どうでもいい話

どうでもいい話

 

ddt³さんから突っ込みが来たので、どうでもいい話でもしますか。

 

直線y=xで折り返すと、xy平面上の点(x,y)は(y,x)に移されるよね。

この１次変換を表す行列Tは

　　

だにゃ。点(x,y)がTによって移される点を(x',y')で表すことにすると、

　　

になるにゃ。

さてさて、基本ベクトルをとすると、（本当は、これをe₁、e₂と太字の斜体字で表したいんだけれど・・・）

　　

とし、Tによって基本ベクトルが移されたものをとすると、

　　

となりまして、をこの順番で新しい座標系の基底ベクトルに選ぶと、座標系が右手系から左手系に変わってしまうんだケロ。

 

直線y=xだと、基底ベクトルが重なってわかりにくいので、原点を通る直線で折り返すことにすにゃ。

すると、

　　

となるケロ。

で、Tによってが移されるベクトルをで表すと、

　　

になる。

ちなみに、この２つのベクトルは、この内積を計算すると、

　　

となるので直交しているし、ベクトルの大きさはともに１だにゃ。

つまり、をもとに新たな直交座標系O-uvというものを構成することができる。

なのですが、この新しい座標系O-uvは通常の座標系O-xyとは異なり、左手系の座標系（これは、例えるならば、鏡の中の世界だね〜）になってしまう。（下図参照）

 

 

 

 

鏡といえば、鏡の国のアリス。そして、アリスといえば、これだケロ！！

 

 

 

 

話を元に戻そう。

ではあるのですが、の順番であらたな直交座標系O-vuを作れば、これは右手系の座標系になる。上の図を見ればこのことはすぐにわかるだろう。

そこで、

　　

という１次変換Sを設けると、これは

　　

という変換だから、

　　

ここで、θ=φ−π/2 とすると、

　　

となるので、

　　

となり、この変換は原点まわりの回転ということになるにゃ。

 

どうでもいい話でした。

 

しかし、ここで終わってはつまらない。

 

O-xy座標系からO-uv座標系への座標変換の式を求めてみよう。

点PのO-xy座標系での座標を(x,y)、O-uv座標系での座標を<u,v>としよう。

すると、

　　

となる。

　　

だから、これを代入すると、

　　

したがって、

　　

行列で書くと、

　　

したがって、

　　

この（１）と（２）が、それぞれ、O-uv座標系からO-xy座標系、そして、O-xy座標系からO-uv座標系への変換式ってわけ。

（１）、（２）式ともに

　　　　

になるんだケロ。

 

たぶん、間違えていないと思うが(^^ゞ

 

ここに書いているのは、直交座標系間の座標変換に基本中の基本だから、このやり方は知っておいたほうがいいケロよ〜。

 

曲線座標におけるテンソル

曲線座標におけるテンソル

 

曲線座標を曲線座標に変換式を

　　

とする。

これを

　　

であらわし、その逆変換を

　　

であらわすことにする。

 

をスカラーtの関数とすれば、もスカラーの関数である。

すると合成関数の微分法より

　　

となる。

ここで、

　　

とおけば、３個の関数の組が、座標変換によって

　　

と変換されたことになる。このような関数の組を反変ベクトルという。

 

のスカラー関数をとし、それに対応する座標における関数をとすると、

　　

である。

したがって、

　　

ここで、

　　

とおけば、３個の関数の組が、座標変換によって

　

と変換されたことになる。このような変換を受ける関数の組を共変ベクトルという。

 

ベクトルと同様に、２次のテンソルも次の３つに分類される。

９個のの関数の組が、座標変換

　　

のように変換されるとき、反変テンソルという。

９個のの関数の組が、座標変換

　　

のように変換されるとき、共変テンソルという。

９個のの関数の組が、座標変換

　　

のように変換されるとき、混合テンソルという。

 

ところで、

　　

である。

ここで、

　　

である。

したがって、

　　

である。

 

問　次のことを示せ。

を反変ベクトル、を共変ベクトルとすれば、

　　

はスカラーである。これをとの内積という。

【解】

は反変ベクトルだから、

　　

は共変ベクトルだから

　　

したがって、

　　

よって、

　　

はスカラーである。

（解答終）

 

