第59回 空間曲線 [微分積分]
第59回 空間曲線
空間の点Pの描く空間曲線は
で与えられるが、これは原点Oを始点とする点Pの位置ベクトルが
と与えられることと同等である。
そして、接線ベクトルは
で与えられる。
さらに、この曲線Cが滑らかなとき、位置ベクトルr(a)からr(t)までの弧の長さs(t)は
となり、
よって、
とすれば、
このdsを線元素という。
sはtの関数であるが、逆にtもsの関数と考えられるので、曲線は、曲線の長さを用いて
r=r(s)
とあらわすことができる。
このとき、
は曲線に接しsの増加する方向に向かうベクトルである。
何故ならば、
で、ベクトルtは接線ベクトルdr/dtと平行だから。
また、sとs+Δsに対応する曲線上の点をP、Qとし、とすれば
だから、tは単位接線ベクトルである。
Qにおける接線ベクトルとPにおける接線ベクトルのなす角度をΔθとすれば、
は、曲線の長さに対する接線の向きの変化率をあらわし、
を点Pにおける曲率という。この定義から明らかなように曲率は正または0であり、曲線上の各点でκ=0である時は直線である。
単位接線ベクトルt同士の内積t・t=1を微分すると、
となり、はtに垂直である。
また、
と同じ向きの単位ベクトルをnとすれば、
このnをPにおける(単位)主法線ベクトルといい、
となる。
また、曲率は
曲率の逆数
を曲率半径といい、曲線上のPから引かれたベクトルρnの終点を曲率半径の中心という。
また、曲線上の点Pにおける接線ベクトルと主法線ベクトルの外積
b=t×n
を、点Pにおける曲線の(単位)従法線ベクトルという。
したがって、
t、n、bは互いに直交する単位ベクトルで、右手系をなす。
また、
が成立し、τを捩率(れいりつ)という。
問題1 次の螺旋曲線の(単位)接線ベクトル、主法線ベクトル、従法線ベクトル、さらに曲率κと捩率τを求めよ。
【解】
したがって、
よって、
単位接線ベクトルtは
また、
ゆえに、曲率κは
よって、主法線ベクトルnは
従法線ベクトルbは
これから、
よって、捩率τは
(解答終)
xy平面の2次元で曲率について説明する。
次の図のように、点Pにおける曲線の接線とx軸のなす角度をθとする。このとき、単位接線ベクトルt=(cosθ,sinθ)となる。
単位弧長あたりの接線ベクトルの変化率は
よって、
問題2 曲線y=f(x)の曲率を求めよ。
【解】
接線とx軸のなす角度をθとすると、
よって、
また、
よって
だから、
となる。
特にy'が1に比べて非常に小さい場合は、
(解答終)
第58回 ベクトル関数の微分 [微分積分]
第58回 ベクトル関数の微分
実数全体の集合の部分集合Dで定義されているベクトル関数A(t)がt₀∈Dにおいて極限
を有するとき、A(t)はt=t₀で微分可能であるといい、A'(t₀)をt=t₀におけるA(t)の微分係数という。
Δt=t−t₀≠0とおくと、t→t₀のときΔt→0だから、(1)式は次のように書き換えることができる。
また、Dに属する任意の点でA(t)が微分可能であるとき、A(t)はDで微分可能であるという。
ベクトル関数A(t)がDの任意の点tで微分可能であるとき、
をA(t)の導関数といい、記号
などで表す。
また、
であるとき、
定理 A(t)が点t=t₀で微分可能ならば、A(t)は点t=t₀で連続である。
【略証】
(略証終)
問1 次のことを示せ。
【略証】
(略証終)
問2 実関数f(t)とベクトル関数A(t)はDで微分可能であるとするとき、次のことが成り立つことを示せ。
【解】
(解答終)
A(t)は微分可能だから連続で、
であることに注意。
問3 問1、問2を用いて、
のとき、
となることを示せ。
【解】
(解答終)
基本ベクトルは大きさ、方向が変わらない定ベクトルなので、
であることを使っていることに留意。
ベクトル関数の内積(スカラー積)、外積(ベクトル積)に関しては、次の関係が成り立つ。
定理
【証明】
とする。
(1) の両辺を微分すると、
(2)
だから、
(証明終)
問4 次のことを示せ。
【解】
(1)
(2) |A|=定数だから。
よって、
したがって、ならば
と
は直交する。
(3)
(解答終)
rを質点の位置ベクトル、mを質量とすると、問4の(3)より
ここで、
とおくと、
Lは角運動量であり、r×Fはモーメントだから、「角運動量の単位時間の変化はモーメントに等しい」という物理の角運動量保存の法則を得ることができる。
問5 rをtのベクトル関数、r=|r|とするとき、次の関数を微分せよ。
(答)
ここで、
問6 a、bを一定のベクトル、ωを定数とするとき、次のことを示せ。
ならば、
【略解】
また、
(略解終)
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