変分法はジェットコースターから生まれた(^^) [ひとこと言わねば]
最適降下曲線
最速降下曲線(さいそくこうかきょくせん 英: Brachistochrone curve)は、任意の2点間を結ぶ全ての曲線のうちで、曲線上に軌道を束縛された物体に対して重力 (に代表される保存力) のみが作用する仮定の下、物体が速度0でポテンシャルが高い方の点を出発してからもう一方の点に達するまでの所要時間がもっとも短いような曲線である。ガリレオは1638年に著書"Two New Sciences"で、最速降下曲線は円弧であるとしたが誤りであった。ヨハン・ベルヌーイは(以前に解析した等時曲線を参照して)この問題を解いた後、1696年6月に著書"Acta Eruditorum"で読者に対して問題を提示した。4人の数学者がこれに応じて解答した。アイザック・ニュートン、ヤコブ・ベルヌーイ(ヨハンの兄)、ゴットフリート・ライプニッツ、ギヨーム・ド・ロピタルである。ロピタルを除く3人の解答は1697年の同じ版で出版された。
弟に対抗してヤコブ・ベルヌーイはより難しい最速降下曲線問題を作った。それを解いている間に新しい手法を開発し、それがレオンハルト・オイラーによって改良され後に変分法と呼ばれるものになった。ジョゼフ=ルイ・ラグランジュは現代の微積分学に帰着するさらなる仕事を進めた。
https://goo.gl/EvK5CV
と、この解答を募集したんだケロ。
――誰にも解けないと考えたから解答を募集したのに・・・。日本でロピタルの定理と呼ばれるものの発見者はヨハン・ベルヌーイで、その手柄を弟子のロピタルに奪われた(?)ので、ロピタルの死後、ヨハンは「実はこれを発見したのはオレだケロ」と大騒ぎしている(ロピタルの定理論争)ほどだからね〜。弟子だけでなく、流体力学のベルヌーイの定理の発見者は誰かということで、息子のダニエルと大喧嘩をし、絶縁状態に至る(>_<)――
ニュートンにいたっては、嫌がらせのために、自分の正体がばれないように、わざわざ偽名を使って解答を送ったらしいね。ニュートンから送られてきた解答を見て、ヨハンは
「イギリスでこの問題を解ける――こんな嫌がらせをする――のは、あの変態しかいない」
と、即座にその正体を見破ったそうだ。この二人は性格が似ているかもしれない(^^ゞ
嘘か本当かはわからないけれど、ヨハンが長い時間をかけて解いたこの問題を、ニュートンは問題を見てわずか半日で解いたといわれる。
ニュートンからの痛烈な猫パンチで、ヨハン、ダブルショック!!
変分原理 [ddt³さんの部屋]
ddt^3です。ネコ先生に促されて渋々(?)書き始めましたが、だんだん楽しくなってきた(^^)。あらためて自分は変態と自覚(^^;)。
以下、
「重力と力学的世界(古典としての古典力学),山本義隆,1981年,現代数学社」を山本ボン(本)、
「古典力学,ゴールドスタイン,吉岡書店,1978年」をゴールド本、
「力学,ランダウ,リフシッツ,東京図書,1986年」をランダウ本、
と称します。
5.活力論争という思い込み(?)
昔から・・・といってもほとんど20世紀の中頃まで・・・いや今でもかな?・・・次のような考えがありました。
・この世は(宇宙は)神様が造った。
・神様は完全である。
・完全である神様に無駄なんかある訳ない。
・よって神様は宇宙の設計においても、何らかの極限設計をなさったはずだ!。
運動について言えば、極限設計において運動は、何かの量を最小化するように設計されてるのではないか?。
ニュートン力学以前から、その極限設計の設計項目の筆頭に上がっていたのが、運動量と運動エネルギーでした。
運動量や運動エネルギーは、自然な運動状態では保存量である。従って運動の変化は、それらを最小化するように起こるのではないか?(極限設計だから)。ニュートン力学出現以降は、ニュートン力学を用いてそれらを確認する時代に入ります。さらに進んで、それらを最小化する事を力学原理にするのが本当だと。だからこその活力論争だったと思います。
ニュートン力学出現以降、力学はもはや人知を超えたものではなくなっていました。次のような意味で。
ニュートン力学は技術的に余りにも優秀だったため、人知を超えた部分は「なぜ成り立つかの問い」として切り捨て、「どのようにだけを問う」パラダイムシフトが技術的に可能になりました。これをもう一歩進めれば、物理原理とはしょせん経験事実だという現代的態度につながります。この経緯に、(あえて言いますが)哲学かぶれした一部の人達が今でもナンクセを付けます(そしてトンデモに分類されます)。
哲学的にはいびつな態度というのはわかります。しかしそれも、物理は思考のみによって解明できるという思い込みだと個人的には思います。じっさい現代物理は、数学(思考)を導きの糸ととして得た原理を、実験によって確認するという当たり前過ぎる手法を採用しています。