とすると、

　　

と内積を定義することができる。

第２２回 曲線座標

第２２回　曲線座標

 

直交座標x、y、zの関数

があるとする。

このとき、ヤコビアンが

であるならば、（１）はx,y,zについて解くことができて、

が得られる。

そして、x、y、zの数の一組にはu¹、u²、u³の数の一組に１対１対応し、u¹、u²、u³の組を座標と考えることができ、これを曲線座標という。

 

さて、直交座標系において

である３つのベクトルを考える。ここで、Pは領域Dの点Pにおける偏微分係数をあらわす。これによって、D内にベクトル場e₁、e₂、e₃が得られる。このとき、e₁、e₂、e₃の組を曲線座標(u¹,u²,u³)の基本ベクトルまたは基底という。

 

領域D内の１つのベクトル場Aが与えられたとする。このとき、Aを

とあらわすことができる。この３つの関数の列

をベクトル場Aの曲線座標(u¹,u²,u³)の反変成分という。

また、

をつくり、これを横に並べた行(A₁,A₂,A₃)をベクトル場Aの曲線座標の共変成分という。

 

さらに、９個の関数

を作り、これを成分に持つ対称行列を曲線座標(u¹,u²,u³)の計量行列という。

このとき、反変成分と共変成分の関係を与える

が成立する。

ここで、行列は行列の逆行列、すなわち、

である。

 

テンソル場Tを考える。

とおけば、９個の関数が得られる。これらを成分に持つ行列をテンソル場Tの曲線座標(u¹,u²,u³)に関する混合成分という。

また、

とすれば、９個の関数が得られ、これを成分に持つ行列をテンソル場Tの曲線座標(u¹,u²,u³)に関する共変成分という。

 

 

第２１回 基底の変換とテンソル

第２１回　基底の変換とテンソル

 

{e₁、e₂,e₃}と{e'₁、e'₂,e'₃}を空間中の２つの基底とするとき、

　　

という関係がある。

また、{e₁、e₂,e₃}と{e'₁、e'₂,e'₃}は１次独立だから、（１）式の右辺の係数を成分とする行列の行列式は

　　

したがって、行列は逆行列を持つ。その逆行列を

　　

とおくことにする。

 

ベクトルxの基底{e₁、e₂,e₃}と{e'₁、e'₂,e'₃}に関する反変成分をそれぞれをととするとき、

　　

したがって、

　　

である。

この両辺にをかけ、jに関して和をとると

　　

したがって、

　　

これが、基底の変換にともなうベクトルの反変成分の変換式である。

 

次に、ベクトルxの基底{e₁、e₂,e₃}と{e'₁、e'₂,e'₃}に関する共変成分をそれぞれを(x₁,x₂,x₃)と(x'₁,x'₂,x'₃)とするとき、

したがって、

　　

したがって、

　　

となる。

これがベクトルの共変成分の変換式である。

 

（１）と（３）式を比較すると、共変成分の変換式と基底の変換式は形式上同じである。これが共変成分の名の由来である。

対して、（１）と（２）は、反変成分式と基底の変換式とが異なっている。これが反変成分の名の由来である。

 

斜交座標とテンソル

 

｛e₁,e₂,e₃｝を１つの基底、Tをテンソルとする。

ここで、

　　

とおけば、この係数がつくる行列を得ることができる。この行列を基底｛e₁,e₂,e₃｝に関する混合成分という。

　　

とし、y=T(x)とする。

　　

とおけば、

　　

となる。

したがって、

　　

すなわち、

　　

となる、

行列を用いて表現すると、

　　

となる。

ここで、

　　

と定義すると、

　　

となる。

この行列をテンソルTの｛e₁,e₂,e₃｝に関する共変成分という。

　　

したがって、

　　

これがテンソルの共変成分と混合成分との関係を与える。

両辺にをかけて、iについての和をとれば、

　　

したがって、これもテンソルの兇変成分と混合成分の関係を与える。

 

 

第２０回 斜交座標とベクトル

２０回　斜交座標とベクトル

 

空間に１次独立の３つのベクトルe₁、e₂、e₃があるとする。ただし、このいずれも零ベクトルでないとする。このとき、順序付けたを基底という。また、空間中の任意のベクトルAは

　　

