「３次間数と変曲点」の補足と座標変換について [高校の微分積分]
「３次関数と変曲点」という記事で、つぎのようなコメントをいただいたので、補足説明をすることにする。
もう一度コメントお許しを
私がはまったのは
y = f(x)
の (α, β) 平行移動後の方程式は
y - β = f(x - α)
はみんな知ってるんですが、この逆なんですよね。
要するに「平行移動したグラフを元に戻す」には
(x + α, y + β)
と、足さなきゃならんと。
だからクソ暗記で「引いたものを代入」なんてやらず
ちゃんと考えなきゃダメってことですね。
この動画の問３と似たような勘違い！？
何気に似ているから、よく、間違えるにゃ。
点Oを原点とするO−xy座標系があり、この平面上に点Pがあり、その座標を(x,y)とする。
また、この同一平面上に点O'があり、O-xy座標系における（α、β）とする。
さてさて、点Pをそのままにして、O−xy座標系を
平行移動させたものをO'−XY座標系と呼ぶことにし、新しいO'−XY座標系における点Pの成分〈X,Y〉とすると、
という、O−xy座標系からO'−XY座標系への座標変換による点Pの成分変換の関係が得られる。
（右図参照）
また、この（１）式から〈X,Y〉から(x,y)への
という点Pの成分変換の式を得ることができる。
そして、この（２）式から得られたx=X+α、y=Y+βを曲線y=f(x)に代入すると、
となり、これが曲線y=f(x)の新しいO'−XY座標系における曲線の方程式ということになる。
この場合、新たな座標系を設定しただけで、平面上の点は、一切、動かないので、くれぐれも注意するにゃ。
ベクトルを使って、x軸の正の向きの単位ベクトル、y軸の正の向きの単位ベクトルをそれぞれ
とすると、
である。
で、X軸、Y軸の正の向きの単位ベクトルを
とし、
このXとYをO'-XY座標系のX成分、Y成分とする。
X軸とx軸、Y軸とy軸は平行なので、
よって、
とか何とか書いたほうがいいのかもしれないけれど・・・。
ところで、O−xy座標系を原点Oを中心に反時計まわりにθ回転させた、回転座標系O−x'y'では、成分変換の式はどうなるケロか。
いま、高校では行列を習わないけれど、
一次変換の知識を元に
などとしたら間違いだにゃ。
だって、１次変換は、平面上の点すべてが原点Oを中心に半時計回りにθ回転するんだから。
座標変換とは、似て非なるものだにゃ。
「お前らにヤレ！」と言っても絶対にやらないから、ヒントを出してやるにゃ。
x’軸の正の方向の単位ベクトル
は
y'軸の正の方向の単位ベクトル
は
だケロ。（なぜ、①、②式のようになる？）
したがって、
①と②を③の右辺に代入すればx、yとx'、y'の関係式が得られ、これをx'、y'について解けばよい。
すると、たぶん
となるはず。
これを行列で表すと、
したがって、・・・・
２×２の行列の演算を知っている奴なら、この式を見ただけで答がわかる代物。
あるいは、①、②を連立させて、ついて解きそれを、③の中辺に入れての係数を比較する。
さあ、やってもらいましょうか。ここまで丁寧なヒントを出してやったのだから、ちゃんと最後までヤレ。
誰が読んでも納得してもらえるような、きちんとした答案の形にせよ。
なお、探せば、このブログのどこかにこの答が書いてあるので、答は教えないにゃ。って言っても、ほとんど、答を教えているようなものだけれど・・・。
だけど、
ddt³さんはとっても優しいので、そして、線形代数の記事を投稿してくださっているので、きっと、丁寧な解答を書いて送ってくれと思うにゃ。
ひょっとしたら、連立方程式を解くのに、クロネッカーのデルタを使った解法まで紹介してくれるかもしれないケロよ。
さらに、（２×２の行列の）直交行列の話しなんかもしてくれるかもしれない。
だ・か・ら、
みんな、期待して待つにゃ。
速度・変化率の問題１ [高校の微分積分]
速度・変化率の問題１
問題１ 球状のシャボン玉に空気を送り込んで、球状のまま膨らますものとする。
（１） 毎秒acm³（aは一定）の割合で空気を送り込むとき、体積がbcm³の状態からt秒後における半径rcmの増加率（tについての）をtの関数で表わせ。