6.変分原理
変分法とは簡単に言えば、定積分の値を最小にする関数を見つける技術です。以下、山本ボンの引用抜粋です。
自らの運動法則がなぜ成り立つかが人知を超えたものなのは、ニュートンにとっても同じでしたが、ニュートンは「何故の問い」を諦めませんでした。テーラー級数にも似た限界効用理論を唱えた経済学者ケインズは、ニュートンに魅了された一人です。彼はニュートンの遺稿を散逸から防ぐため収集したのですが、内容を見た彼は「ニュートンこそ最後の錬金術師だ」と言います。ニュートンにとって錬金術的研究こそ本当にやりたかった宇宙の解明です。プリンピキア(自然哲学の数理原理)は、その数学的一里塚に過ぎなかった訳です。
ニュートンは非常に憶病だったので、批判を受けそうな錬金術師の裏の顔を公には封印し、安全そうな数理原理の部分だけ公表しました(それも知人の説得で)。そのためケインズが裏の顔を公にするまで、その事実は20世紀末までほとんど知られていませんでした。そういうニュートンが活力論争を無視できる訳がありません。最初に最速降下線問題に解を与えたのは、恐らく17世紀のニュートンです。これは定積分で計算される運動の経過時間を最小にする問題です。
そういう訳で変分法のやり方は、最速降下線問題や等周問題を通じて18世紀には概ね知られていたと思われます。変分法の基礎式(18世紀)はオイラー・ラグランジュ方程式と言われますが、これこの前のラグランジュ方程式と全く同じものなんです。なのでラグランジュは、次のようなやり方も可能だったと思えます。
普通に(普通の(x1,x2,x3)=(x,y,z)座標で)ラグラジアンを書くと、Uをポテンシャルエネルギー,'を時間に関する微分として、
となりますが、ラグラジアンL(x1,x2,x3,x1',x2',x3')の時間積分、
を「作用積分」と言います。積分Sを最小化する条件は変分法を使い、
になります。ラグランジュ方程式(変分法を意識する場合はオイラー・ラグランジ ュ方程式)は、じつは
Sの最小化の必要条件なんですが、慣習的に「最小作用の原理」と呼ばれます(活力論争の影響)。
(3)を具体的に計算してみると、
なので(3)は、
とニュートンの運動方程式が出てきます。逆にニュートンの運動方程式(4)が成立すれば、(2)の作用積分Sは多くの場合、最小になります。よってニュートンの「運動方程式」と「最小作用の原理」は同等です。従ってラグランジュは、
「我々は、最小作用の原理を運動の法則にしよう」
と言っても良かったはずなんです。じっさい彼は、運動方程式に従う運動がラグラジアンの時間積分を最小にするのを具体的に確認する事までしています。オイラー・ラグランジュ方程式の名の示す通り、ラグランジュが変分法を知らなかったとは、とても思えません。彼が先のような定式化を躊躇し、ダランベールと仮想仕事の原理を採用したのは、F-ma=0という変形さえ議論の的になる時代背景にあったのかな?と、勝手に想像します(^^;)。
プラスノーってなんだ? [ひとこと言わねば]
ウィンタースポーツをしないネムネコは、「プラスノーって何だ」と思い、ネットでちょっと調べてみた。そうしたら、YouTubeで次のような動画を見つけた。
あまり知られていないけれど、新潟県民はホニャニャラ1というものがとっても好き。世界一、日本一、日本海一という言葉に目がない。だから、(建設当時)世界最長のゴンドラなんてものを苗場に作ったりするにゃ。自己主張はあまりしないけれど、結構、見栄っ張りで派手好きなんだよなぁ〜、新潟人(笑)。
灼熱地獄の新潟県 [ひとこと言わねば]
せっかくここまで暑くなったのだから、更に熱くなって、上越や長岡は40℃を越えて欲しいにゃ。新潟市も過去最高の39.1℃を超えて欲しいにゃ。
暑いケロ〜!!! [ひとこと言わねば]
【昼前に38℃、北陸でフェーン現象】台風が離れた東日本では南よりの風が強まっています。北陸地方ではこの風が山越えとなってフェーン現象が発生、午前中から体温超えの猛暑の所が続出しています。
— ウェザーニュース (@wni_jp) 2018年7月29日
11時20分までに最も気温が上がっている新潟県は38.3℃を記録していますhttps://t.co/bISf7EJqva pic.twitter.com/2RZB6n5rUp
【ニュース特設:台風12号】台風12号は、中国地方を西へ進んでいて、断続的に激しい雨が降っています。西日本豪雨の被災地でも雨や風が強まっています。気象庁は、土砂災害や川の氾濫などに厳重に警戒し、安全を確保するよう呼びかけています。https://t.co/bLWs2g5NOW pic.twitter.com/VwCiozwZec
