お前らに質問（１１月１９日 定積分と面積）

お前らに質問（１１月１９日　定積分と面積）

 

 

次の方程式で与えられる楕円があるとする。

　　

この楕円の面積が

　　

であることを、我々は知っているものとする。

 

と置き、これを（１）に代入すると、

　　

（３）は、極座標を用いて、（１）を書き換えた極方程式だにゃ。

 

0≦θ≦π/4のとき、これは、デカルト直交座標系でx≧0、y≧0の部分、すなわち、第１象限に該当するので、楕円（１）とx軸、y軸で囲まれた部分の面積は、

　　

になる。

 

ここで、極方程式で表された面積の公式を用いると、次の関係が成り立つ。

　　

r²は（３）で求めてあるから、これを代入すると、

　　

 

いっさい、積分の計算をすることなく、というなんか難しそうな定積分の値を求めたことになる。

 

ではあるが、お前らには真面目に積分をして、（４）を示してもらおうか。

 

問題１　次の関係が成り立つことを示せ。

　　

 

（４）でもいいのだけれど、数学の本ではコチラの公式（？）の方が多数派のようなので、コッチにしたにゃ。

 

ヒントを出さないと、お前らは絶対に、この問題を解こうとしないだろうから、

t=tanθとおくと、

　　

になるにゃ。

とすると、

　　

 

なお、θ=π/2のとき、t=tanθは発散するので、

　　

とするといいにゃ。

 

もう、答を書いたようなものだが、お前ら、最後までやれよな。

 

ちなみに、a=bのとき、

　　

だから、

　　

となり、等式が成立していることがわかる。

 

本によっては、

　　

となっているかもしれないけれど、aとbを入れ替えたものだから、成り立つのは当たり前。

また、t=π/2−θ、すなわち、θ=π/2−tとおくと、

　　

となり、さらに、θ=0→t=π/2、θ=π/2→t=0となるので、

　　

と証明することもできる。

 

 

ところで、

a>0とする。点(a,0)を中心とする半径aの円を極座標であらわす、つまり、極方程式で表すと、どうなるか、わかるケロか。

この円は、デカルト直交座標系では、

　　

と表されるので、を代入すると、

　　

これだとθの範囲がよくわからないので――r≧0の条件からθの範囲を求められるが(^^ゞ――、

ここはお絵かきをして、

右の図から

　　

となるけれど、これだと原点（極座標では、原点をr=0と定義）が抜けるので、r=0を追加したおこう！！

そして、

　　

だから、

　　

に拡張しよう！！

「θ=±π/2のときr=0になるケロ」でもいいが・・・。

 

 

問題２　次の極方程式で表される曲線の囲む面積を求めよ。

　　

 

答は、πa²とわかっているが、

　　

や

　　

を使って、面積を求めてもらおうじゃないか。

 

ちなみに、半径rで中心角がθの扇型の面積は

　　

これから、極方程式r=f(θ)で表される曲線（α≦θ≦β）と半直線θ=α、θ=βで囲まれた部分の面積は

 　　

ってのが何気なくわかるんじゃないかい。

 

 

定理　（極方程式で与えられた図形の囲む面積）

曲線Cが極座標を用いてr=f(θ)（α≦θ≦β）と表されていて、f(θ)は連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=α、θ=βで囲まれる部分の面積Sは

　　

 

 

 

意欲的なアナタに

発展問題　曲線

　　

が囲む面積を求めよ。

【解】

とし代入すると、

　　

r²≧0より、cos2θ≧0。

よって、−π≦θ≦πとすると、。

図形の対称性から第１象限で囲まれた部分の面積を４倍すればよい（右図参照）。

　　

（解答終）

 

この問題は、曲線の方程式をyまたはxについて解き、その後、積分するのは困難だけれど、方程式を極座標に直して積分すると、この曲線（レムニスケートという）に囲まれる面積がこんなに簡単に求められてしまうのであった。

 

意欲のある奴は、上の発展問題を参考にし、次の問題を解くにゃ。

 

問題　曲線（４葉線）

　　

の囲む部分の面積を求めよ。

 

第１象限の面積を求め、それを４倍すれば、この四つ葉のクローバーの面積を求めることができるにゃ。

 

xとyの方程式に直して解こうなんて無謀なことを考えてはいけないにゃ。

　　

また、の両辺を２乗すると、

　　

だから、代入すると、

　　

これは、ちょっと、手に負えないケロよ。

 

 

これからこの四つ葉のクローバーの面積を求められたら、事件だと思うにゃ。