ベイズの定理と疾病検査の信頼性についてのよもやま話 [高校の統計]
ベイズの定理と疾病検査の信頼性についてのよもやま話
日本でも新型コロナウイルスが流行しているので、「疾病検査の信頼性」に関する問題を一つ。
問題
ある感染症に感染しているかどうか調べる検査法がある。この検査法では、感染者に対して９５％が陽性の結果を受け、また、、非感染者の５％に陽性の結果が出る。国民の人口の０．５％が感染症に感染しているとするとき、この検査によって陽性判定を受けたヒトが真の感染者である確率を求めよ。
ベイズの定理を用いて解くこともできるけれど、条件付き確率などの説明をしないといけないので、ベイズの定理を用いない、泥臭い方法でこの問題を解くことにする。
【解答例】
１０００人検査するとすると、１０００人のうちの０．５％、つまり、
１０００×０．００５＝５人
がこの感染症に罹っていて、残りの
１０００−５＝９９５人
が非感染者の人数。
感染者５人のうち、この検査で陽性判定の受ける人数は
５×０．９５＝４．７５人
非感染者９９５人のうち、この検査で陽性判定を受けるヒトの数は
９９５×０．０５＝４９．７５人
したがって、この検査で陽性の結果になるヒトの数は
４．７５＋４９．７５＝５４．５人
陽性判定を受けた５４．５人のうちで実際に感染症に罹っているヒトの数は４．７５人だから、答えは
４．７５÷５４．５≒０．０８７＝８．７％
（解答終）
【ベイズの定理を用いた解答】
感染者である事象をA、非感染者である事象をB、検査で陽性が出る事象をEとする。
問題の条件より、
よって、ベイズの定理より求めるべき確率は
（解答終）
この結果は衝撃的だろう。
なんたって、
検査で陽性判定を受けたヒトの中で本当に感染症に感染しているヒトの割合はたったの９％で、残りの９１％は感染していないのに陽性判定を受けた偽陽性のヒトなんだから。
このパラドクス的な結果が起きた理由は、全人口に占める感染者の割合、確率が０，５％と低いからなんですがね。
テレビのワイドショーのコメンテータが「国民の不安を払拭するために、希望するヒトは誰でも新型コロナウイルスの検査を受けれるようにするべきだ」と声高に主張しているけれど、そんなことをしたら、新型コロナウイルスに感染していないのに陽性判定を受ける偽陽性のヒトが山のように出て、結果、医療崩壊してしまうにゃ。
新型コロナウイルスのPCR検査の感度（新型コロナウイルスに感染しているヒトが検査を受けて陽性の結果が出る確率）は７０％程度って話があるようだにゃ。
チョット小耳に挟んだ話なのでこの話の真偽はわからないけれど、
この話が本当だとしたら、
希望するヒトは誰でもPCR検査を受けれるようにしたら、もっととんでもない結果が出るケロよ。
仮に、
この検査の特異度（感染していないヒトが検査で陰性になる確率）も同じように７０％――非感染者の３０％が検査によって陽性判定を受ける！！――とし、日本人の０．１％（日本人の１２万人以上）が新型コロナウイルスに感染しているとすると、この検査で陽性判定を受けたヒトの中に占める感染者の割合は
感度、特異度がともに９０％だとしても、
日本人の０．０１％である約１万２千人のヒトが新型コロナウイルスに感染しているとし、感度、特異度がともに９９％であったとしても、
となり、検査によって陽性判定を受けたヒトの中でウイルスに感染しているヒトの割合は１％に満たず、陽性判定を受ける約９９％が新型コロナウイルスに感染していない偽陽性のヒトってことになる。そして、この条件だと、日本人すべてを検査したら、感染していないのに陽性判定を受ける偽陽性のヒトが間違いなく１００万人を突破する！！のであった。
つ・ま・り、
この手の検査は、たとえその検査がどんなに優れたものであったとしても、感染が（強く）疑われるヒトを対象に行わないと、検査自体が無意味なものになってしまうってことを示している。
参考までに、感度、特異度が７０％（０．７）のとき、検査対象となる集団の感染率を横軸に、この検査で陽性判定を受けたヒトの中に占める感染者の割合を縦軸にとり、この関係を示すにゃ。
