第５９回 空間曲線 [微分積分]
第５９回 空間曲線
空間の点Pの描く空間曲線は
で与えられるが、これは原点Oを始点とする点Pの位置ベクトル
が
と与えられることと同等である。
そして、接線ベクトルは
で与えられる。
さらに、この曲線Cが滑らかなとき、位置ベクトルr(a)からr(t)までの弧の長さs(t)は
となり、
よって、
とすれば、
このdsを線元素という。
sはtの関数であるが、逆にtもsの関数と考えられるので、曲線は、曲線の長さを用いて
r=r(s)
とあらわすことができる。
このとき、
は曲線に接しsの増加する方向に向かうベクトルである。
何故ならば、
で、ベクトルtは接線ベクトルdr/dtと平行だから。
また、sとs+Δsに対応する曲線上の点をP、Qとし、
とすれば
だから、tは単位接線ベクトルである。
Qにおける接線ベクトルとPにおける接線ベクトルのなす角度をΔθとすれば、
は、曲線の長さに対する接線の向きの変化率をあらわし、
を点Pにおける曲率という。この定義から明らかなように曲率は正または０であり、曲線上の各点でκ=0である時は直線である。
単位接線ベクトルt同士の内積t・t=1を微分すると、
となり、
はtに垂直である。
また、
と同じ向きの単位ベクトルをnとすれば、
このnをPにおける（単位）主法線ベクトルといい、
となる。
また、曲率は
曲率の逆数
を曲率半径といい、曲線上のPから引かれたベクトルρnの終点を曲率半径の中心という。
また、曲線上の点Pにおける接線ベクトルと主法線ベクトルの外積
b=t×n
を、点Pにおける曲線の（単位）従法線ベクトルという。
したがって、
t、n、bは互いに直交する単位ベクトルで、右手系をなす。
また、
が成立し、τを捩率（れいりつ）という。
問題１ 次の螺旋曲線の（単位）接線ベクトル、主法線ベクトル、従法線ベクトル、さらに曲率κと捩率τを求めよ。
【解】
したがって、
よって、
単位接線ベクトルtは
また、
ゆえに、曲率κは
よって、主法線ベクトルnは
従法線ベクトルbは
これから、
よって、捩率τは
（解答終）
xy平面の２次元で曲率について説明する。
次の図のように、点Pにおける曲線の接線とx軸のなす角度をθとする。このとき、単位接線ベクトルt=(cosθ,sinθ)となる。
単位弧長あたりの接線ベクトルの変化率は
よって、
問題２ 曲線y=f(x)の曲率を求めよ。
【解】
接線とx軸のなす角度をθとすると、
よって、
また、
よって
だから、
となる。
特にy'が１に比べて非常に小さい場合は、
（解答終）
2020-03-20 22:00
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コメント(5)
お元気ですか。ご挨拶を抜きにするご無礼をゆるされたし。
物理でおしえてください。
【Q:E＝mc² を説明した文章を 哲学カテとしてさらに解説してくれませんか】
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11925817.html
でーでーてーさんにも お願いします。謝謝。
by bragelone (2020-10-01 04:31)
ブログ主様書込みお許し下さい。
中国ロシア軍艦の日本侵犯が増す中、日本が侵攻されぬ為どうか皆様に知って頂きたい、中韓へ忠誠を表明した野党が阻止する改憲の必要性を、危機感を持ち知って頂きたく誠に恐縮ですが書込ませて頂きました。
報道するテレビが無い中、中国等の日本領海侵犯が激しさを増す現状は、かつて9条の様に非武装中立で平和的であったチベット等を現在も中国が武力で侵略虐殺を行う惨状を連想させ、
現在対馬を狙う韓国が日本の竹島を不法占拠した際、多くの船員が機関銃で襲撃され死傷し、北朝鮮には国民を拉致され、
尖閣を狙い中国が侵犯する現状でも、9条により日本は国を守る為の手出しが何一つ出来ません。
中朝ロの数千発の核ミサイル標準は常時日本に向けられており、尖閣、台湾周辺の動きも激化する中、9条を改正し自立した戦力を持たなければ、
有事に敵地攻撃力を持たぬ現状防衛力では日本人の命と領土は守れません。
中韓による侵略は、野党が法制化を目指す外国人参政権や(円安悪の民主党政権での円高誘導は日本経済を破綻危機に追い込みました)
又「朝鮮の役に立ちたい」と表明した維新による、国の権限を弱め、地方独立から国家分断を図る道州制等、多様性と言う名の文化破壊活動からも始まっており、
外国人参政権は米国始め世界的に認める国は少なく、これを与えた事でハワイは米国に、ウクライナクリミア半島もロシアに乗っ取られた過去があります。
又背乗りやスパイ等の犯罪発見の役割も果たしている戸籍廃止に繋がる夫婦別姓や、日本人のみを処罰対象とした、特定国への反論を封じるヘイトスピーチ条例等、
先進国で唯一スパイ防止法が無い日本で、
