お前らへの質問の解答？ （１１月２４日 不定積分） [お前らに質問]
お前らへの質問の解答？ （１１月２４日 不定積分）
さて、お前らへの質問についての解答を教えるにゃ。
不定積分は定数の違いを無視して同じものとみなすので、
でも、
のどちらでも構わないんだケロ。
現に、（１）の右辺に２を加えると、
になるからね。
追加問題
と変形することし、次の不定積分を求めよ。
【解】
（１）
ここで、t=cosxとおくと、
だから、
（２）
（３）
（解答終）
（３）より、
したがって、
発展問題 次の不定積分を求めよ。
【解答】
とおくと、
a²>1、a≠0のとき
このまま続けると見通しが悪いので、
と置き、置換積分を適用すると、
（解答終）
ということで、
という不定積分は、aの値によって、その形が大きく変わるんだにゃ。
追加問題２ 次の問に答えよ。
（１） 次の定積分の値を求めよ。
（２） （１）の結果を利用して、次の定積分の値を求めよ。
【解】
（１） 
とおくと、
よって、
（２） 
と置き、置換積分を適用すると、
（解答終）
また、（１）より
追加問題の手法に習って、
ちなみに、
ではあるが、この結果を用いると
だから…。
だから、
はいいとしても、
の値は存在するのか、存在したとして、その値はいくつなのだろう？
みんな大好き、ロピタルの定理を使えば、
となるが、このブログでは、ロピタルの定理の使用は御法度！！
もっと、プリミティブな考え方をすれば、xが0に限りなく近いとき、
ではあるのだが・・・。
（２）の定積分においても、
となり、同種の問題が発生する。
というわけで、おまえら、次の問題を解くように。
問題 ロピタルの定理を使わず、次の極限を求めよ。
下のグラフを見ると、
x軸にπ/2平行移動すると、この曲線は重なりそうな気が…。
オレは、優しすぎるね〜。
ちょっとお前らに甘すぎるにゃ。
そう思わない？
お前らにヒント！！ [お前らに質問]
ちょっと、お前らにヒントを！！
問 次の不定積分を求めよ。
【答（？）】
【答（？）終】
コレは正しいかい？
問の答は
なのでは？
お前らに質問（１１月２４日 不定積分） [お前らに質問]
お前らに質問（１１月２４日 不定積分）
この問題は、「お前らに解いてもらおうか」と思ったのだけれど…。
問題 aを実数の定数とするとき、次の不定積分を求めよ。
【解答】
とおくと、
a²>1、a≠0のとき
a=0のとき、
a=1のとき
（解答中止！！）
「符号にマイナスがついているケロ！！間違っているんじゃないか？」と、強い不安に襲われる。
そこで、某ソフトに、この計算をお願いしたところ、
という答がかえってきた。
「やっぱ、間違っているじゃないか！？」
しかし、いくら考えても間違いを見つけられない。
――だって間違ってねぇもん！！いくら計算を見返したって、間違いを見つけられるはずがない！！！――
と同時に、オレは、こんな計算もできないのかと思い切り凹む。
――凹んだのは事実だけれど、「一致しないのは、アレだからだな」とニヤつく。と同時に、新たな疑問が…――
さて、お前らには、ネムネコが陥った絶体絶命の窮地から、ネムネコを見事救ってもらおうじゃないか。
また、
a=−1のとき、すなわち、
あるいは、
の不定積分を求めるにゃ。
追加問題
と変形し、次の不定積分を求めよ。
要するに、一見簡単そうに見える
という不定積分は、aの値によって、その姿を大きく変えるのであった。
意欲的な――己の身の程を弁えない(・・?――奴は、次の不定積分を求めるといいケロ。
発展問題 次の不定積分を求めよ。
一般の0<a²<1だと難しいかもしれないので、
を求めるケロ！！
一般の場合よりも、返って、こちらの方が面倒かもしれないが(^^)。
さらに追加問題！！
追加問題２ 次の問に答えよ。
（１） 次の定積分の値を求めよ。
