第５８回 ベクトル関数の微分

第５８回　ベクトル関数の微分

 

 

実数全体の集合の部分集合Dで定義されているベクトル関数A(t)がt₀∈Dにおいて極限

　　

を有するとき、A(t)はt=t₀で微分可能であるといい、A'(t₀)をt=t₀におけるA(t)の微分係数という。

Δt=t−t₀≠0とおくと、t→t₀のときΔt→0だから、（１）式は次のように書き換えることができる。

　　

また、Dに属する任意の点でA(t)が微分可能であるとき、A(t)はDで微分可能であるという。

 

ベクトル関数A(t)がDの任意の点tで微分可能であるとき、

　　

をA(t)の導関数といい、記号

　　

などで表す。

また、

　　

であるとき、

　　

 

 

定理　A(t)が点t=t₀で微分可能ならば、A(t)は点t=t₀で連続である。

【略証】

（略証終）

 

問１　次のことを示せ。

【略証】

（略証終）

 

 

問２　実関数f(t)とベクトル関数A(t)はDで微分可能であるとするとき、次のことが成り立つことを示せ。

【解】

（解答終）

 

A(t)は微分可能だから連続で、

　　

であることに注意。

 

 

問３　問１、問２を用いて、

　　

のとき、

　

となることを示せ。

【解】

　　

（解答終）

 

基本ベクトルは大きさ、方向が変わらない定ベクトルなので、

　

であることを使っていることに留意。

 

ベクトル関数の内積（スカラー積）、外積（ベクトル積）に関しては、次の関係が成り立つ。

 

定理

【証明】

とする。

（１）　の両辺を微分すると、

　　

（２）

　　

だから、

　　

（証明終）

 

 

問４　次のことを示せ。

 

【解】

（１）

　　

 

（２）　｜A｜＝定数だから。

よって、

　　

したがって、ならばとは直交する。

 

（３）

　　

（解答終）

 

rを質点の位置ベクトル、mを質量とすると、問４の（３）より

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

Lは角運動量であり、r×Fはモーメントだから、「角運動量の単位時間の変化はモーメントに等しい」という物理の角運動量保存の法則を得ることができる。

 

 

問５　rをtのベクトル関数、r=｜r｜とするとき、次の関数を微分せよ。

（答）

ここで、

　　

 

 

問６　a、bを一定のベクトル、ωを定数とするとき、次のことを示せ。

ならば、

　　

【略解】

　　

また、

　　

（略解終）

 

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by イスラームでは (2021-05-26 17:27)