お前らに質問（１１月１８日 定積分と面積）

お前らに質問（１１月１８日　定積分と面積）

 

 

具体的な積分の計算をしなくても、２次曲線の面積を求めることができるという例を紹介するにゃ。

 

例題　方程式x²−xy+y²=3の表す曲線の囲む面積を求めよ。

【解答】

方程式x²−xy+y²=3をyについて解くと、

　　

そこで、

　　

とおくと、求める面積は

　　

は原点を中心とする半径2の半円の面積と等しいので、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

というわけで、積分することなく、閉曲線x²−xy+y²=3の囲む面積を求めることができた。

 

もちろん、

の被積分関数は偶関数だから、

　　

とし、x=2sinθと置き、置換積分を使って

　　

したがって、

　　

 

あるいは、x=2cosθとおき、

　　

と積分の値を求め、これから、

　　

と解いてもいい。

 

ヒトによっては、

　　

だから、

　　

 

さらに、線形代数の知識を駆使し、

　　

よって、この曲線は

　　

に変換することができ、楕円の面積の公式から

　　

あるいは、この２次曲線を原点を中心に４５°時計回りに回転させると、

　　

よって、

　　

といった解き方もあるわな〜。

 

まっ、それはそれとして、

お前らには次の２つの問題を解いてもらおうか。

 

問題１　方程式x²−xy+y²=3の表す曲線の第１象限にある部分がx軸、y軸で囲まれる図形の面積を求めよ。

 

 

問題２　曲線2x²−2xy+y²−4x+2y=0の囲む面積を求めよ。

 

 

真面目に積分の計算したいのであれば、

問題２は、曲線をy=φ(x)、y=ψ(x)の形にするか、あるいは、x=φ(y)、x=ψ(y)の形にしたほうがいいのか、考えたほうがいいかもしれないケロ。

 

まっ、お前ら如きに、この積分の計算ができるなんて、髪の毛一筋ほどにも思っていないが(^^)。

 

 

ネムネコの直観によれば、この図形は、点(1,0)を中心に、反時計回りに６０°回転させると・・・。

でも、お前ら、原点周り以外の回転の公式を知らないだろう。

 

点(a,b)を中心に、反時計回りにθ回転させた場合、点(x,y)は

　　

に移るような記憶が・・・。

 

いっておくけれど、反時計回りだから逆回転！！

 

 

まっ、こんな式を使うくらいならば、y軸をx軸の正の方向に１平行移動させ、

　　

という座標変換に従う新しい座標系O'-XYを設定し、この変換に従うように方程式2x²−2xy+y²−4x+2y=0を書き換え、議論したほうが賢明だわな〜。

 

 

書いただけだにゃ。

 

 

あまり手取り足取り教えると、癖になる。

ではあるが、

x=X+1、y=Yを方程式2x²−2xy+y²−4x+2y=0に代入すると、

　　

これだけでも、問題２は随分と楽になる。

 

 

今日も、ネコパンチが決まったにゃ。

 

 

 

危険、読むと呪われる！！

 

 

問題１　方程式x²−xy+y²=3の表す曲線の第１象限にある部分がx軸、y軸で囲まれる図形の面積を求めよ。

【解】

とおき、方程式x²−xy+y²=3に代入すると、

　　

したがって、求める面積Sは

　　

（解答終）

 

これは、一体、何だろう？

 

だから、オレは「読むと呪われる」と警告したんだ。

オレの警告を無視して、読んだ奴が悪いにゃ。

 

 

こんなふうに解く奴はいないだろうけれど、問題１の解答はこれでもよい。

 

同様に、例題の解は

　　

ちょっと、書いてみたかっただけだケロ。

 

 

 

なお、原点を中心とする半径aの円の場合、極方程式はr=aだから、

　　

と、円の面積の公式になる！！