お前らに質問（１１月１８日 定積分と面積） [お前らに質問]
お前らに質問（１１月１８日 定積分と面積）
具体的な積分の計算をしなくても、２次曲線の面積を求めることができるという例を紹介するにゃ。
例題 方程式x²−xy+y²=3の表す曲線の囲む面積を求めよ。
【解答】
方程式x²−xy+y²=3をyについて解くと、
そこで、
とおくと、求める面積は
は原点を中心とする半径2の半円の面積と等しいので、
したがって、
（解答終）
というわけで、積分することなく、閉曲線x²−xy+y²=3の囲む面積を求めることができた。
もちろん、
の被積分関数
は偶関数だから、
とし、x=2sinθと置き、置換積分を使って
したがって、
あるいは、x=2cosθとおき、
と積分の値を求め、これから、
と解いてもいい。
ヒトによっては、
だから、
さらに、線形代数の知識を駆使し、
よって、この曲線は
に変換することができ、楕円の面積の公式から
あるいは、この２次曲線を原点を中心に４５°時計回りに回転させると、
よって、
といった解き方もあるわな〜。
まっ、それはそれとして、
お前らには次の２つの問題を解いてもらおうか。
問題１ 方程式x²−xy+y²=3の表す曲線の第１象限にある部分がx軸、y軸で囲まれる図形の面積を求めよ。
問題２ 曲線2x²−2xy+y²−4x+2y=0の囲む面積を求めよ。
真面目に積分の計算したいのであれば、
問題２は、曲線をy=φ(x)、y=ψ(x)の形にするか、あるいは、x=φ(y)、x=ψ(y)の形にしたほうがいいのか、考えたほうがいいかもしれないケロ。
まっ、お前ら如きに、この積分の計算ができるなんて、髪の毛一筋ほどにも思っていないが(^^)。
ネムネコの直観によれば、この図形は、点(1,0)を中心に、反時計回りに６０°回転させると・・・。
でも、お前ら、原点周り以外の回転の公式を知らないだろう。
点(a,b)を中心に、反時計回りにθ回転させた場合、点(x,y)は
に移るような記憶が・・・。
いっておくけれど、反時計回りだから逆回転！！
まっ、こんな式を使うくらいならば、y軸をx軸の正の方向に１平行移動させ、
という座標変換に従う新しい座標系O'-XYを設定し、この変換に従うように方程式2x²−2xy+y²−4x+2y=0を書き換え、議論したほうが賢明だわな〜。
書いただけだにゃ。
あまり手取り足取り教えると、癖になる。
ではあるが、
x=X+1、y=Yを方程式2x²−2xy+y²−4x+2y=0に代入すると、
これだけでも、問題２は随分と楽になる。
今日も、ネコパンチが決まったにゃ。
第４６回 ベータ関数の定積分への応用 [微分積分]
第４６回 ベータ関数の定積分への応用
ガンマ関数
ガンマ関数の性質
特に、nが自然数のとき
また、
ベータ関数（Β関数）
ベータ関数とガンマ関数
とくに、m,nが自然数のとき
問１ ベータ関数を利用して、次の定積分の値を求めよ。
【解】
（１）
（２）
だから
また、
したがって、
（３）
さて、
だから、
（解答終）
問２ 
と置換し、ベータ関数を利用して、次の定積分の値を求めよ。ただし、b>aとする。
【解】
とおくと、x=aはt=0、x=bはt=1に対応し、dx=(b−a)dtになる。
したがって、
（１）はp=2、q=2の場合なので、
（２）はp=2、q=3のときなので、
（３）はp=q=2/3の場合なので、
（解答終）
さて、ベータ関数
は、 x=sin²tと置くと、x=0はt=0、x=1はt=π/2に対応し、
となるので、
したがって、
である。
特に、m、nを自然数とすると、
問３ ベータ関数を用いて、次の定積分の値を求めよ。
【解】
（解答終）