（２） （１）の結果を利用して、次の定積分の値を求めよ。
お前らに質問の解答例（１１月１４日と１１月２０日） [お前らに質問]
お前らに質問の解答例
１１月１４日出題 ２次方程式
問題 方程式ax²−x+1=0（aは実数）が解をもつとき、１つの実根は２より大きくない正の根であることを示せ。
【解答例】
a=0のとき
方程式は−x+1=0で、解はx=1≦2。
a≠0のとき
２次方程式ax²−x+1=0は実根を持つので、
f(x)=ax²−x+1とおくと、
よって、方程式f(x)=0は0<x≦2に解をもつ。
（解答終）
ちなみに、a=1/4のとき、x=2の重根だケロよ。
１１月２０日出題 円の方程式
問題１ a≠0とする。点(0,a)を中心とし、x軸に接する円の方程式を求め、それを極座標表示の方程式（極方程式）に書き換えよ。
【解答例】
点(0,a)を中心とし、x軸に接する円の方程式は
を代入すると、
とすると、
より、
a>0のとき、0≦θ≦π
a<0のとき、π≦θ≦2π
a>0、a<0のいずれの場合も、r=0、すなわち、原点は、曲線上の点になるので、
（解答終）
問題２ 点(a,b)を通り、x軸となす角がαである直線の極方程式を求めよ。
【解答（？）例】
α=π/2のとき、デカルト直交座標系における直線の方程式は
を代入すると、
また、r≧0より、
a≠π/2のとき、デカルト直交座標系における直線の方程式は
これに、を代入すると、
よって、
（解答例（？）終）
となるθが存在しなければ、確かに、⑨はα≠π/2のときの極方程式（のすべて）になる。
しかし、となるθが存在すると…。
この場合について、お前ら、考えるにゃ。
cosθ≠0の場合、
となりますが…。
いつも、思うが、オレは優しすぎるね。
そして、この優しさは、お前らから考える機会を奪うことになるので、罪だケロね。
「美しきもの」の例として、さらに、
お前らに質問（１１月２１日 数列） [お前らに質問]
お前らに質問（１１月２１日 数列）
さてさて、お前らに次の問題を解いてもらおうじゃないか。
問題 次のことを示せ。
（１） x>0のとき
（２） 
とするとき、
が単調増加数列であることを示せ。
ただし、（１）を証明するのに、微分積分の知識を使っちゃ〜ならないものとする。
が単調増加数列であることを示すには、２項定理を使って、
と
をそれぞれ展開した
と、
とを比較し、大小関係を判定するのが一般的で、
を展開した奴は、のそれよりも、第３項以上が大きく、しかも、項数が１つ多いので、
となる。
なのですが、
問題の（１）の不等式をうまく活用すると、が単調増加であることを示すことができる。
とはいえ、
こんなものはそうそう思いつけるものでないから、心優しいネムネコは例によってヒントを出してやるにゃ、
と置き、あとは、うまく式を変形する。
これを思いつくには、ハッキリ言って、電波が必要だね。
解けた奴は、この記事のコメント欄に回答を書き、ネムネコのところに送信するように！！
正しかろうが、間違っていようが、それを清書した上、このブログの記事としてアップするにゃ。
ウォリスの公式 [微分積分]
ウォリスの公式
ウォリスの公式
ウォリスの公式を証明する前に、復習を兼ねて次の問題を解くことにする。
問題 
とするとき、次のことを示せ。
【解】
（１） とおき、置換積分すると
（２） 部分積分を適用すると、
（解答終）
問題１の（２）より、
nが偶数のとき
nが奇数のとき
となり、
なので、
あるいは、
nを正の整数のとするとき、
問 上の結果を利用して、次の定積分の値を求めよ。
【解】
（解答終）
さて、これで準備が整ったので、次に、ウォリスの公式を証明する。
ウォリスの公式
【証明】
0≦x≦π/2、nを正の整数とすると
だから、
したがって、
したがって、
