠OAP＝∠R
∴ △OAQ=△OPA
よって、
①の両辺をOQ²で割ると
点Pは線分OQの延長線上にああるから、
よって、
である。
（２） ①の右辺、左辺をOP²で割ると、
よって、この反転の逆写像も反転である。
（３） x+y=1にを代入すると、
よって、点(r²/2、r²/2)を中心とする半径r²/√2の、原点Oを通る円である。
（解答終）
一般に、反転によって原点を通らない直線は原点を通る円に写され、原点を通る円は原点を通らない直線に写される。
③式に②式を代入するとx+y=1に戻るので、これから、反転によって原点を通らない円が原点を通らない直線に写ることが確かめられる。
この問題で使われている反転の定義が面白いと思ったので、今回、特別にこの問題を取り上げてみました。
こんな解法を思いつくものか！！ [初等幾何学]
こんな解法を思いつくものか！！
問題 AB=2ACかつBC=30（ｃｍ）である。△ABCの面積の最大値を求めよ。
【解】AB：AC=2:1であるから、∠Aとその外角の２等分線が辺BCまたはその延長と交わる点をそれぞれD、Eとする。
DE：DC＝EB：EC＝２：１またBC=３０（ｃｍ）より、
ED=２０（ｃｍ）BE＝６０（ｃｍ）
∴ DE=40（ｃｍ）∠DAE＝∠Rであるから、Aは直径DEの円周上にあり、BCに垂直なこの半径をA₁とすれば、AがA₁にあるとき、△ABCの面積は最大で、最大値は３００（ｃｍ²）である。
（解答終）何とも鮮やかな解答。
日常的に初等幾何学に接している人、あるいは、初等幾何を得意とする人ならばこうした解答を思ういつく人もいるのかもしれないけれど、しかし、
こんな解法をそうそう思いつくものか！！
ということで、別な方法で解いてみる。
【別解】
AC=xとすると、問題の条件AB=2ACよりAB=2x。三角不等式より
よって、Sはx=√500のとき最大で、最大値は３００である。
（別解終了）
となるので、これを微分して極値を求めてもいいけれど、これは少し計算が面倒なので、直接Sの最大値を求めよりはS²の最大値を求めたほうが計算はずっと楽でしょう。
ちなみに、Sのグラフは右の図になる。
第２回 三角形の合同条件 [初等幾何学]
第２回 三角形の合同条件
小中学校で、次の３つの三角形の合同条件を習ったと思う。
今回は、前回、導入した公理に基づいた証明を紹介する。定理６ 三角形の合同条件
（１） ２辺と挟角相等（２） １辺と両端の角相等
（３） ３辺相等【証明】
（１） △ABCと△A’B’C’において、AB=A’B’、AC=A’C’、∠A=∠A’とする。△A'B'C'を移動させ、AとA’が一致するように、半直線ABとA'B’を重ねる。
AB=A'B'だから、BとB'は重なる。また、∠A=∠A’だから、半直線ACとA’C’も重なり、AC=A'C'だから、CとC’は重なる。
２点B（B'）とC（C'）を通る直線は１本なので、BCとB'C'は重なる。よって、
△ABC≡△A’B'C'
（２） △ABC、△A’B’C’において、BC=B’C’、∠B=∠B’、∠C=∠C’とする。
∠B=∠B’、∠C=∠C’であるから、B’A’とBAが重なり、C’A’もCAに重なる。
２直線の共有点は１だけだから、A’とAは重なる。よって、△ABC≡△A’B’C’である。
（証明終わり）（３）のの証明のために次の定理を証明する。
定理７ 二等辺三角形の底角は等しい。
【証明】△ABCを裏返して、A、B、CがA’B’C’になったとする。
図形を裏返しにしても形や大きさは変わらないから△ABCと△A’C’B’においてAB=AC=AC’
AC=AB=A’B’∠BAC=∠C’A’B’
よって、△ABC≡△A’C’B’ （二辺挟角相等）∴ ∠ABC=∠A’C’B’=∠ACB
（証明終わり）そして、この定理７を用いて、定理６の（３）を証明することにする。
定理６の（３）の証明BC=B'C'だから、△A'B'C'を移動してB’とB、C'とCとを重ねると、辺B'C'と辺BCは重なる。
そこで、A'が直線BCに関してAと反対側にくる点をDとする。△BDAはBD=BAの二等辺三角形なので、∠BDA=∠BAD。
また、△CADもCA=CDの二等辺三角形なので、∠CAD＝∠CDA。よって、∠BAD=∠BDA。
定理６の（１）の２辺挟角相等より、△ABC≡△DBC。∴ △ABC≡△A'B'C'
（証明終）
問題 「AB＝A'B'、AC=AC'、∠ABC＝∠A'B'C'ならば△ABC≡△A'B'C'である」は正しいか。【解】
反例として、次の三角形を上げれば十分でしょう。つまり、正しくない。
