第５０回 極方程式で表された曲線の面積

第５０回　極方程式で表された曲線の面積

 

 

定理　（極方程式で与えられた図形の囲む面積）

曲線Cが極座標を用いてr=f(θ)（α≦θ≦β）と表されていて、f(θ)は連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=α、θ=βで囲まれる部分の面積Sは

　　

である。

【証明】

閉区間[α,β]の分割

　　

をとり、曲線r=f(θ)と半直線に囲まれた微小部分を扇型で近似すると

　　

仮定より、f(θ)は[α,β]で連続なので、も[α,β]で連続。

したがって、｜Δ｜→0のとき、

　　

に収束する。

よって、

　　

（証明終）

 

 

 

問題１　次の方程式で表される曲線の囲む面積を求めよ。

　　

【解】

r≧0だから、a>0のとき−π/2≦θ≦π/2、a<0のときπ/2≦θ≦3π/2。

したがって、

a>0のとき、この曲線が囲む面積Sは

　　

a<0のとき

　　

よって、

 

 

（解答終）

 

この曲線は、点(a,0)を中心とする半径｜a｜>0の円だから面積S=πa²！！

また、この曲線は、x軸に関して対称なので、この曲線の第１象限における面積を２倍することによって面積を求めることもできる。

すなわち、a>0のとき、

　　

また、a<0のときの曲線は、y軸に関してa>0のときの曲線に対称だから、その面積は等しい。

問題２　カージオイドの面積を求めよ。ただし、a>0とする。

【解】

r≧0だから、0≦θ≦2π。

よって、

　　

 

 

（解答終）

 

カージオイドはx軸に関して対称なので、対称性に注目し、

　　

と計算してもよい。

 

 

問題３　a>0とするとき、次の曲線（４葉線）の囲む面積を求めよ。

　　

【解】

の両辺を２乗すると、

　　

曲線の対称性から、第１象限で囲まれた図形の面積を４倍すればよい。

したがって、求める面積Sは

　　

 

 

（解答終）

 

 

問題４　a>0とするとき、次の曲線（レムニスケート）の囲む面積を求めよ。

　　

【解】

を代入すると、x²+y²=r²だから、

　　

r²≧0より、cos2θ≧0。

よって、−π≦θ≦πとすると、。

図形の対称性から第１象限で囲まれた部分の面積を４倍すればよい）。

　

（解答終）

 

 

問題５　a>0とするとき、次の曲線（デカルトの葉線）の囲む面積を求めよ。

　　

【解】

を代入すると、

　　 

よって、求める面積Sは

　　

ここで、t=tanθとおくと、で、θ=0→t=0、θ=π/2→t→∞に対応するので、

　　

（解答終）

 

デカルトの葉線は直線y=xに対称なので、

　　

ここで、t=tanθとおくと、で、θ=0→t=0、θ=π/4→t=1に対応するので、

　　

としたほうがいいのだろう。

 

問題５の解答では、

「θ=0→t=0、θ=π/2→t→∞に対応する」にすこし”やましさ”がある。

正しくは、「θ=0→t=0、θ=π/2−0→t→∞に対応する」とすべきところだから。

 

y=xに関して対称なのは、x³+y³=3axyのxとyをyとxに入れ換えても同じ式になることからわかる。