お前らに質問 （１１月１５日 媒介変数で表された曲線の面積） [お前らに質問]
お前らに質問 （１１月１５日 媒介変数で表された曲線の面積）
例題 tがすべての実数の範囲を動くとき、
を座標とする点(x,y)は１つの曲線をえがく。この曲線とx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ。
【解】
y≧0になるのは0≦t≦2で、t=0のときx=1、t=2のときx=5。
したがって、求める面積Sは
（解答終）
さて、この例題を踏まえて、お前らに次の問題を解いてもらおうか。
問題１ 次の方程式のあらわす曲線とx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ。
この方程式で表された曲線も自分でえがいて欲しいところであるけれど、ネムネコは、ホトケ様のように優しいから、お前等の参考になるように、曲線だけはかいてやるにゃ。
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問題２ 曲線
とx軸とによって囲まれた面積を求めよ。
さっ、この問題を解いてもらましょうか。
問題１については、媒介変数（パラメータ）であるtを消去し、yをxの関数にあらわして解くこともできるけれど、問題２は・・・。
それはそれとしまして、記事の内容よりも、記事中に埋め込まれているアニソンを楽しみしているヒトの方が多そうなので、今日も神曲（かみきょく）を埋め込むにゃ。
第４５回 広義積分 その４ ベータ関数 [微分積分]
第４５回 広義積分 その４ ベータ関数
定理
（ⅰ） 関数f(x)は(a,b]で連続とする。ある0≦λ<1について、
が収束するならば、広義積分
は収束する。
（ⅱ） 関数f(x)は[a,b)で連続とする。ある0≦λ<1について、
が収束するならば、広義積分は収束する。
【証明
0≦λ<1とする。
（ⅰ）
とすると、
であるδ>0が存在する。
0≦λ<1だから
は収束し、したがって、は収束する。
（ⅱ） 
とすると、
であるδ>0が存在する。
0≦λ<1だから、広義積分
は収束し、したがって、も収束する。
（証明終）
命題 p>0、q>0のとき、
は存在する。
【証明】
0<c<1とし、
とする。
（１） p≧1のとき、[0,c]で
は連続なので、
は通常の定積分で存在する。
0<p<1のとき、
だから、は広義積分。
また、このとき、0<p−1<1であり、
となるので、広義積分
が存在する。
（２） q≧1のとき、[c,1]で
は連続なので、
は存在する。
0<q<1のとき、
だから、は広義積分。
このとき、0<q−1<1であり、
よって、広義積分は存在する。
（１）、（２）より、p>0、q>0のとき、
が存在するので、は存在する。
（証明終）
定義 ベータ関数
p>0、q>0に対して、
とおき、これをベータ関数（Β関数）という。
定理 （ベータ関数の性質）
ベータ関数Β(p,q)は次の性質をみたす。
【解】
（１） x=1−tとおくと
（２） x+(1−x)=1
したがって、
また、
したがって、
（３） 
だから、
また、
したがって、
（証明終）
さて、m、nが自然数のとき、
が成り立つので、
が成立する。
証明はしないが、
この関係は、m,nが自然数の時だけでなく、p>0、q>0のときにも成立する。すなわち、