この図を見ると、検査対象となる集団の感染率が１０％（０．１）のとき、検査によって陽性判定を受けるヒトの中に占める感染者の割合は約２０％（０．２）、感染率が２０％（０．２）のとき３７％（０．３７）程度であることがわかる。
感度、特異度が９０％（０．９）のときは次のようになる。
調査対象の１０％（０．１）が感染しているときに、ようやく、陽性判定を受けたヒトの中に占める感染者の割合が５０％（０．５）に到達する。そして、クルーズ船ダイアモンド・プリンセス号のように感染率が２０％近くでも、陽性判定者に占める感染者の割合は７０％程度。裏を返せば、陽性判定を受けたヒトの中で感染していない偽陽性の人の割合が３０％（０．３）もあったてこと。
ひょっとしたら、ネムネコが小耳に挟んだ「新型コロナウイルス検査の精度は７０％」という話はこのことを言っているのかもしれない。
さらに、感度、特異度が９９％（０．９９）の場合も示すにゃ。
テレビなどのマスメディア、特にワイドショー受けしないからかもしれないけれど、感染率と偽陽性の人の関係について言及する（感染症の）専門家って、ほとんど、テレビのワイドショーなんかに登場しないよね。
この手の話は、医師国家試験の問題として出題されるらしいから、感染症の専門家ならば誰しも知っている基礎的な知識のはずなのに、マスコミに忖度し、この手の話をしないのだろうか。
YouTubeで、この問題について触れているお医者さんの動画があったので、紹介するにゃ。
高校の数学だと、
条件付き確率は
で定義し、したがって、
そして、
であるとき、事象AとEは独立と習ったかもしれない。
という見慣れない記号が出てきているけれど、これは、高校数学で習った条件付き確率
のことでにゃ。見慣れない記号に幻惑されてはいけない。
参議院選挙の投票率の予想式 [高校の統計]
参議院選挙の投票率の予想式
というn個のデータがあり、この重回帰式を
とする。
さらに、この（１）と
からの予想値と実際の
との差を
とし、
とする。
そして、最小２乗法を用いて、Rが最小になるように、重回帰式（１）の係数a、b、cを定めることにすると、
これから、a、b、cに関する次の連立方程式が得られる。
行列を用いると、次のようになる。
この連立方程式を解けば、重回帰式（１）の係数a、b、cを求めることできる。
（３）は、各式の両辺をnで割り
ここで、
こちらの方が、連立方程式の意味がわかりやすくていいのかもしれない。
「非常に関心がある」をx、「必ず行く＋期日前投票をした」をy、（参議院）選挙の投票率をzとし、NHKが公表しているデータを使い、連立方程式（３’）を求めると、
この連立方程式を解くと、
となり、
という参議院選挙の得票率の重回帰式が得られる。
NHK、朝日新聞などが発表している今回の参議院選挙の投票率の推定値４８．８％と過去４回との投票率と、（５）式を用いた予想値を比較すると、次のようになる。
今回の参議院選挙の実際の投票率と予想値は２．４ポイントほど異なっているが、比較的よく投票率を再現していることがわかる。
さらに、第２５回の投票率を加え、新たに計算すると、連立方程式（３’）は
となり、これを解くと
となり、次の重回帰式が得られる。
実際の投票率と（６）式を用いて予想した計算結果は次の通り。
（６）式は、誤差±０．９ポイントで参議院選挙の投票率を表すことができる。
今回提出した、参議院選挙の投票率の予想式（５）、（６）に、何か深遠な数学的な意味などがあるかといえば、おそらく、そんなものはない。
「非常に関心がある」をx、「必ず行く＋期日前投票をした」をy、（参議院）選挙の投票率をzとすると、
しかも、NHKの選挙直前の世論調査の結果を用いると、
何故かわからないけれど、（６）式で参議院選挙の投票率を±１．０ポイントの範囲で表すことができるという、ただ、それだけの話。
ネムネコが考えるに、衆議院選挙の投票率の予想に（６）は使えないと思う。この式はあくまでも参議院選挙の投票率限定のものだ。