中韓に軸足を置き、友好を刷り込む野党やメディアが、制度の危険性を隠し国民を誘導する現状からも、既に浸透工作は最終段階である事、
日本でウクライナの悲劇を生まない為に投票の大切さと、一人でも多くの方に目覚めて頂きたいと切に思い貼らせて頂きます。
https://pachitou.com
長文、大変申し訳ありません。
by aki (2022-06-28 03:56)
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Source:
[url=https://www.metronews.ru/partners/novosti-partnerov-242/reviews/10-luchshih-kliningovyh-kompaniy-moskvy-reyting-2022-goda-1952283/]клининг москва рейтинг[/url]
by Brianvax (2022-12-24 22:40)
こんにちは
私はイスラム教徒です。 イスラム教について学ぶよう人々を招待します。
私のブログを見てくださいイスラム教についての写真やビデオで説明しています
https://jpis1.blogspot.com/2017/03/httpsislamhouse.html
幸せな人生をお祈りします……ありがとう
ムスリムは創造主である唯一の真の神へ従う者だ
我々は唯一の御方、創造主、真実の神（アッラー）のみを崇拝しなければならない。
者を援助、食物を与え、支えるように勧めている。
イスラームは、人種や肌の色や国籍に関わらず全ての人間は平等であると教えている。
イスラームとは唯一の真の神であり創造主へと従うという意味だ。
ムハンマドは40歳になった時に、天使ガブリエルを通じて啓示を受けた。
預言者ムハンマドは述べた。「もし、ある男がイエスを信じ、私（ムハンマド）を信じるなら、彼は二倍の報酬を得るだろう。」
イスラームは私達の両親と高齢者を敬い、気に掛けるように命じている。
彼は人種、肌の色または国籍に関わらず全ての人間は平等であると言う。
し主の許しを乞うこと。己を愛するように人を愛すこと。
全体を異教と偶像崇拝から、唯一の神（アッラー）へのタウヒードと従順へと変えた
イスラームは弱者、貧者、困窮者や障がい者を援助、食物を与え、支えるように訴えている。
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「45秒で説明される無神論」
https://youtu.be/6bmey_iCKvc
無神論の定義:
無神論とは: 創造主の存在を否定するという考えに基づく哲学的教義。
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【 人生の意味 】
https://youtu.be/bBCC1qaOkWw
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ある宗教の真偽を見極めたいと思う者は､その感情や感覚､習慣に照らし合わせて判断するのではなく､むしろ理性と知性に依拠して判断すべきである｡
諸預言者を遣わした時､神は彼らが神から遣わされた真の預言者であり､ 彼らに託された教えが真の宗教であることを証明するために奇跡や証拠を示し､彼らを支えたのである｡
このウェブサイトは、いくつかの人々が尋ねるいくつかの重要な質問に答える：
1- クルアーンは本当に神によって啓示された言葉なのか｡
2- ムハンマドは本当に神によって遣わされた預言者なのか｡
3- イスラームは本当に神からの教えなのか｡
((( イスラームの真実性の証しでは )))
https://www.islam-guide.com/jp/
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イスラームでは
説明
これらは包括的な言葉であり、イスラム教の原理、柱、長所、目的を示しています。
これは、イスラムを理解するための鍵です。
http://bit.ly/2rqslnj
by イスラム教徒 (2023-07-27 15:41)
以前、OKWAVEにてお世話になったnyanyako（竹中）と申します。
bragelone様のことで、この度ご質問させていただきました。
bragelone様は、教えてgooにおきましても、またご自身のブログ（caguirofie）におきましても、休止している状態にございます。
もし、bragelone様（日比野様）におかれまして、何かご存じのことがございましたら、以下のメアドに、ご連絡いただけないでしょうか。
お手数をおかけしてしまい、誠に申し訳ございませんが、何卒よろしくお願い申し上げます。
竹中
hiropyon2012アットマークgmail.com （アットマークを@に誤変換願います）
by 竹中 (2023-09-06 21:26)