とe₁、e₂、e₃の１次結合であらわすことができる。この係数を縦に並べたをベクトルAの基底に関する反変ベクトルという。

 

の９個の内積

　　

を成分とする行列を計量行列という。

　　

が成り立つので、計量行列は対称行列である。

また、

　　

だから、とのなす角度をとすれば、

　　

である。

 

２つのベクトルとをとると、

　　

計量行列は対称行列なので、ベクトルAとベクトルBの内積は

　　

となる。

 

行列の逆行列を、すなわち、

　　

とすれば、が対称行列なのでであるである。

また、

　　

であるから、

　　

ここで、記号はクロネッカーのデルタ

　　

である。

 

ベクトルAの次の３つの内積

　　

を作り、これを横に並べた

　　

をベクトルAの基底に関する共役成分という。

 

２つのベクトルとの共役成分をそれぞれ(A₁,A₂,A₃)と(B₁,B₂,B₃)とすれば、

　　

同様に、

　　

内積は交換法則A・B=B・Aが成立するので、

　　

と、内積A・Bは反変成分と共変成分であらわすことができる。

 

ベクトルの共役成分は

　　

で与えられるので、同様に

　　

が得られる。

これは反変成分と共役成分との関係を与える。

の両辺にをかけて、jについて和をとれば、

　　

したがって、

　　

も共役成分と反変成分の関係を与える。

 

第１９回 ひずみテンソルと応力テンソルの関係

第１９回　ひずみテンソルと応力テンソルの関係

 

§１　ひずみテンソルと応力テンソルの関係

 

弾性体が変形し、その相対的な変位がvであるとする。このとき、ひずみテンソルΦの成分は

　　

となる。

等方的な弾性体では、応力テンソルΨとひずみテンソルΦの主軸は同じと考えられるので、ΦとΨの共通な主軸の方向の長さ１のベクトルをa、b、cとする。ひずみテンソルの主値と応力テンソルの主値をそれぞれε₁、ε₂、ε₃、σ₁、σ₂、σ₃としたとき、

　　

という関係が成り立つものとする。

等方的なので、

　　

と考えられので、（１）式を

　　

と変形することができる。

ここで、

　　

とすれば、（２）式は

　　

また、

　　

は不変量で、体積膨張率である。

したがって、

　　

である。

同様に、

　　

つまり、

　　

である。

このλ、μをLamé（ラメ）の定数と呼ぶ。

また、応力テンソルΨは

　　

これに（３）式を代入すると、

　　

単位テンソルをIとすると、

　　

また、

　　

だから、

　　

ひずみテンソルの成分を、応力テンソルの成分をとすると

　　

となる。

 

テンソル積と単位テンソルを行列で表すと、

　　　

だから、

　　

また、

　　

 

 

§２　弾性体の釣り合い

 

弾性体内の各点の密度ρに比例した力ρKが単位体積あたりに働いているとする。さらに、弾性体の変形にともなう応力テンソルをΨとする。

弾性体内の任意の領域をVとし、その表面をS、Sの外法線ベクトルをnとする。

このとき、力の釣り合いは

　　

（テンソルの）ガウスの発散定理から

　　

Vは任意に選べるので、

　　

となる。

これが弾性体の釣り合いの方程式である。

Kの成分を、Ψの成分をとすると、

　　

 

特に、K=0のとき、

　　

つまり、

　　

である。

弾性体が等方的であるとき、

　　

となるので、よって、（６）式は

　　

となる。

材料力学のお話２

材料力学のお話２

 

Δx₁、Δx₂の微小要素を考える。

このとき、直交座標系O-x₁x₂に関する応力テンソルTの成分は

　　

となる。

直交座標系O-x₁x₂を原点Oを中心に反時計回りにθ回転させた直交座標をO-x'₁x'₂をとすると、x'₁軸、x'₂軸の方向余弦は

　　

だから、

　　

とおくと、座標系の変換によって応力テンソルの変換式は

　　

となる。

したがって、

　　

になる。

 

問１　直交座標系O-x₁x₂に関する応力テンソルが

　　

であるとする。

原点を中心に座標軸を反時計回りにθ回転させたたとき、応力テンソルの成分はどのようになるか。

【解】

　　

（解答終）

 