（２） 表面積の増加率を一定とするとき、体積Vcm³の増加率は
に比例することを示せ。
【解答】
（１） t秒後の体積はb+atだから、
両辺をtで微分すると、
（２） 表面積をSとすると、
また、
したがって、表面積の増加率を一定とするとき、体積Vcm³の増加率はに比例する。
（解答終）
類題 半径ｒcmの球の体積が一様な速さacm³/秒で増加している。直径が１０cmになったときの表面積が増加する割合を求めよ。
【解答】
体積をVとすると
両辺をｔで微分すると、
表面積S=πr²をtで微分すると
よって、r=5のとき、
（解答終）
問題２ 地面に垂直な壁に立てかけてある長さ５ｍのはしごの下端が地面に沿って毎秒２ｍの速さで壁から遠ざかっている。下端が３ｍになるとき、上端の速度を求めよ。
【解答】
地面からはしごの上端の距離をyｍ、壁からはしごの下端の距離をxｍとすると、
両辺をtで微分すると、
はしごの下端が地面に沿って毎秒２ｍ遠ざかっているので、
x=３のとき、
以上の結果を①に代入すると、
よって、毎秒3/2ｍで下方に降下する。
（解答終）
問題３ 水面から３０ｍの高さの岸壁の頂から５８ｍの綱で船を５８ｍの綱で引き寄せる。毎秒４ｍの速さで綱をたぐると、２秒後の船の速さはいくらか。
【解答】
岸壁の頂きをA、その真下の水面をB、船の位置をPとし、
とすると、
綱を引く速さは
①をtで微分すると、
２秒後の綱の長さs=50なので、①より
よって、②と、x=2、s=50より
よって、船の速さは２ｍ/秒。
（解答終）
意外に厄介な微分方程式の問題 [高校の微分積分]
意外に厄介な微分方程式の問題
お正月に実家に帰省した際、高校時代に使っていた問題集の問題をいくつか眺め、簡単に解けそうだけれど、実際に解くと大変そうだな思う問題があったので、解いてみた。
問題１ 微分方程式
の解を求めよ。ただし、初期条件y(0)=1を満たすものとする。
【解】
は定数なので、
とおくと、微分方程式は
になり、変数分離法を用いて次のように解くことができる。
この結果を①に代入すると、
また、初期条件y(0)=1より
②に代入すると、
よって、
したがって、
（解答終）
決して難しい問題ではないけれど、計算がちょっと面倒くさいケロ。
別解として次のものを挙げておこう。
【別解】
の両辺をxで微分すると、
ここで、u=dy/dxとおくと、
この微分方程式の解は
したがって、
となる。
これを①式の左辺に代入すると、
となるので、①は
となる。
初期条件y(0)=1より、
連立方程式
を解くと、
したがって、
（別解終）
どちらが楽かは、正直、微妙ですが、変数分離法を使わないので、疚しさは多少軽減されるに違いない（笑）。
問題２ 微分方程式
の解で、そのグラフと２直線x=0、y=2の囲む図形の面積が１となるものを全て求めよ。
おそらく、この問題は次のように解くのであろう。
【解】
これをyについて解くと
になる。
C=0のとき、定数関数y=1となり不適。
C≠0のとき、y=2と曲線①との交点のx座標をxとすると、
C>0のとき、x=0、y=2と①が囲む面積は
だから、条件より
したがって、
C<0のときは、
となるので、
したがって、
（解答終）
定数関数y=0という自明の解（特異解）が存在するが、これは大昔に出題された大学入試問題だし、この解の吟味はしなくてもいいに違いない(^^ゞ
うるさいことを言い出したら、キリがないからね〜。
極限の図形への応用 [高校の微分積分]
極限の図形への応用
問題１ 半径rの円Oの周をn等分したときのしたときの１つの弦をABとするとき、△OABの面積を求め、これを利用して円の面積Sを求めよ。
【解】
だから、
よって、
とおくと、n→∞のとき、θ→0となるので、
（解答終）
このように、半径rの円に内接する正多角形の極限を用いて、円の面積πr²を求めるのだとすると、
高校以来おなじみの三角関数の極限の公式
の証明は、循環論法となり、証明にならない。
何故ならば、この公式の証明に円（弧）の面積を使っているから！！