ではあるが、ここで用いた重回帰分析の手法は、おそらく、衆議院選挙の得票率の予想にも使うことができて、NHKが行った単回帰分析によりは良好な結果が得られると思う。
ここで使用したNHKのデータは、NHKの次の記事のものを使用した。
投票率、ズバリ当てます！
https://is.gd/RgZqQJ
ネムネコは表計算ソフトを使えない！！ Help me!!! [高校の統計]
ネムネコは表計算ソフトを使えない！！
NHKの「投票率、ズバリ当てます！」という記事を読んでいて、単回帰分析じゃなく重回帰分析を使えばいいじゃないかと思い、数式を作ってみた。
というn個のデータがあり、この重回帰直線を
とするにゃ。
この回帰直線（１）とから推測される値と実際のとの差を
とし、
とする。
そして、
最小２乗法では、Rが最小になるように、重回帰直線（１）の係数a、b、cを定める。
だから、
これから、a、b、cに関する次の連立方程式が得られる。
行列を使うべきだと、ddt³さんに怒られるかもしれないので、行列で書くと
この連立方程式を解けば、２重回帰直線（１）の係数a、b、cを求めることできる。
（３）は、各式の両辺をnで割り
ここで、
こちらの方が、連立方程式の意味がわかりやすくて、いいのかもしれない。
それっぽい感じになっているので、計算は間違えていないと思うが、ここまではすぐに出来た。
C言語かFortranなどで、２重回帰直線（１）を求めるプログラムを作ってとこうかと一瞬考えたのだが、「なんか面倒くさい。それに、表計算ソフトに重回帰分析をのツールがあるはずだ」と考え、２重回帰直線（１）の係数を求めてみようとしたのだけれど、ddt³さんと違って表計算ソフトを使い慣れていないネムネコは、どうやったらいいのかわからず沈没。
というわけで、表計算ソフトを用いた統計計算に詳しい奴は、ネムネコの代わりに、NHKのデータを元に２重回帰直線を求め、今回の参議院選挙の得票率を予想するにゃ。
NHKのデータを元に、重回帰直線の方程式を求めると
ここで、xは「非常に関心がある」、yは「必ず行く＋期日前投票」、zは「投票率」。
したがって、
そして、この予想式によると、今回の参議院選挙の投票率は４６．４％だ。
ただ、この予想式の誤差は±１％くらいあるから、４５．４〜４７．４％くらいですかね〜。だから、今回の参院選の投票率は５０％を割り込むのではないか。
やってみたかっただにゃ [高校の統計]
やってみたかっただにゃ
問題 サイコロをn回振る間に、１の目が出る回数をrとするとき、
となる確率を、n=50の場合について求めよ。
【解
n=50、p=1/6、q=5/6とおくと、
nが５０と大きい（？）ので、これは正規分布に近似できて、正規分布表から、この確率は
である。
（解答終）
まぁ、こんなふうに解くことができる。
さてさて、二項分布(50,1/6)を正規分布
で近似していいものかどうかが気にかかって、コンピュータで乱数を発生させて、調べてみた。
サイコロを５０回投げて１の何回出るか調べるという試行を１００万回ほど繰り返して、確率分布、確率密度関数を求めてみた。
下の図がその結果で、赤い点と曲線がコンピュータを使ったシミュレーションの結果で、緑の曲線が正規分布。
近似できていると言えば近似できているし、できていないと言えば、できていない。なんとも微妙な結果だね。
乱数を飛ばすなんてまどろっこしいことせずとも、
を使えばいいじゃないか。
（表計算ソフトを使って計算した奴）
正論だけれど、乱数を使ってシミュレーションしたかったんだにゃ。だから、しょうがないにゃ。
確率・統計と極限の融合問題 [高校の統計]
確率・統計と極限の融合問題
問題１ 外観では区別できない２つの袋U₁、U₂があり、
U₁には４ｎ個の赤い玉とｎ個の白い玉
U₂には２ｎ個の赤い玉と３ｎ個の白い玉
がそれぞれ入っている。このどちらかが観測者に手渡され、袋U₁が手渡される確率は2/3、袋U₂が手渡される確率は1/3である。