が成り立つので、
したがって、ハサミ打ちの定理より
また、
だから、
したがって、
（解答終）
お前らに質問（１１月２０日 円の方程式） [お前らに質問]
お前らに質問（１１月２０日 円の方程式）
今回は、
ネコにも劣る知能と思考力しか有さないと噂される、お前らに、超〜簡単な問題を出すにゃ。
問題 a≠0とする。点(0,a)を中心とし、x軸に接する円の方程式を求め、それを極座標表示の方程式（極方程式）に書き換えよ。
いくら⑨のお前らでも、この問題ならば解けるだろう。
まぁ、この場合、下図に示す幾何学的な関係から、極方程式を直接導くこともできるんですがね。
ただし、これはa>0で、かつ、0<θ<π/2のときだケロ。
a>0で、π/2<θ<πのとき、導いた関係が成り立つかどうかはわからない。
まして、a<0のときは言わずもがな。
と、図を新たに追加し、ネムネコは、お前らを惑わすのであった(^^)。
高校の数学Ⅲで極座標について習っているはずだから、極座標についての説明は不要だよな。
などと偉そうなこと言っていますが、実は、ネムネコ、極座標の正確な定義を知らないので、説明できないのだった。
だって、オレが高校生だった頃、数学のカリキュラムに極座標は入ってなかったにゃ。
そして、大学に入って、解析（微分積分）の時間に、
いきなり、xとyを実数とするとき――より正確に書けば、(x,y)∈R²――
という対応関係から定まるr（≧0）とθの組を(r、θ)で表す。
すなわち、
あるいは、
みたいに始まり、そして、これだけで終わった。
実は、公式（２）、（２’）すら大学の数学の講義で習っていない(^^ゞ。
――「こんなことは、定義から明らかで、わざわざ講義で教える必要はないし、講義でこんな自明なことを話す時間的余裕なんて無い！！」ってわけか(・・?――
そして、こんにちに至る。
複素関数のガウス平面表示、そして、オイラーの公式
なんての出てきたけれど、これとて、「こういう関係がある」（「このように定義する」）の一瞬で終わってしまった。
だから、ネムネコは、極座標について説明できないにゃ。
ついでだから、もうひとつ問題。
問題２ 点(a,b)を通り、x軸となす角がαである直線の極方程式を求めよ。
ネムネコは、優しいから、絵をプレゼントしたにゃ。
ただし、惑わしかもしれないので、注意が必要だにゃ。
あと、αが９０度、すなわち、α=π/2のとき、注意すること。
α≠π/2のとき、直線lの傾きはtanαだから、デカルト直交座標系における直線lの方程式は・・・。そして、求めた式にを代入し、rについて解けば・・・。
α=π/2のときは、え〜と、え〜と…
と、錯乱するのであった！！
この他にもトラップ、罠が仕掛けられているかもしれないので、注意したほうがいいケロよ。
たとえば、
のときは、どうなるのかとか(^^)。
このときは、どのような場合だにゃ。
第５０回 極方程式で表された曲線の面積 [微分積分]
第５０回 極方程式で表された曲線の面積
定理 （極方程式で与えられた図形の囲む面積）
曲線Cが極座標を用いてr=f(θ)（α≦θ≦β）と表されていて、f(θ)は連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=α、θ=βで囲まれる部分の面積Sは
である。
【証明】
閉区間[α,β]の分割
をとり、曲線r=f(θ)と半直線
に囲まれた微小部分を扇型で近似すると
仮定より、f(θ)は[α,β]で連続なので、
も[α,β]で連続。
したがって、｜Δ｜→0のとき、
に収束する。
よって、
（証明終）
問題１ 次の方程式で表される曲線の囲む面積を求めよ。
【解】
r≧0だから、a>0のとき−π/2≦θ≦π/2、a<0のときπ/2≦θ≦3π/2。
したがって、
a>0のとき、この曲線が囲む面積Sは