問題２ 中心角がθである扇型OABの弧ABと２つの半径OA、OBに接する円をCとする。
とおくとき、
（１） f(θ)を求めよ。
（２） 
を求めよ。
【解】
（１） 直線OCと弧ABの交点をD、Cから半径OAに下ろした垂線の足をHとする。
OA=R、CH=rとすると、
rについて解くと、
したがって、
（２）
（解答終）
問題３ 三角形ABCにおいて、AB=a、AC=b、∠BAC=θ、∠BACの２等分線の三角形内にある部分ADの長さをlとする。
（１） △ABDの面積をa。lとθで表わせ。
（２） lをa、bとθで表わせ。
（３） a、bを一定に保ち、θを0に近づけるとき、
を求めよ。
【解】
（１） 
（２）
また、
△ABC=△ABD+△ADCだから、
（３）
（解答終）
（３）の別解として、次のものをあげておく。
問題４ 直角三角形ABCにおいて、∠A=π/2、AB=a（一定）とする。頂点AからBCに下ろした垂線の足をHとし、∠B=θとするとき、次の値を求めよ。
【解】
（１）
したがって、
（２） 
だから、
よって、
（解答終）
問題５ 半径rの円周上の定点Aから弦AP、および接線ATを引き、AP=TAになるようにに、直線TPとAをAを一端とする直径の延長をQとする。
点Pが円周上を限りになくAに近づくとき、線分AQの長さはどうなるか。ただし、ATはAを一端とする直径に関してAPと同じ側にあるものとする。
【解】
∠PATをθとすると、条件より、
また、∠Q=θ/2（注）であるから、
（解答終）
（注）
接弦定理から∠ ABP=∠TAP。
AからPTに下ろした垂線の足をHとすると、△THA∽△TAQ。
また、△ATPは条件よりAP＝TAの二等辺三角形だから、∠TAH＝θ/2となり、これから∠Q=θ/2である。
水の問題３ （微分編） [高校の微分積分]
水の問題３ （微分編）
問題１ 上面の半径が５ｃｍ、深さが１５ｃｍの円錐形の容器がある。これに毎秒８ccの割合で静かに水を注ぐとき、注ぎ始めてから３秒後の水面の広がる速さを求めよ。
【解】
ｔ秒後の深さをycm、水面の半径をxcmとすると、その時の水の体積Vcm³は
また、x:y=5:15なので、
よって、
一方、ｔ秒後の水の量は
よって、
ｔ秒後の水面の面積をSとすると、
よって、t=3秒後の水面の広がる速さは
（解答終）
類題 曲線y=x²のy軸を軸としてできる回転面を内壁とする容器を作り、回転の軸を鉛直に保ちながら、毎秒ｖcm³ずつ水を注水する。水を入れ始めてからt秒後の
（１） 水の深さｈ （２） 水面の面積S （３） 水深の増加率 （４）水面の面積の増加率
を求めよ。
【解】
（１） t秒後の水の体積をVとすると、
（解答終）
問題２ 底に小さな穴があいている容器がある。その容器にx（cm³）だけ水があるとき、水の深さが
であるという。
また、水の深さがh（ｃｍ）であるとき、穴から毎秒
だけ水が流出するという。水面が完全な水平面で、水はあふれることはないとし、次の問に答えよ。
（１） 深さがh（ｃｍ）であるときの水面の面積をｈで表わせ。
（２） 水を静かに毎秒a（ｃｍ³）だけ注ぎ入れるとすれば、深さがｈ（ｃｍ）であるときの水面の上昇する速さは毎秒いくらか。aとｈで表わせ。
【解】
（１） 深さhのときの面積をS(h)とすると、
問題の条件より
よって、
（２） 時刻tにおける水の増加量dx/dtは、問題の条件より
一方、
よって、
（解答終）
類題 水を入れると、水の深さxcm（ｘ≧０）のとき、水面の面積がx(20−x)cm²になるような容器がある。また、この容器に水を満たしたときの水の深さは１５ｃｍである。
このとき、次の問に答えよ。
（１） いま、この容器が、からのとき毎秒９ｃｍ³の割合で水を入れるとき９秒後水の深さは３ｃｍになることを示せ。
（２） （１）の場合、水の深さが３ｃｍになった瞬間における水面の上昇する速さを求めよ。
【解】
（１） 深さxcmのときの水の容積をVｃｍ³とすると、
毎秒９ｃｍ³の割合でこの容器に注水するので、９秒後の水の深さをｘｃｍとすると、
よって、x=３ｃｍである。
（２） ｔ秒後の水の深さをxcmとすると、
両辺をｔで微分すると、