観測者は手渡された袋から３個玉を取り出し、赤い玉の数が白い玉の数より多いときはU₁であり、そうでないときはU₂であると判断する。観測者が誤った判断を下す確率
を求めよ。
【解】
観測者が誤った判断を下すのは次の２つの場合である。
袋U₁が手渡され、赤い玉が１、白い玉が２個、または、白い玉が３個
袋U₂が手渡され、赤い玉が３個、または、赤い玉が２個、白い玉が１個
したがって、
よって、
（解答終）
問題２ さいころをn回投げ、出た目の最大数がxとなる確率を
で表す。を求め、つぎに
を求めよ。
【解】
出た目の最大数がxになる確率は、さいころをn回投げたとき、すべて１からxの目が出る確率から、すべて1からx−1が出た確率を引いたものになるので、
したがって、
（解答終）
問題３ 箱の中に１,２,・・・,9の数字を１つずつ書かれたカードが９枚入っている。これを無作為に１枚取り出し、その数字を調べてから元の箱に戻す。これを３回繰り返して、取り出したカードの最大数をXとする。kを１≦ｋ≦９である整数とするとき、次の問に答えよ。
（１） X≦kである確率を求めよ。
（２） X＝kである確率を求めよ。
（３） Xの期待値を求めよ。
【解】
（１） これはk以下の数が３回続けて取り出す場合なので、
（２）
（３）
（解答終）
類題 ２つの箱に１からnまでの通し番号を書いたn枚のカードが入っている。各箱から同時に１枚ずつカードを取り出し、番号を比較して、小さくない方をXとするとき、次の問に答えよ。
（１） X=kである確率をnとkで表わせ。（ｋは整数で１≦k≦n）
（２） Xの期待値をnの式で表わせ。
【答】
問題４ 次のようなゲームを考える。サイコロを投げて偶数の目が出れば続けて投げ、奇数の目が出ればそこでゲームを止める。k回続けて偶数の目が、（ｋ＋１）回目に奇数が出た場合にk点が与えられるものとする。
（１） 偶数の目が続くことがn回以下としたときの得点の期待値
を求めよ。
（２） 
を求めよ。
【解】
（１） 得点がｋ点であるのは、k回引き続き偶数が出て、k+1回目に奇数が出る場合なので、この確率
したがって、求めるべき期待値は
①に1/2を掛けて、①との差をとると、
（２） n≧２のとき
したがって、
よって、ハサミウチの定理より、
したがって、
（解答終）
比率の推定 確率・統計 [高校の統計]
比率の推定 確率・統計
母集団から標本をn個抽出し、賛成・反対や良品・不良品などの比率の推定について、工場製品に占める良品の比率を例に考える。
母集団から無作為に取り出した標本の数がnで良品x個、良品の比率をpとすると、n個の中に良品がx個含まれている確率は
であり、この確率分布は二項分布B(n,p)になる。
nが大きいとき、これは
の正規分布と考えてよい。
したがって、
の分布は正規分布N(0,1)だから、
信頼度９５％で、
この両辺をnで割ると、
同様に、信頼度９９％で
問題１ 全製品中から４００個を任意に抽出したところ、２８０個が良品であることがわかった。全製品に占める良品の割合を信頼度９５％で推定せよ。
【解答】
全製品の良品の割合をpとすると、各標本について良品の占める割合はpだから、n個の標本中x個が良品である確率は
となり、平均np、標準偏差
の２項分布になる。
n=400と大きいので、これは正規分布とみなすことができて、（１）より、信頼度９５％で
n=400、x=280だから、これを上式に代入すると
pは0.7に近いと考えられるので、p=0.7として右辺に代入すると、
よって、信頼度９５％で
（解答終）
もちろん、①式の右辺にp=0.7を代入せず、不等式①の両辺を２乗して、不等式
を解き、pの解を求めても好い。
すると、
くらいになる。
次に世論調査などで必要になるサンプル数の個数について考える。
標本の数をn、賛成者の数をx、母集団の賛成者の割合をpとする。
信頼度９５％で誤差0.03とすると、（１）より
となるように標本数nを定めればよい。
したがって、
この場合、pは0≦p≦1の値を取りうるので、
