お前らに質問（１１月９日 積分） [お前らに質問]
お前らに質問（１１月９日 積分）
さてさて、次の主張は正しいケロか？
【主張】 a>0とするとき、
である。
【理由１】
高校や大学の微分積分（解析）の時間に
と習ったし、大学の微分積分の教科書にも、1/xの不定積分は、こう書いてあるにゃ。
そして、高校の数学の授業で、
ならば、F(x)はf(x)の原始関数（の一つ）で、
と習ったにゃ。
とおくと、
x>0のとき、
x<0のとき、−x=tとおき、合成関数の微分を使うと、
したがって、
となるので、公式⑨から、こうなるはずだにゃ。
【理由２】
とおくと、
したがって、f(x)は奇関数。
また、奇関数のとき
が成り立つので、
である。
【理由３】
なので、
は広義積分。
そこで、ε>0とし、
よって、
は、図のように原点Oに関して対称だから、の筈だ！！
dx3D0.png)
この主張は、正しいかい？
正しくないとしたら、どこがマズいのか、指摘するにゃ。
オレが「成り立つか」と訊く場合、ほぼ１００％の確率で成り立たないんだけれど、今回は、例外かもしれない。
第４２回 広義積分 その１ [微分積分]
第４２回 広義積分 その１
関数f(x)は半区間(a,b]（または[a,b)）で連続で、
（または
）が存在するとき、広義積分
は収束するといい、
で表す。
この極限値が存在しないとき、は発散するという。
また、f(x)が開区間(a,b)において連続で、
が存在するとき、
と定義する。したがって、広義積分が収束するのは、a<c<bとする、広義積分
がともに収束するときに限り、
が成立する。
広義積分
が収束するとき、広義積分は絶対収束するという。
問１ 次の広義積分の値を求めよ。
【解】
（１） 1/√xは(0,1]で連続、かつ、
だから、
は広義積分。
t>0とすると、
だから、
（２） log xは(0,1]で連続、かつ、
であるから
は広義積分。
t>0とすると、
よって、
（３） 
は[0,1)で連続、かつ、
だから
は広義積分。
0<t<1とすると、
よって、
（４） 
は(0,1)で連続、
だから、
は広義積分。
0<s<t<1とし、
とおくと、
したがって、
（解答終）
次の定理は、広義積分の定義より明らかであろう。
定理１
関数f(x)は(a,b]（[a,b)あるいは(a,b)）で連続とする。f(x)の原始関数F(x)が[a,b]で連続、あるいは、連続関数に拡張できる、すなわち、F(a+0)、F(b−0)が存在するならば、広義積分が存在し、
そして、この定理から、たとえば、問１の（１）、（３）は
と、計算してよい。
広義積分の存在定理は、微分積分入門の範囲を逸脱するので、広義積分の存在判定の重要な定理だけを紹介する。
定理２
関数f(x)、g(x)は区間 I=(a,b]（あるいは、[a,b)、(a,b)）で連続であるとする。
（１） 
が絶対収束、すなわち、が収束するならば、は収束する。
（２） 任意のx∈Iに対して｜f(x)｜≦g(x)、かつ、
が収束するならば、は収束する。
（３） 任意のx∈Iに対してf(x)≧g(x)、かつ、が∞に発散するならば、も発散する。
定理２の系
関数f(x)、g(x)は区間 I=(a,b]（あるいは、[a,b)、(a,b)）で連続であるとする。正数M>0が存在し、任意のx∈Iに対し｜f(x)｜≦Mであるならば、は収束する。
関数f(x)が[a,∞)で連続で、
が存在するとき、
と定義し、この極限値が存在しないとき広義積分
は発散するという。
同様に、
と定義する。
定理１、定理２、定理２の系は、広義積分
についても成り立つ。
問２ 次の広義積分の値を求めよ。
【解】
（１） b>0とすると、
したがって、
（２） b>0とすると、
したがって、
（３） b>eとすると、
（４） a<bとすると、
したがって、
（解答終）
（４）は次のように解いてもよい。
（４） a<0<bとすると、
である。
したがって、