これにx=3を代入すると、
（解答終）
（２）は、
としてもよいのでしょう。
全圧力などの問題 [高校の微分積分]
全圧力などの問題
全圧力とは、閉曲面Aに作用する圧力の総和のことで、力の単位を持つことに注意。
問題１ 水中では深さxmのところの１㎡あたりの水圧はxトンである。断面が半径aの半円形の水路の鉄板を鉄板でせき止めるとき、この鉄板にかかる全圧力を求めよ。
【解】
深さxmから(x+Δx)mの間の幅の鉄板の面積をΔSとすると、
であるから、この部分にかかる全圧力をΔPとすると
よって、全圧力Pは
ゆえに、
（解答終）
問題２ ダムの水の流出口として断面が放物線の形をした溝があって、いつもは水の流出を止めるために図のような放物線の形をした鉄板が水面と鉛直の位置に置かれている。水位が図のようになっている場合、この鉄板の受ける全圧力を求めよ。
【解】
1立方メートルの水の重さをwｋｇとすると、深さxmのところのにおける圧力はwkg重である。
次の図のように座標軸をとると、放物線の方程式は
yの増分Δxに対する全圧力Pの増分をΔPとすると、図の水色の部分の面積ΔSは、Δxが小さいとき、
と近似できるので、
よって、
そこで、
とすると、
また、このとにx=0にはt=１、x=2にはt=0が対応するので、
ゆえに、
（解答終）
問題３ 半径1の球体において中心からの距離がrのところの密度は
であるとする。この球体の質量を求めよ。
【解】
rの増分Δrに対する体積の増分をΔV、質量の増分をΔmとすると、
したがって、質量mは
（解答終）
物理的な定積分の問題（高校の数学） [高校の微分積分]
物理的な定積分の問題（高校の数学）
過去（大昔）の大学入試に出題された、物理的な定積分の問題をいくつか紹介し、解くことにする。
問題１ x軸上を動く点Pがある。その測度は時刻tの関数として6(t²−3t+2)と表され、t=0における点Pの位置はx=1である。t=0からt=3の間に点Pが動いた道のりを求めよ。
【解】
速度をvとすると、
したがって、
0≦t≦1のときv≧0
1<t<2のときv<0
2≦t≦3のときv≧0
よって、t=0からt=3の間の道のりsは
（解答終）
t=aからt=bの間の道のりsは
ここで、vは時刻tにおける速度なので注意が必要。
問題２ ２つの動点P、Qが定点Oから同時に出発して定直線上を同じ方向に動き出すものとする。それらのt秒後の速度がそれぞれ7t(4−t)、2t(3−t)(6−t)で与えられるとすれば、動き出したのちPとQがはじめて出会うのは何秒後か。
【解】
点P、Qのt秒後の位置をそれぞれx₁、x₂とすると、
点Pと点Qが出会うということはx₁=x₂ということ。
したがって、
t>0の最小の時間なので、4/3秒後。
（解答終）
問題３ x軸上を動く点Pの時刻tにおける位置はxで、速度は
で表される。Pがx=2からx=3まで動くのに要する時間を求めよ。
【解】
問題の条件より
x=2のときの時刻を0、x=3の時刻をtとすると、
よって、23/6。
（解答終）
次のように解いたほうがわかりやすいのかもしれない。
【別解】
（別解終）
このあたりは好みの問題で、自分にとってわかりやすい方を選択すれば良い。
問題４ 点(1,0)を出発してx軸上の正の方向に動く点Pがある。点Pの速さが原点からの距離に反比例するとき（ただし比例定数はkとする）、出発してからt秒後の点Pのx座標x(t)を求めよ。
【解】
問題の条件より
よって、
t=0のとき、x=1なのでC=1。
よって、
（解答終）
問題５ 半直線OX、点Oのまわりを毎秒1ラジアンの角速度で回転している。OX上を運動する点Pが、時刻tにおいて点Oから
cmの距離にあるという。時刻０秒から2π秒までの間に、点Pの動く道のりを求めよ。ただし、eは自然対数の底である。
【解】
時刻t=0におけるOXをx軸の正の部分にとり、点Pの座標を(x,y)とすれば、
よって、
したがって、道のりsは
（解答終）
類題 原点Oを始点とするベクトル
の終点Pの運動を考える。ただし、tは時刻を表す変数であり、eは自然対数の底である。t=0からt=2πまでPが動いた道のりを求めよ。
