第19回 陰関数の極値 [多変数関数の微分]
第19回 陰関数の極値
点(x₀,y₀)を含む領域Dでf(x,y)はC¹級であるとする。陰関数定理より、ならば、x₀の近傍でf(x,y)=0で定めるC¹級の陰関数y=φ(x)がただ一つ存在し、
である。
(1)式をさらにxで微分すると、
ここで、
したがって、f(x,y)がDでC²ならば、
である。
問題1 関係式x²–2xy–y²=1で定まる陰関数についてを求めよ。
【解】
だから
(解答終)
【別解】
x²−2xy−y²=1をxで微分すると、
これをxで微分すると、
となるので、これに
を代入すると、
(別解終)
次に、f(x,y)をC²級とし、f(x,y)=0で定まるC²級の関数y=φ(x)の極値について考えることにする。
y=φ(x)がx=x₀で極値を取るとすると、陰関数定理より
また、y=φ(x₀)で極値をとるためには、
したがって、(2)式より、x=x₀におけるd²y/dx²の値は
となる。
よって、
のときy=φ(x₀)は極小となり、
のときに極大となる。
以上のことをまとめると、次の定理になる。
定理19
f(x,y)をC²級の関数とし、y=φ(x)をf(x,y)=0の定める陰関数とする。
φがx=x₀で極値y₀=φ(x₀)を取るならば、
で、
のときy₀は極大値で、のときy₀は極小値である。
問題2 3x²+2xy+2y²=15の定める陰関数yの極値を求めよ。
とおくと、
3x²+2xy+2y²–15 =0に代入すると、
だから
(x,y)=(−1,3)のとき
(x,y)=(1,−3)のとき
よって、
yは、x=−1のとき極大値3、x=1のとき極小値3をとる。
(解答終)
この程度の問題ならば、3x²+2xy+2y²=15をxに関する2次方程式と考え、2次方程式の判別式を使って解くこともできる。
【別解】
xに関する2次方程式3x²+2yx+2y²–15=0は実根を持たなければならないので、その判別式をDとすると、
y=−3のとき
同様に、y=3のときx=−1。
したがって、yは、x=−1のとき極大値3、x=1のとき極小値1を取る。
(別解終)
宿題 3x²+2xy+2y²=15で定まる陰関数yの極値を、1変数関数の微分を用いて求めよ。
この問題を自分で解くと、紹介した定理の有り難みがよく分かる!!
Q1 ミスはありませんか?
by q (2019-03-22 12:14)
コメント、ありがとうございます。
間違いは、問題1のdy/dxの計算のところですか。
ここは、確かに、間違っていますね。
ご指摘、感謝です。
by nemurineko (2019-03-24 20:07)
問題1は、色々なところで、計算を間違えていますね(^^ゞ
by nemurineko (2019-03-24 22:12)
例題1で、関係式x²−2xy−y²=1ですから、解の分子は、2となりますね。
by G (2019-08-25 00:42)
コメント、ありがとうございます。
ご指摘の通り、分子は2になりますね。
by nemurineko (2019-08-25 02:45)