の最大値を求めると、
となるので、（３）の左辺にp=1/2を代入すると、
となる。
したがって、約１０００人調査すれば、信頼度９５％で誤差0.03、すなわち、誤差３％で賛成者の割合を求めることができる。
問題２ ある意見に対する賛成者の比率は３０％前後であると予想される。賛成者の真の比率を３％以下の誤差で推定するには、何人≧について調べればよいか。信頼度を９５％以上と信頼度９９％以上の場合について求めよ。
【解答】
回答者の数をn、その内の賛成者の数をxとする。
９５％のとき、
９９％のとき、
したがって、信頼度９５％のときは
となるようにnをとればよい。
p=0.3とすると
信頼度９９％のときは
p=0.3として代入すると
したがって、
信頼度９５％のときは約９００人
信頼度９９％のときは約１６００人
（解答終）
確率・統計の追加問題２ [高校の統計]
確率・統計の追加問題
問題１ つぼの中に４個の白球と３個の赤球が入っている。このつぼの中から無作為に１球ずつ取り出し、赤球が出たら止めるものとする。ただし、取り出した球はつぼに戻さない。このとき、次の問に答えよ。
（１） 取り出される白球の数xの確率分布を求めよ。
（２） xの平均（期待値）を求めよ。
（３） xの標準偏差を求めよ。
【解答】
（１） xの取りうる値は0、1、2、3、4のいずれかで、x=rとなるのは、r回続けて白球が出て、r+1回目に赤球が出る場合である。その確率を
とすると、
したがって、確率分布は
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
p |
3/7 |
2/7 |
6/35 |
3/35 |
1/35 |
（２） xの平均をmとすると
（３） xの標準偏差をσとすると、
（解答終）
問題２ つぼの中に４個の白球と３個の赤球が入っている。このつぼの中から同時に３個を取り出すとき、それに含まれる白球の個数をxとする。このとき、次の問に答えよ。
（１） xの確率分布を求めよ。
（２） xの平均mと標準偏差σを求めよ。
【解答】
（１） 白球がx=r個とり出される確率をで表すと
となるので、
したがって、確率分布は
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
p |
1/35 |
12/35 |
18/35 |
4/35 |
（２）
（解答終）
問題３ 表裏の出る確率が同様に確からしい硬貨を３枚同時に投げる試行を繰り返す。各回において表の出る回数をxとする。このとき、次の問に答えよ。
（１） xの確率分布を求めよ。
（２） xの平均と標準偏差を求めよ。
【解答】
（１） 表がx=r枚出る確率を
で表すと、独立試行の確率より
したがって、確率分布は次のようになる。
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
P |
1/8 |
3/8 |
3/8 |
1/8 |
（２） xの平均をm、標準偏差をσとすると、
（解答終）
１回の試行で事象Aの怒る確率がpのとき、n回の独立試行中Aがr回起こる確率は
n回の独立試行で、Aの起こる回数をxとすると、xは0,1,2,・・・,nというn+1個の値をとる確率変数で、その確率分布は次のようになる。
また、平均（期待値）m、標準偏差は
１枚の硬貨を３回投げる試行で表が出た回数をxとして考え、この公式を用いると、（２）の平均、標準偏差は次のように求めることができる。
確率・統計の問題と解答例 [高校の統計]
問題
箱の中には、1〜N（Nは２以上）までの相異なる数字が書かれた玉がN個入っている。その箱の中から１つ取り出した玉に書かれている数字をXとし、取り出した玉を戻さず、さらにもう１つ取り出した玉に書かれている数字をYとする。
このとき、次の問に答えよ。
（１） Xの期待値（平均値）はいくらか。
（２） X＋Yの期待値（平均値）はいくらか。