問題６ ベクトル
の終点Pの描く曲線とx軸とで囲まれる部分の面積と、t=0からt=2πまでPが動いた道のりを求めよ。ただし、a>0で、0≦x≦2πとする。
（答） 面積3a²π 道のり8a
二項定理の応用 等式の証明 [高校の微分積分]
二項定理の応用 等式の証明
二項定理
特に、
ここで、
問題１ 次のことを示せ。
【略解】
x=1とおくと、（２）より
（略解終）
（２）にx=−1を代入すると、
などの関係式を、二項定理から導くことができる。
問題２ 次のことを示せ。
問題３
をxで微分し
を導き、これを利用して、
を証明せよ。
【略解】
にx=1を代入すれば、
（略解終）
問題４
から微分法を用いて次の和を求めよ。
【略解】
の両辺にxをかけると、
両辺をxで微分すると、
両辺にxをかけると、
両辺をxで微分すると、
ここで、x=1を代入すると、
（証明終）
問題５
から微分法を用いて次の和を求めよ。
【解】
をxで微分すると、
両辺にx²をかけると、
両辺をxで微分すると、
x=1を代入すると、
よって、
（証明終）
問題６ 次のことが成り立つことを示せ。
考えるネムネコ（高校の微分編） [高校の微分積分]
考えるネムネコ（高校の微分編）
この連休中、実家に帰っていて、ネムネコが高校時代に使っていた数学の参考書を覗いていたら、次のような解答があった。
問題 x+y=a（a>0）のとき、√x+√yの最小値を求めよ。
【解答】
x+y=aよりy=a−x。
とおき、微分すると
よって、0<x<a/2のとき増加、a/2<x<aのとき減少で、x=a/2のとき極大（最大）。
で、
よって、x=0、y=aまたはx=a、y=0のときに最小で最小値は√a
（解答終）
といったようにこの問題を解くのだそうだ。分子の有理化をして解くあたり見事で、ここでの有理化は気づきにくいのではないか。
なお、問題にはないけれど、x=y=a/2のとき最大で最大値は
だケロ。
上のグラフを見れば、x=a/2に関してf(x)が対称であることもわかるだろう。
（対称であることを示せ！！）
この解答にケチをつけるつもりはないけれど、
u=√x、v=√yとおくと、
となり、u+v（u≧0、v≧0）の最小値を求める問題になる。
だから、この問題は、原点を中心とする半径√aの円u²+v²=aとu+v=kという直線のお絵かきすることで簡単に解けてしまう。
何でもかんでも微分すりゃ〜いいというもんでもないだろうに・・・。
なお、最大値は、シュワルツの不等式を使うと、
と求めることも可能。
もちろん、最大値は、原点と直線x+y=kの距離を用いて
と求めてもいいだろう。
円と直線が接する時に最大になるので、みんなが大好き判別式を使って解くこともできるだろう。
ということで、お前ら、次の問題を解くにゃ。
問題 √x+√y=1のとき、x+yの最小値を求めよ。 （答 1/2）
なお、この問題は大学入試の問題です。
解いた奴は、「オレはこんなふうに解いた」と、コメント欄にその解答を書いて送るにゃ。
もちろん、
これをx+yに代入し、
とし、微分を使って解いてもいいにゃ。
こう解く場合、微分を使わずに、
と行きたいところだが・・・。
中には、
とおき、ラグランジュの未定乗数法を使って解く物好き、猛者もいるかもしれない(^^)
お前らに問題 ９月１９日 （不定積分編） [高校の微分積分]
お前らに問題（不定積分編）
お前らに簡単な（？）不定積分の問題！！
問題 次の不定積分を求めよ。
この問題の（１）の不定積分で
というものを見て、ネムネコが頭の中で求めたものと違っていたので、「はぁ〜っ？」と、一瞬、思考が停止してしまったんだケロよ。
それで、お前らにもやってもらおうと思ってさっ。お前らにも悩んでもらおうじゃないか。
ただし、①と②は同じものだから、これで悩んではいけないケロよ。
ノーヒントでは辛いかもしれないので、
とおくと、
というヒントを出しておこう。
工夫すると、（１）の不定積分は次のように求めることもできるが・・・。
お前ら
の一般解を求めてみるといいにゃ。
そして、できた奴は、このコメント欄に答を書いて、ネムネコのところに送信するにゃ。