— NHKニュース (@nhk_news) 2018年7月28日
パソコンのキーボードが壊れる [ひとこと言わねば]
微分方程式の整級数解2 [微分方程式の解法]
微分方程式の整級数解2
2階線形微分方程式
において、P(x)、Q(x)、R(x)が点aで解析的なとき、点aを通常点という。
そして、通常点では次の定理が成り立つ。
定理
2階線形微分方程式
において、P(x)、Q(x)、R(x)が点aでならば、初期条件
を満たす整級数解
がただ一つ存在する。
問1 次の微分方程式のx=0まわりの整級数解を求めよ。
【解】
とすると、
これらを微分方程式に代入すると、
また、
だから、
よって、
ゆえに、
初期条件からy(0)=a₀=1、y'(0)=a₁=0となるので、
よって、
(解答終)
問の微分方程式の解は、
であり、
とマクローリン展開されるので、
となり、問1で求めた整級数解と一致する。
問2 次の微分方程式の解を求めよ。
【解】
【解】
とし、項別微分が可能であるとする。
だから、これを微分方程式に代入すると、
これがすべてのxについて成立するから、の係数はすべて0でなければならない。
また、初期条件より
したがって、
nが奇数のとき、すなわち、n=2m+1(m=0,1,2,・・・)のとき、
nが偶数のとき、すなわち、n=2mのとき
よって、
したがって、
(解答終)
問2のように、不定積分を用いた求積法では解が求めにくい微分方程式の解を整級数解で求められることがある。
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仮想仕事の原理の補足説明 [ddt³さんの部屋]
仮想仕事の原理の補足説明
ダランベールの原理で拘束力による仮想仕事が0になる代表的条件は、概ね3つになります。
1つは拘束軌道による抗力が法線方向のみに働き(摩擦なし)、仮想変位と抗力が直交するケース。
2つ目は相対距離一定(剛体運動)のケースで、この時は相対距離一定になる仮想変位ペアと、作用・反作用の法則で互いに逆向きになる内力のペアのつくるベクトルが直交します。この時T₁+T₂=0の条件はもちろん必要なんですが、仮想変位ペアは必ずしもイコールにはならない訳で、それと相対距離一定の条件から、内力と仮想変位が直交するというところがミソです。
3つ目は滑車のケース。このケースでは逆に滑車の糸の張力(内力)は同じ向きにイコールで、仮想変位が逆向きになります。結果としてはやはり、内力と仮想変位は直交します。
以上を一般化すると、n個の質点に対する幾何学的拘束条件、
があった場合、その仮想変位には、
という関係が入ります。ここでは質点の位置ベクトル,∇は勾配,はを一列に並べたベクトルの微小変位です。・は内積。
後の式は、最初の式が定義する3n次元空間の中の超曲面の接平面上に、仮想変位がある事を意味します。
で。これは仮定なんですが、幾何学的拘束条件による抗力は必ず∇f方向にあるよと。もしくはそういう系だけを考えましょうと。
この前提のもとに、幾何学的拘束条件による抗力の仮想仕事は常に0となり、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーとだけからラグランジュ方程式を導けるというストーリーが成り立つ事になります。接面方向に働く抗力がもしあったとすれば、それは一般化された摩擦です。
上記仮定の背景ですが、例の(?)活力論争だと思います。当時すでに「摩擦がなければ」、力学的エネルギーは保存する事が、少なくとも薄々はわかっていた。摩擦は常に、具体的な拘束条件の接平面方向に働き、それは原理的なものではないので0として良いと。
先の抽象的条件は、この状況の一般化です。よって抗力は∇f方向にしかなく、抗力の仮想仕事は0になると。
仮想仕事の原理自体はマッハによれば、梃子の原理や単純滑車・動滑車の挙動の考察から導かれたもので、そこでも当然摩擦はありません(静力学)。
それを配位空間という言葉は使わなかったものの、3n次元の超曲面という形で捉え、ダランベールの原理を通じて動力学に 結びつけたのはラグランジュの功績です。
山本ボンのラグランジュの章によれば、じっさいにラグランジュはラグランジュ方程式の性質だけから、運動量保存則,角運動量保存則,エネルギー保存則をあらためて導きます。そのやり方は、記法さえあらためれば、完全に現在のものといっしょです。
さらに、ラグランジュ方程式に従う運動は(実際の運動は)、ラグラジアンの時間積分(作用積分)を最小にする事まで確認しています。活力論争の影響は大きかったと思います。
(執筆:ddt³さん)