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第59回 空間曲線 [微分積分]

第59回 空間曲線

 

 

空間の点Pの描く空間曲線は

  

で与えられるが、これは原点Oを始点とする点Pの位置ベクトル

  

と与えられることと同等である。

 

そして、接線ベクトルは

  

で与えられる。

 

さらに、この曲線Cが滑らかなとき、位置ベクトルr(a)からr(t)までの弧の長さs(t)

  vecs-001.png

となり、

  vecs-002.png

よって、

  

とすれば、

  

このds線元素という。

 

stの関数であるが、逆にtsの関数と考えられるので、曲線は、曲線の長さを用いて

  r=r(s)

とあらわすことができる。

このとき、

  

は曲線に接しsの増加する方向に向かうベクトルである。

何故ならば、

  

で、ベクトルtは接線ベクトルdr/dtと平行だから。

 

また、ss+Δsに対応する曲線上の点をPQとし、とすれば

  

だから、t単位接線ベクトルである。

 

Qにおける接線ベクトルとPにおける接線ベクトルのなす角度をΔθとすれば、

  

は、曲線の長さに対する接線の向きの変化率をあらわし、

  

を点Pにおける曲率という。この定義から明らかなように曲率は正または0であり、曲線上の各点でκ=0である時は直線である。

 

 

単位接線ベクトルt同士の内積tt=1を微分すると、

  

となり、tに垂直である。

また、


と同じ向きの単位ベクトルをnとすれば、

  

このnPにおける(単位)主法線ベクトルといい、

  

となる。

 

また、曲率は

  vecs-003.png

 

曲率の逆数
  

曲率半径といい、曲線上のPから引かれたベクトルρnの終点を曲率半径の中心という。

 

また、曲線上の点Pにおける接線ベクトルと主法線ベクトルの外積

  b=t×n
を、点Pにおける曲線の(単位)従法線ベクトルという。

したがって、

  

 

tnbは互いに直交する単位ベクトルで、右手系をなす。

 

また、

  

が成立し、τ捩率(れいりつ)という。

 

 

問題1 次の螺旋曲線の(単位)接線ベクトル、主法線ベクトル、従法線ベクトル、さらに曲率κと捩率τを求めよ。

  

【解】

  

したがって、

  vecs-005.png

よって、

  

単位接線ベクトルt

  

また、

  

ゆえに、曲率κ

  

よって、主法線ベクトルn

  

従法線ベクトルb

  

これから、

  vecs-010.png

よって、捩率τ

  

(解答終)




xy平面の2次元で曲率について説明する。

次の図のように、点Pにおける曲線の接線とx軸のなす角度をθとする。このとき、単位接線ベクトルt=(cosθ,sinθ)となる。

単位弧長あたりの接線ベクトルの変化率は

  vecs-011.png

よって、

  vecs-012.png

 

 

問題2 曲線y=f(x)の曲率を求めよ。

【解】

接線とx軸のなす角度をθとすると、

  

よって、

  vecs-013.png

また、

  vecs-014.png

よって

  vecs-015.png

だから、

  vecs-016.png

となる。

特にy'が1に比べて非常に小さい場合は、

  

(解答終)

 

 


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第58回 ベクトル関数の微分 [微分積分]

第58回 ベクトル関数の微分

 

 

実数全体の集合の部分集合Dで定義されているベクトル関数A(t)t₀∈Dにおいて極限

  vecb-000.png

を有するとき、A(t)t=t₀で微分可能であるといい、A'(t₀)t=t₀におけるA(t)微分係数という。

Δt=t−t₀≠0とおくと、t→t₀のときΔt→0だから、(1)式は次のように書き換えることができる。

  

また、Dに属する任意の点でA(t)が微分可能であるとき、A(t)Dで微分可能であるという。

 

ベクトル関数A(t)Dの任意の点tで微分可能であるとき、

  

A(t)の導関数といい、記号

  

などで表す。

また、

  

であるとき、

  

 

 

定理 A(t)が点t=t₀で微分可能ならば、A(t)は点t=t₀で連続である。

【略証】

(略証終)

 

問1 次のことを示せ。

【略証】

(略証終)

 

 

問2 実関数f(t)とベクトル関数A(t)Dで微分可能であるとするとき、次のことが成り立つことを示せ。

【解】

(解答終)

 

A(t)は微分可能だから連続で、

  

であることに注意。

 

 

問3 問1、問2を用いて、

  

のとき、

 

となることを示せ。

【解】

  

(解答終)

 

基本ベクトルは大きさ、方向が変わらない定ベクトルなので、

 

であることを使っていることに留意。

 

ベクトル関数の内積(スカラー積)、外積(ベクトル積)に関しては、次の関係が成り立つ。

 

定理

【証明】

とする。

(1) の両辺を微分すると、

  

(2)

  

だから、

  

(証明終)

 

 

問4 次のことを示せ。

vecb-006.png 

【解】

(1)

  vecb-007.png

 

(2) |A|=定数だから

よって、

  

したがって、ならばは直交する。

 

(3)

  

(解答終)

 

rを質点の位置ベクトル、mを質量とすると、問4の(3)より

  vecb-009.png

ここで、

  vecb-010.png

とおくと、

  vecb-011.png

Lは角運動量であり、r×Fはモーメントだから、「角運動量の単位時間の変化はモーメントに等しい」という物理の角運動量保存の法則を得ることができる。

 

 

問5 rtのベクトル関数、r=r|とするとき、次の関数を微分せよ。

(答)

ここで、

  vecb-012.png

 

 

問6 abを一定のベクトル、ωを定数とするとき、次のことを示せ。

ならば、

  vecb-013.png

【略解】

  

また、

  

(略解終)

 


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