（３） １回目に取り出した玉を箱に戻したあとに、さらに、２回目の玉を取り出すように変更したとする。１回目に取り出した球に書かれている数をX、２回目に取り出した書かれている数をYとしたとき、X＋Yの期待値（平均値）はいくつになるか。
N=3の場合、
（１）
（２） １回目にX、２回目にYが出た事象を(X,Y)で表すと、同様に確からしい根源事象は、つぎの４つになる。
(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)
したがって、期待値は
（３） 同様に確からしい根源事象は、次の６つになる。
(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)
したがって、期待値は
Z=X+Yとおき、確率分布を作って解くならば、次のようになるだろう。
（２） Z=X+Yとすると、確率分布は
|
Z |
3 |
4 |
5 |
|
確率p(Z) |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
したがって、X+Yの期待値は
（３） Z=X+Yとすると、その確率分布は
|
Z |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
確率p(Z) |
1/9 |
2/9 |
3/9 |
2/9 |
1/9 |
したがって、X+Yの期待値は
どうやら取り出した球を戻そうが（復元抽出）、戻すまいが（非復元抽出）であろうが、取り出した２つの玉に書かれた数の和の期待値は同じになりそうだ。
N個の場合
したがって答は
追加問題１
箱に１、２、・・・、N（N≧２）の数字が書かれたカードがそれぞれ１、２、・・・N枚入っているとする。このとき、次の問に答えよ。
（１） 箱に入っているカードは合計何枚か。
（２） 箱から１枚取り出したカードに書かれている数字がk（1≦k≦N）である確率を求めよ。
（３） 箱から１枚取り出したカードに書かれている数字の期待値（平均値）を求めよ。
【解答例】
（１） 
（２） kが書かれているカードはk枚あるので、確率は
（３） 期待値は
（解答例終）
追加問題２
２つの箱には１からｎまでの通し番号を書いたカードが入っている。各箱から同時に１枚ずつカードを取り出し、番号を比較して小さくない方をXとするとき、次の問に答えよ。
（１） X=kである確率をnとkで表わせ。ただし、kは整数で1≦k≦nとする。
（２） Xの期待値をnの式で表わせ。
【解答例】
（１） 
だから、
（２）
（解答例終）
（１）は、X=kになるのは、
(k,1),(k,2),・・・,(k,k),(k−1,k),(k−2,k),・・・,(1,k)
の2k−1通りだから、
としてもいいのでしょう。
標本の推定と検定の補充問題 [高校の統計]
標本の推定と検定の補充問題
問題１ A君のいるクラスのものの英語と国語の成績を調べたところ、右表のとおりであった。この試験でA君の成績は英語８２点、国語９１点であった。クラスの中の成績の順位からいえば、A君は英語と国語のどちらが順位が上と考えられるか。
【解】
の大小で判断すれば良い。ここで、xは得点、mは平均点、σは標準偏差である。
英語の場合、
国語の場合、
したがって、国語の順位が上である。
（解答終）
正規分布を仮定すると、
したがって、A君の英語の順位は１００人中１３番目、国語の順位は５番目くらいと考えられる。
問題２ ある学年の生徒数は７００人で、先日行われた数学の学力テストの平均点は４６点、標準偏差は５点であった。次の問に答えよ。
（１） ４１点から５１点までのものは、最低何人いると考えられるか。
（２） ２６点から６６点までのものは、何人より多いと考えてよいか。
【解】
チェビショフの定理（不等式）より、
なる区間にいるものの数lは
（１） これはk=1の場合なので、
よって、０人以上
（２） これはk=3の場合なので、
よって、６５２人以上
（解答終）
（１）は、ほとんど意味のない情報（笑）。