問２　直交座標系O-x₁x₂に関する応力テンソルが

　　

であるとする。

原点を中心に座標軸を反時計回りに４５°回転させたたとき、応力テンソルの成分はどのようになるか。

【解】

　　

（解答終）

 

問２のように、単純せん断応力の場合、軸を４５°回転すると、応力テンソルからせん断応力を消すことができる。

 

のとき、応力テンソルの成分は

　　

したがって、となるように、

　　

θをとれば、は応力テンソルの主応力（主値）になる。

また、主応力は、次のように、行列（テンソル）の固有方程式を解くことによて求めることができる。

　　

よって、主応力をσ₁、σ₂とすると、

　　

となる。

 

せん断応力の絶対値が最大になるとき、そのを最大せん断応力（主せん断応力）といい、主応力σ₁、σ₂を用いると、

　　

で与えられる。

 

問３　σ₁₁=2+√2、σ₂₂=2−√2、σ₁₂=√2のとき、主応力とその方向を求めよ。また、最大せん断応力を求めよ。

【解】

（６）より、

　　

また、主応力は（７）より

　　

よって、（８）より最大せん断応力は

　　

である。

（解答終）

O-x₁x₂に対し角度θだけ傾いている（仮想的な）断面に作用する垂直応力σ'とせん断応力τ'は、この断面の垂直なベクトル、すなわち、法線ベクトル（直交座標系O-x'₁x'₂での成分であることに注意！！）

　　

に、（３）〜（５）で与えられる成分をもつ応力テンソルを作用させることにより、次のように求めることができる。

　　

このθを消去すると、

　　

これをモールの応力円という。

 

問３の場合、モールの応力円は

　　

となり、これを用いて、主応力、最大せん断応力を求めることもできる。

 

材料力学のお話

材料力学のお話

 

ひずみと応力についての理解を深めるために、材料力学の話をすこしだけすることにする。

 

右図のように長さl₀、断面積Aの棒を力Fで引っ張ったところ、長さがlになったとする。

このとき、

　　

を垂直ひずみといい、

　　

を引張応力という。

力の向きが図とは逆の場合は、圧縮。

この棒が弾性体の場合、応力が弾性範囲内にあるとき、「応力はひずみに比例する」というフックの法則が成り立つので、

　　

という関係が成立し、この比例定数を縦弾性係数という。

 

また、右図のように、面DC（紙面に垂直な方向の厚さを１とする）に力Fがかかり、ABCDがABC'D'に変形したとする。

このとき、

　　

をせん断歪ひずみ（工学ひずみ）という。

θ（単位はラディアン）が微小なとき、

　　

と近似できるので、せん断ひずみγは

　　

また、面DCの面積をAとするとき、

　　

をせん断応力といい、弾性範囲内ならば

　　

が成立する。この比例定数Gを横弾性係数（せん断弾性係数、ずれ弾性係数）という。

 

 

さて、右図のように、上の棒の横断面BB'に対しθの角度をなす断面BCでの力の釣り合いを考える。

BCに垂直な方向の力をN、CBに平衡な力をTとすると、

　　

という関係がある。

また、断面BB'の断面積はAだから、断面BCの断面積A'は

　　

しがたって、断面BCに垂直な応力をσ、BCに平行なな応力をτとすると、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

ということで、せん断応力τが最大になるθは、2θ=90°のときだから、

　　

そして、一般に金属などの材料は、引張や圧縮には強いけれど、横方向の力（せん断力）には弱いものらしい。

したがって、上の棒のように引っ張っていても、斜め４５°ちかくの方向にまず亀裂が発生し、そこから亀裂が走り、破壊するものらしい。

 

画像元：http://ms-laboratory.jp/strength/4_1/4_1.htm

 

それはそれとして、（８）、（９）式より、

　　

sin²2θ+cos²2θ=1という関係があるから、

　　

が成立する。

 

 

第１８回 応力テンソル

第１８回　応力テンソル

 

固体が外力を受け変形すると、固体の内部に外力に応じた力が発生する。この（単位面積）あたりの力を応力という。

固体内に一つの断面を考えるとき、圧力とは異なり、応力は断面の垂直方向に働くとは限らないので、断面の単位法線ベクトルnを定め、nの向かっている側から、単位面積当たりに作用する力をもって応力を定義する。