（解答終）錯角、同位角の等しい２直線は平行であることの証明 [初等幾何学]
錯角、同位角の等しい２直線は平行であることの証明
中学校で習った
定理異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の錯角をα、βとするとき、
を証明することにする。
なお、記号
は直線l、mが平行であることを示す。
いきなりこの定理は証明できないので、この定理の証明に使用する第２外角定理をまず証明する。
第２外角定理
【証明】
辺ACの中点をDとし、BDの延長上にBD=DEとなる点をとる。
条件より、
AD=DCBD=DE
また、∠ADE=∠CDB（対頂角相等）
したがって、△ADE≡△CDB（二辺挟角）
したがって、β=γ ①
線分AEは線分ACと線分AFの間にあるのでγ<∠CAF=α ②
①と②よりα>β
（証明終）∠CBA=δとおくとき、同様に、α>δも成立する。
だから、上の定理は、「外角はその内対角よりも大きい」と言い換えることができる。
定理A
異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の錯角をα、βとするとき、
上の定理の証明には背理法を使う。
【証明】
α=βで、直線lと直線mが平行でないとする。直線lと直線mは平行でないから、直線lと直線mは交わる（平行の定義）。
この交点をCとする。△ABCを考えると、第２外角定理よりα>βとなりα=βという仮定と反する。
よって、
（証明終）
そして、上の定理と対頂角相等から次の系が直ちに証明される。
系
異なる２直線l、mに直線nが交わってできる１組の同位角をα、γとするとき、 
【略証】
仮定よりα=γ対頂角相等よりγ=β
よって、α=β。したがって
ここまでは、有名な平行線の公理、すなわち、
平行線の公理
直線外の１点を通り、その直線に平行な直線は１つであって、ただ１つに限る。を必要としていないし、使用していない。
つまり、
直線外の１点を通り、その直線に平行な直線が２本引けようが、３本引けようが、もっと多く引けようが、上の定理とその系は成り立つはずなんだにゃ。ただし、上の定理とその系の逆、つまり、
定理
平行な２直線l、mが他の直線nに交わるとき、１組の錯角（または同位角）は等しい。の証明には平行線公理が必要になる。
定理B
平行な２直線l、mが他の直線nに交わるとき、１組の錯角（または同位角）は等しい。
【証明】
α>βであるとする。
∠XAB=αの内部に∠YAB=βとなる角をとり、点A、Yを結ぶ直線l’を引く。∠YAB=βだから、定理Aより直線l'は直線mと平行である。
しかし、平行線の公理より、点Aを通り直線mに平行な直線は１つであるのに、直線lと直線l’の２本あることになり平行線の公理に反する。
α<βの時も同様。したがって、α=βである。
（証明終）直線lと直線mは平行に見えないかもしれないが(^^ゞ
第３９回 軌跡のイントロ [初等幾何学]
第３９回 軌跡のイントロ
軌跡とは、ある条件を満たす点の集まり、点の集合のこと。
では、問題。
問題１ 座標平面上２定点A₁(−a,0)、A₂(a,0)がある。この平面上において
【解】
（解答終わり）
このようにして得られる円をアポロニウスの円という。
では、A₁P=A₂Pのときはどうなるか。
ということで、
m≠nのとき アポロニウスの円
m=nのとき A₁(−a,0)とA₂(a,0)の垂直二等分線になりそうだ。
ということで、次の問題。
問題２ m、nが正の数で
m≠nのとき
は
の内積をあらわす。ベクトルの内積は、２つのベクトルのなす角度をθとすると
【解】
m≠nのとき 
とし、さらに
とすると、点CとDは、それぞれ、線分ABをm:nに内分する点と外分する点をあらわしている。そして、
m=nのとき
（解答終わり）
４点A、C、B、Dがこの順にならび同一線上にあるとする。このとき、
AC:CB=AD:DBが成り立つとき調和点列という。
そして、上の問題の証明からアポロニウスの円と調和点列は深い関係があり、
第３８回 ベクトルと初等幾何 [初等幾何学]
第３８回 ベクトルと初等幾何
§１ （平面）ベクトル
ベクトルとは、大きさと方向を持った量のこと。
幾何的なベクトルでは、有向線分ABについて、その位置を問題にせず、大きさと方向だけを考えたものをベクトルといい、
とあらわす。
の和
は次のように定義する。
ベクトルの差
は次のように定義する。
ベクトルの内分と外分
位置ベクトルとは原点を始点にするベクトル。２点
であるとき、ABをm:nに内分する点を
、外分する点を
とすると、