a<0のとき
よって、
（解答終）
この曲線は、点(a,0)を中心とする半径｜a｜>0の円だから面積S=πa²！！
また、この曲線は、x軸に関して対称なので、この曲線の第１象限における面積を２倍することによって面積を求めることもできる。
すなわち、a>0のとき、
また、a<0のときの曲線は、y軸に関してa>0のときの曲線に対称だから、その面積は等しい。
問題２ カージオイド
の面積を求めよ。ただし、a>0とする。
【解】
r≧0だから、0≦θ≦2π。
よって、
（解答終）
カージオイドはx軸に関して対称なので、対称性に注目し、
と計算してもよい。
問題３ a>0とするとき、次の曲線（４葉線）の囲む面積を求めよ。
【解】
の両辺を２乗すると、
曲線の対称性から、第１象限で囲まれた図形の面積を４倍すればよい。
したがって、求める面積Sは
（解答終）
問題４ a>0とするとき、次の曲線（レムニスケート）の囲む面積を求めよ。
【解】
を代入すると、x²+y²=r²だから、
r²≧0より、cos2θ≧0。
よって、−π≦θ≦πとすると、
。
図形の対称性から第１象限で囲まれた部分の面積を４倍すればよい）。
（解答終）
問題５ a>0とするとき、次の曲線（デカルトの葉線）の囲む面積を求めよ。
【解】
を代入すると、
よって、求める面積Sは
ここで、t=tanθとおくと、
で、θ=0→t=0、θ=π/2→t→∞に対応するので、
（解答終）
デカルトの葉線は直線y=xに対称なので、
ここで、t=tanθとおくと、で、θ=0→t=0、θ=π/4→t=1に対応するので、
としたほうがいいのだろう。
問題５の解答では、
「θ=0→t=0、θ=π/2→t→∞に対応する」にすこし”やましさ”がある。
正しくは、「θ=0→t=0、θ=π/2−0→t→∞に対応する」とすべきところだから。
y=xに関して対称なのは、x³+y³=3axyのxとyをyとxに入れ換えても同じ式になることからわかる。
お前らに質問（１１月１９日 定積分と面積） [お前らに質問]
お前らに質問（１１月１９日 定積分と面積）
次の方程式で与えられる楕円があるとする。
この楕円の面積が
であることを、我々は知っているものとする。
と置き、これを（１）に代入すると、
（３）は、極座標を用いて、（１）を書き換えた極方程式だにゃ。
0≦θ≦π/4のとき、これは、デカルト直交座標系でx≧0、y≧0の部分、すなわち、第１象限に該当するので、楕円（１）とx軸、y軸で囲まれた部分の面積は、
になる。
ここで、極方程式で表された面積の公式を用いると、次の関係が成り立つ。
r²は（３）で求めてあるから、これを代入すると、
いっさい、積分の計算をすることなく、
というなんか難しそうな定積分の値を求めたことになる。
ではあるが、お前らには真面目に積分をして、（４）を示してもらおうか。
問題１ 次の関係が成り立つことを示せ。
（４）でもいいのだけれど、数学の本ではコチラの公式（？）の方が多数派のようなので、コッチにしたにゃ。
ヒントを出さないと、お前らは絶対に、この問題を解こうとしないだろうから、
t=tanθとおくと、
になるにゃ。
とすると、
なお、θ=π/2のとき、t=tanθは発散するので、
とするといいにゃ。
もう、答を書いたようなものだが、お前ら、最後までやれよな。
ちなみに、a=bのとき、
だから、
となり、等式が成立していることがわかる。
本によっては、
となっているかもしれないけれど、aとbを入れ替えたものだから、成り立つのは当たり前。
また、t=π/2−θ、すなわち、θ=π/2−tとおくと、
となり、さらに、θ=0→t=π/2、θ=π/2→t=0となるので、
と証明することもできる。
ところで、
a>0とする。点(a,0)を中心とする半径aの円を極座標であらわす、つまり、極方程式で表すと、どうなるか、わかるケロか。