応力をTとすれば、固体内の点Pにおける微小面積ΔSにはTdSの力が作用する。しかし、ΔSの向きが変わると、一般的に、Tの向きも大きさも変わる。

図のように、点Pを原点とする直交座標をとり、nに垂直な３つの面によって囲まれる微小な四面体PABCの力の釣り合いを考える。

△ABCの単位法線ベクトルをnとし、△ABCの面積をS、それに作用する力をTΔSとする。

△PBCの面積をΔS₁とし、その法線ベクトルをe₁としたとき、△PBCに作用する応力をT₁ΔS₁とすれば、e₁は四面体外部から内部に向かっているので、四面体の外部から作用する力は−T₁ΔS₁である。

同様に、△PCA、△PABの面積をそれぞれΔS₂、ΔS₃と、その法線ベクトルをe₂、e₃としたときすれば、外部からこれらの面に作用する力は−TΔS₂、−TΔS₃となる。

△ABCが平行移動して点Pに近づく極限を考えると、TはPにおいてnに垂直な面に作用する応力とみなせる。同様に、T₁、T₂、T₃は、それぞれn₁、n₂、n₃に垂直な面に作用しているとみなすことができる。

よって、力の釣り合いは、

ΔS₁、ΔS₂、ΔS₃は、ΔSの各座標平面上の正射影であるから、nの成分をn¹、n²、n³とすると、

したがって、

Tの成分を、の成分をとすると、

すなわち、

nは点Pの任意の方向にとれるので、はテンソルの成分である。これを応力テンソルという。

 

図のような微小な直方体を考える。その辺の長さをΔx¹、Δx²、Δx³とする。

x¹軸まわりのモーメントを考えると、x³軸に垂直な２面に作用する力はそれぞれ

となり、釣り合っている。よって、x¹まわりのモーメントを考えるとき、面に作用する力だけを考えればよい。したがって、x¹まわりのモーメントの和は

同様に

が成立する。

よって、応力テンソルは対称テンソルである。

 

応力テンソルは対称テンソルだから、そのテンソル２次曲面を考えることができる。これを応力２次曲面といい、応力２次曲面の主軸を応力の主軸という。３つの主軸のそれぞれに垂直な面を主要面、３つの主軸の応力を主応力という。

nが応力テンソルの主方向に向かっているとき、（１）は

したがって、主軸に垂直な面には、応力は垂直に作用する。

 

 

第１７回 ひずみテンソル

第１７回　ひずみテンソル

 

固体内の１点Pが外力を受けてP'に移動したとする。

とおき、点Pの座標をとすると、vはの関数になる。

また、点Pの近くの点Qの座標をとし、外力を受けて点QがQ'に移動したとする。

　　

とすれば、

　　

だから、点Pに対する点Qの相対的な変位は

　　

となる。

vの成分をとし、２次の項を無視すると、

　　

はテンソルの成分だから、とおくと、（１）式は

　　

テンソルを

　　

と対称テンソル、交代テンソルを用いて

　　

とすると、相対的変位は

　　

となる。

は交代テンソルだから

　　

とおくと、はベクトルの成分となり、これを成分とするベクトルをwとすれば、

　　

よって、（２）式の右辺第１項は変位に伴う純粋な歪をあらわし、第２項はのまわりを回転する起きる変位と考えることができる。したがって、歪は対称テンソルで表されると考えられる。

これを行列で表わせば、

　　

である。

 

は対称テンソル。その主方向を歪の主方向といい、その成分を係数とするテンソル２次曲面

　　

をひずみの２次曲面という。ひずみテンソルの主値をS¹、S²、S³とし、座標軸の方向を主方向にとるとき、ひずみテンソルの成分は

　　

になる。

 

また、ひずみを表すテンソルが対称テンソルであるとき、

　　

であるから、このとき、

　　

となるポテンシャルφが存在する。

このとき、ひずみテンソルの成分は、

　　

となり、このφをひずみポテンシャルという。

 

問　直交座標系O-xyzにおいて、ひずみポテンシャルφが

　　

であるとき、O-xyzに関するひずみテンソルを求めよ。

【解】

　　

したがって、ひずみテンソルは