これだけあれば、とりあえず、今回、十分でしょう。
§２ 問題
問題１ 平行四辺形ABCDの対角線ACを延長し、延長上に点Eをとって、CE=2ACとなるようにする。また、辺ABおよび線DEの中点をそれぞれP、Qとする。
（１）
を、
であらわせ。（２） ３点P、C、Qは一直線上にあることを示せ。
【解】（１）
（２） 題意より
と
は始点が同じ、かつ、平行なので、P、C、Qは一直線上にある。
ベクトルを使うとこのような解答になるけれど、初等幾何の枠内で解くこともできる。
DAの延長上にAF=ADとなる点をとる（またはPCの延長上にPC=PFとなる点をとる）。
そうすると、条件より、EQ=QD、AC=2CE、さらに、DF=2FAだから、
CFの中点であることは、四角形AFBCが平行四辺形であることより明らか！！
問題２ 
を頂点とする△ABCにおいて、△ABCを1:2に内分する点をD、BCを1:2に内分する点をE、CAを4:1に外分する点をFとする。
（２） D、E、Fは一直線上にあることを証明せよ。
（１）D、E、Fの位置ベクトルを
とする。
（２）
よって、D、E、Fは一直線上にある。
（解答終わり）人間の目というのは当てにならないね。私の目ではFD=DEに見えなけれど、FD=DEです。
それはそれとしまして、この問題は、メネラウスの定理の逆を使うと、
問題３ △OABにおいて、∠AOBの２等分線と辺ABとの交点をC、∠OABの２等分線と辺OBの交点をD、∠OBAの２等分線と∠OAとの交点をEとする。
、OA=a、OB=b、AB=cとする。
（１） 
を
、a、b、cを用いてあらわせ。
（２） 
となるのは、どのような場合か。
（１） OCは∠AOBの二等分線なので、CはABをa;bに内分する。よって、
（２）は、難しいというよりも、見るからに計算が大変そうなので、パスだにゃ。
第３７回 落穂ひろい [初等幾何学]
第３７回 落穂ひろい
問題１ 三角形の高さをh₁、h₂、h₃、内接円の半径をrとするとき、
【解】
問題２ 三角形の重心をGとするとき、
座標やベクトルの内積を使って解くのが一般的なのだろうけれど、初等幾何の枠内で解くことにする。
その前に、重心と中線定理の復習。重心 三角形の３つの中線は１点で交わり、この交点を重心という。重心は中線を２：１に内分する。
中線定理
三角形ABCにおいて、Aから中線AMを引くと 
この２つを思い出せば、この問題はもう解けたようなもの。
【証明】
重心の性質より、重心Gは中線AMを2:1に内分する。つまり、
問題３ △ABCがあって、AB=2、AC=√3、∠BAC=30°である。
（１） 内接円の半径を求めよ。（２） 内接円と辺ABの接点をDとする。ADの長さを求めよ。
【解】
（１） 余弦定理よりBC=1。
よって、△ABCは∠C=90°の直角三角形（∠B=60°）。△ABCの面積Sは
（２） △DBIは∠BDI=90°の直角三角形。Iは内心なので、
あるいは、（２）を次のように解くこともできる。
【別解】
円と２接線の関係より
DB=FBである。
こうすれば、三角関数を使う必要はないね。
（１）で余弦定理よりと書いているけれど、 
だから、
この直角三角形の線分比は中学校で出てくるので、この問題は中学数学の範囲で解くことができる問題であった。
――（２）は少し変えてあるけれど、問題２、問題３は、大昔の大学入試問題です――第３６回 反転２ [初等幾何学]
第３６回 反転２
原点OとOとは異なる点Pがあるとする。このとき、半直線OP上に
点Pと点Qの座標をP(x,y)、Q(X,Y)とすると、
前回、原点Oを通る直線についてやらなかったので、ここから始めることにする。
原点を通る直線は
ax+by=0
になるので、この直線は③より 
前回、反転によって、原点を通らない直線は原点を通る円（原点は除く）に、原点を通る直線は原点を通らない直線に変換されることは示した。
なので、反転によって原点を通らない円がどのような図形に変換されるのか調べてみることにする。計算を簡単にするために反転の半径r=1とする。
中心(a,b)、半径kの円の方程式は 
何故、原点を通らないかというと、(X,Y)=(0,0)を代入すると
問題
座標平面上の直線x+y=4上の任意の点Pと原点Oを通る直線が円x²+y²−x−y=0と交わるO以外の点をQとするとき、 
この問題を解く気はない。
OP・OQ=4として、x+y=4上の点を反転させて得られる図形が 
【解】
P(α,β)とすると、Pは直線x+y=4上の点なのでα+β=4
よって、直線OPの方程式は 
したがって、
（解答終わり）
（※）