なお、正規分布を仮定すれば、
（１）はz=1の場合なので、
から約４７７人。
（２）はz=4の場合なので、
よって、７００人。
６６点は偏差値９０，２６点は偏差値１０だから、７００人全員がこの範囲に収まってしまう。
ネムネコが考えるに、この数学のテストの大問が５題であったとすれば、大問２題は誰でも解けてしまう簡単な問題で、残りの３つの問題はあまりに難しくて、ほとんど全ての生徒は手も足も出せないダルマさん状態になってしまっていたと考えられ（笑）。
問題３ 事象Aが起こる確率が0.05以下のとき、Aが起こることは「めずらしい」ということにする。男子の出生率が0.5のとき、６人のうち５人以上の男子が生まれることは珍しいといえるか。
【解】
６人のうち５人以上の男子が生まれる確率は、
なので、「めずらしい」とは言えない。
（解答終）
類題 ある風邪薬の新薬のきく確率は0.8だといわれている。これを８人の患者に飲ませたとき７人以上の患者に聞くことは「めずらしい」といえるか。
【略解】
よって、「めずらしい」と言えない。
（略解終）
母平均の推定
１つの標本の分布から母平均の平均を推定するには、
n個の標本を任意抽出し、その平均
、標準偏差σ、母集団の平均をmとすれば、
（１） 
と推定する信頼度は９５％
（２） 
と推定する信頼度は９９％
問題４ ある高校３年生の男子２５０人の平均身長は165.4cm、標準偏差は5.6cmであった。この男子生徒の身長を９５％の信頼度で推定せよ。
【解】
よって、
よって、95%の信頼度で165.4±0.70cm。
問題５ １つの貨幣を１０回投げて表が出る実験を８回行った。その結果は次のとおりであった。
4, 5, 3, 5, 6, 4, 6, 5
（１） 表が出た回数の平均値と標準偏差を求めよ。
（２） （１）をもとに、信頼度９５％で表の出る真の確率を推定せよ。
【解】
（１） 表が出る平均回数をm、標準偏差をσとすると、
（２） 標本の表の出る平均確率は0.475、標本の数n=8、標準偏差σ=0.0968だから、信頼度９５％の信頼度では
よって、
（解答終）
問題５
（１） ある円板の直径を１０回測ったら、次の値（単位mm）を得た。真の直径を９５％の信頼度で推定せよ。
10.3, 10.1, 9.9, 10.2, 9.9, 10.2, 10.1, 9.9, 10.1, 10.2
（２） この円板の直径を９５％の信頼度で、しかも0.01mmの精度で求めるには、何回測定しなければならないか。
【解】
（１） 標本の平均を、真の直径をmとする。
標準偏差σは
したがって、
よって、
（２） 信頼度９５％なので
となるようにnを定めれば良い。
よって、
したがって、８３０回。
（解答終）
（１）の答は、10.1±0.1としたほうがいいのかもしれない。
という数字に意味があるかどうか微妙だから。
であるとすれば、
なので、標準偏差σ=0.14がいいのかもしれない。
だとすれば、（２）の答えは、
となり、７８４回となる。
どこで小数点何位で四捨五入をするかによって計算結果がこうも劇的に異なるのかと驚くネムネコであった。
問題６ 
の値が２以下ならば優位水準５％としての事象の成立は正しいとし、２より大きければその事象の成立は棄却される。
いま２５人１組に新しい教育方法で数学を教えたら、１年間の平均成績が８４点であった。いままでの教育方法では平均８２点で標準偏差は４である。新しい教育方法は効果があったといえるか。
【解】
「新しい教育方法は効果がない」と仮定する。
新しい教育方法での平均点
、m=82、σ=4とすると、
となり、この仮説は棄却される。
よって、新しい教育法は効果があった。
（解答終）
問題７ ある大学では１年生に対して毎年同じテストを行っている。昨年度の１年生の成績は平均点64.5、分散２０の正規分布に従っていた。今年度の１年生にも同じテストを行い、無作為に８人を抽出しところ点数は次のとおりであった。
66, 73, 55, 69, 70, 67, 62, 71
