前らに質問 （１１月１４日 ２次方程式） [お前らに質問]
数年前のことであるが、ネムネコがなかなか解けずに、苦悶し、のたうち回った問題をお前らに紹介。
問題 方程式ax²−x+1=0（aは実数）が実根をもつとき、１つの実根は２より大きくない正の根であることを証明せよ。
ネムネコが高校２年ときに学校から配布された、数学演習の授業用の問題集にあった問題で、某大学の大学入試に出された問題らしいのだけれど、実家に帰ったときに、「ねこ騙し数学」の参考にならないかと考え、久しぶりにその問題集を開き、これがなかなか解けなかった。
基本問題に分類されているのだから、秒殺できないといけないのに、解けない。
「どんな方法を使ってもいい」というのならば話は別だけれど、これは数学Ⅰ用の問題だから・・・。
ということで、
ネムネコには難問であった、基本レベルのこの問題を、お前らに解いてもらおうじゃないか。
ひとつだけ忠告しておくけれど、
「方程式ax²−x+1=0（aは実数）」は、a=0の場合もあるので、２次方程式とは限らない！！
ので、この点は注意すること。
解けた奴は、「ネムネコも大したことないな」と自慢するべく、この記事のコメント欄に回答を書いて、ネムネコのもとに送信するように。
下克上を果たし、このブログを乗っ取れる千載一遇のチャンスだケロ（笑）。
第４４回 広義積分 その３ ガンマ関数 [微分積分]
第４４回 広義積分 その３ ガンマ関数
命題
p>0のとき、広義積分
は収束する。
【証明】
とおき、
とする。
（１） p≧1のとき、f(x)は[0,1]で連続だから、
は通常の積分。
0<p<1のとき、
だから、は広義積分である。
0<x≦1では、
だから、
よって、広義積分
は収束する。
（２） 任意のp>0に対して
ゆえに、任意のx∈[1,∞)に対して
となる定数M>0が存在し、
である。
よって、広義
は収束する。
（１）、（２）より、p>0のとき、広義積分は収束する。
（証明終）
定義 （ガンマ関数）
p>0に対して
とおき、これをガンマ関数という。
定理
ガンマ関数Γ(p)は次の性質をみたす。
特に、自然数nに対して
【証明】
0<s<1<tとすると、
である。
p>0のとき、
だから、
また、
n=1のとき
なので、
（証明終）
２変数関数の広義積分などが必要になるのでここでは示さないが、
である。
問１ 次の値を求めよ。
【解】
p>0のとき、
が成り立ち、また、
したがって、
（解答終）
問１より
となるので、次の関係が成り立つことがわかる。
また、
ここでは証明せずに結果だけを示すが、ガンマ関数では、次の関係が成立する。
この関係を用いることで、ガンマ関数Γ(p)はp<0に拡張することができる。ただし、p≠−1、−2、・・・とする。
（５）式を用い、拡張したガンマ関数のグラフは次のようになる。
_no_graph.png)
問２ （５）式を用い、であることを示せ。
【解】
P=1/2とおくと、
（解答終）
問３ 
の値を求めよ。
【解】
p=3/2とおくと、（５）式より
問１より
だから、
（解答終）