この円は、デカルト直交座標系では、
と表されるので、を代入すると、
これだとθの範囲がよくわからないので――r≧0の条件からθの範囲を求められるが(^^ゞ――、
ここはお絵かきをして、
右の図から
となるけれど、これだと原点（極座標では、原点をr=0と定義）が抜けるので、r=0を追加したおこう！！
そして、
だから、
に拡張しよう！！
「θ=±π/2のときr=0になるケロ」でもいいが・・・。
問題２ 次の極方程式で表される曲線の囲む面積を求めよ。
答は、πa²とわかっているが、
や
を使って、面積を求めてもらおうじゃないか。
ちなみに、半径rで中心角がθの扇型の面積は
これから、極方程式r=f(θ)で表される曲線（α≦θ≦β）と半直線θ=α、θ=βで囲まれた部分の面積は
ってのが何気なくわかるんじゃないかい。
定理 （極方程式で与えられた図形の囲む面積）
曲線Cが極座標を用いてr=f(θ)（α≦θ≦β）と表されていて、f(θ)は連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=α、θ=βで囲まれる部分の面積Sは
お前らに質問（１１月１８日 定積分と面積） [お前らに質問]
お前らに質問（１１月１８日 定積分と面積）
具体的な積分の計算をしなくても、２次曲線の面積を求めることができるという例を紹介するにゃ。
例題 方程式x²−xy+y²=3の表す曲線の囲む面積を求めよ。
【解答】
方程式x²−xy+y²=3をyについて解くと、
そこで、
とおくと、求める面積は
は原点を中心とする半径2の半円の面積と等しいので、
したがって、
（解答終）
というわけで、積分することなく、閉曲線x²−xy+y²=3の囲む面積を求めることができた。
もちろん、
の被積分関数
は偶関数だから、
とし、x=2sinθと置き、置換積分を使って
したがって、
あるいは、x=2cosθとおき、
と積分の値を求め、これから、
と解いてもいい。
ヒトによっては、
だから、
さらに、線形代数の知識を駆使し、
よって、この曲線は
に変換することができ、楕円の面積の公式から
あるいは、この２次曲線を原点を中心に４５°時計回りに回転させると、
よって、
といった解き方もあるわな〜。
まっ、それはそれとして、
お前らには次の２つの問題を解いてもらおうか。
問題１ 方程式x²−xy+y²=3の表す曲線の第１象限にある部分がx軸、y軸で囲まれる図形の面積を求めよ。
問題２ 曲線2x²−2xy+y²−4x+2y=0の囲む面積を求めよ。
真面目に積分の計算したいのであれば、
問題２は、曲線をy=φ(x)、y=ψ(x)の形にするか、あるいは、x=φ(y)、x=ψ(y)の形にしたほうがいいのか、考えたほうがいいかもしれないケロ。
まっ、お前ら如きに、この積分の計算ができるなんて、髪の毛一筋ほどにも思っていないが(^^)。
ネムネコの直観によれば、この図形は、点(1,0)を中心に、反時計回りに６０°回転させると・・・。
でも、お前ら、原点周り以外の回転の公式を知らないだろう。
点(a,b)を中心に、反時計回りにθ回転させた場合、点(x,y)は
に移るような記憶が・・・。
いっておくけれど、反時計回りだから逆回転！！
まっ、こんな式を使うくらいならば、y軸をx軸の正の方向に１平行移動させ、
という座標変換に従う新しい座標系O'-XYを設定し、この変換に従うように方程式2x²−2xy+y²−4x+2y=0を書き換え、議論したほうが賢明だわな〜。
書いただけだにゃ。
あまり手取り足取り教えると、癖になる。
ではあるが、
x=X+1、y=Yを方程式2x²−2xy+y²−4x+2y=0に代入すると、
これだけでも、問題２は随分と楽になる。
今日も、ネコパンチが決まったにゃ。