今年度の１年生の平均点は昨年度よりも高いか有意９５％で検定せよ。ただし、今年度の分散は昨年度と同一であるとする。
【解】
昨年と変わらないと仮定する。
なので、
よって、この仮説は棄却されない。
したがって、平均点は昨年度より高くないと考えられる。
（解答終）
問題８ ある工場の経験によると7mmボルトの規格の製品の寸法はほぼ正規分布をしており、標準偏差は0.20mmであるという。ある日の製品から１６個のボルトを無作為抽出したところ、その寸法の平均が7.09mmであった。この日の寸法の平均は規格から外れているか。優位水準0.05で検定せよ。また、この日の寸法の寸法の平均μを９５％信頼区間を求めよ。
【解】
この日の標本平均をとすると、
よって、この日の寸法の平均は規格から外れていない。
また、９５％の信頼区間は、
（解答終）
独立試行の確率の補充問題 [高校の統計]
独立試行の確率の補充問題
独立試行の確率
１回の施行で、事象Aの起こる確率をpとする。この施行をn回繰り返すとき、事象Aがk回起こる確率は
独立試行で最大確率の場合の回数
１回の施行で事象Aの起きる確率をpとするとき、n回の施行のうちで事象Aがr回起きる確率が最も大きいとすれば、次の不等式が成り立つ。
問題１ １つのさいころを５回投げるとき、
（１） ４の目が３回出る確率求めよ。
（２） ４の目が３回以上出る確率を求めよ。
【略解】
４の目がk回出る確率を
と表すことにする。
（解答終）
類題 １つのさいころを３回投げるとき、次の確率を求めよ。
（１） １の目がまったく出ない確率
（２） １の目が１回出る確率
（３） １の目が２回以上出る確率。
【略解】
１の目がk回出る確率をで表すことにする。
（略解終）
１の目が２回以上でる事象の余事象は、１の目がまったく出ない、または、１の目が１回出る事象なので、余事象の確率を使い次のように求めることもできる。
問題２ AとBが互いに１つのさいころを投げて、最初に２の目を出したものを勝ちとする。Aから始めるとき、
（１） Aが勝つ確率を求めよ。
（２） Bの勝つ確率はAと同じと言えるか。
【解答】
（１） nを正の整数とするとき、Aから交互にコインを振ってAが2n−1回目に勝つのは、2ｎ−2回目まで２以外の目が出て、2n−1回目に2のさいころの目が出るとき。
このときの確率は
よって、Aが勝つ確率は
（２） Bの勝つ確率は
なので、Aの勝つ確率と同じではない。
（解答終）
類題 袋の中から１から１０までの番号を書いた札が１つずつ入れてある。いまA、B２人がAからはじめて交互に１枚ずつ札を取り出し、先に１の番号の札を出したものを勝ちとする。取った札は必ず元に戻すことにすれば、A、Bが勝つ確率はいくつか。
【略解】
Aが勝つ確率は
Bが勝つ確率は
（略解終）
問題３ さいころを振って、偶数の目が出たらそのたびにもう１回振り、奇数の目が出たらそこで止めるものとし、k回でやめとなればk円もらえるものとする。最大回nまで振るものとし、その期待金額を
とするとき、
を求めよ。
【解】
k回でやめになる確率をとすると、これはk−1回連続で偶数が出て、k回目に奇数が出る事象の確率になるので、
よって、期待金額は
両辺を1/2倍すると
①と②の差をとると、
よって、
（解答終）
問題４ さいころを５０回投げるとき、５の目が何回出る確率が最も大きいか。
【解】
n=50、p=1/6、５の目が出る確率が最大となる回数をrとすると、（２）より
よって、８回
（解答終）
類題 硬貨を１００回投げるとき、表が何回出る確率が最も大きいか。
【解】
p=1/2、n=100、表の出る確率が最大である回数rとすると、
よって。５０回
（解答終）
問題５ さいころをn回振るとき、少なくとも１回６の目が出る確率が0.9より大きくなるか。ただし、log₁₀2=0.3010、log₁₀3=0.4771とする。
【解】
題意より、
両辺の常用対数をとると、
ここで、
よって、
したがって、
よって、n=13回。
（解答終）
