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第19回 陰関数の極値 [多変数関数の微分]

第19回 陰関数の極値

 

(x₀,y₀)を含む領域Df(x,y)級であるとする。陰関数定理より、ならば、x₀の近傍でf(x,y)=0で定める級の陰関数y=φ(x)がただ一つ存在し、

  

である。

(1)式をさらにxで微分すると、

  dai19-siki-01.png

ここで、

  dai19-siki-02.png

したがって、f(x,y)Dならば、

  

である。

 

 

問題1 関係式x²–2xy–y²=1で定まる陰関数についてを求めよ。

【解】

f(x,y)=x²–2xy–y²–1とおくと、 tahen-19-002.pngだから、

  

だから

  

(解答終)

 

【別解】

x²−2xy−y²=1xで微分すると、

  tahen-19-007.png

これをxで微分すると、

  tahen-19-008.png

となるので、これに

  tahen-19-009.png

を代入すると、

  

(別解終)

 

 

次に、f(x,y)級とし、f(x,y)=0で定まる級の関数y=φ(x)の極値について考えることにする。

y=φ(x)x=x₀で極値を取るとすると、陰関数定理より

  

また、y=φ(x₀)で極値をとるためには、

  

したがって、(2)式より、x=x₀におけるd²y/dx²の値は

  

となる。

よって、

  dai19-siki-07.png

のときy=φ(x₀)は極小となり、

  dai19-siki-08.png

のときに極大となる。

 

以上のことをまとめると、次の定理になる。


 

定理19

f(x,y)級の関数とし、y=φ(x)f(x,y)=0の定める陰関数とする。

φx=x₀で極値y₀=φ(x₀)を取るならば、

  

で、

のときy₀は極大値で、のときy₀は極小値である。

 

 

問題2 3x²+2xy+2y²=15の定める陰関数yの極値を求めよ。

graph-3x^2+2xy+2y^2=15.png【解】

とおくと、

  

3x²+2xy+2y²–15 =0に代入すると、

  

だから

  

(x,y)=(−1,3)のとき

  

(x,y)=(1,−3)のとき

  

よって、

yは、x=−1のとき極大値3x=1のとき極小値3をとる。

(解答終)

 

この程度の問題ならば、3x²+2xy+2y²=15xに関する2次方程式と考え、2次方程式の判別式を使って解くこともできる。

 

【別解】

xに関する2次方程式3x²+2yx+2y²–15=0は実根を持たなければならないので、その判別式をDとすると、

  

y=−3のとき

  

同様に、y=3のときx=−1

したがって、yは、x=−1のとき極大値3x=1のとき極小値1を取る。

(別解終)

 

 

宿題 3x²+2xy+2y²=15で定まる陰関数yの極値を、1変数関数の微分を用いて求めよ。

 

この問題を自分で解くと、紹介した定理の有り難みがよく分かる!!

 

 


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コメント 5

q

Q1 ミスはありませんか?
by q (2019-03-22 12:14) 

nemurineko

コメント、ありがとうございます。

間違いは、問題1のdy/dxの計算のところですか。
ここは、確かに、間違っていますね。

ご指摘、感謝です。


by nemurineko (2019-03-24 20:07) 

nemurineko

問題1は、色々なところで、計算を間違えていますね(^^ゞ

by nemurineko (2019-03-24 22:12) 

G

例題1で、関係式x²−2xy−y²=1ですから、解の分子は、2となりますね。
by G (2019-08-25 00:42) 

nemurineko

コメント、ありがとうございます。

ご指摘の通り、分子は2になりますね。
by nemurineko (2019-08-25 02:45) 

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