さらに、位相の確認問題 [お前らに質問]
さらに、位相の確認問題。
をXの部分集合の集合（集合族）、すなわち、Xの冪集合
の部分集合とする。
が
を満たすとき、をX上の位相、Xとの組
を位相空間という。また、の要素をの開集合
という。
位相の定義を再掲したところで、次の問題を解いてもらおう。
問 X={1,2,3}とし、次の問に答えよ。
（１） 
とするとき、これはXの上の位相か。
（２） 
とするとき、これはXの上の位相か。
Xの上の位相でなければ、反例をあげよ。
なお、Xの冪（べき）集合とは、Xの部分集合の全てを要素（元）にもつ集合のことで、X={1,2,3}の場合、
である。
記号
は要素（元）を持たない集合、空集合を表す。
こんな問題はチョロいというヒトは、次の問題にチャレンジする。
問題 X={1,2,3}の上の位相を全て求めよ。
ネムネコにはその確信がある。
ちなみに、２９種類もあるそうだ。
位相の確認問題 [位相入門]
位相の確認問題
まずは、用語の復習。
をXの部分集合の集合、すなわち、Xの冪集合の部分集合とする。
を満たすとき、をXの上の位相、Xとの組を位相空間という。
位相空間に対して、
（１） の元を開集合という。
（２） Xの部分集合Fは、その補集合
が開集合であるとき、閉集合という。
（３） AをXの部分集合とする。Aに包まれる最大の開集合を
で表し、Aの内部、または、開核という。の元をAの内点という。
X={1,2,3}とすると、この冪（べき）集合は
である。
ここで、
とおくと、
である。
また、
さらに、I={1,2,3,4,5,6,7,8}とすると、任意のi,j∈Iに関して、
が成立する。
また、
とすれば、
が成立するので、
は位相空間になる。これをX={1,2,3}の離散位相という。
O₁=∅、O₂={1}、・・・、O₈=X={1,2,3}は、Xの冪集合の元なので、すべて開集合である。
また、たとえば、
となるので、{1}は閉集合である。同様に、O₁〜O₈の全ては開集合であると同時に閉集合である。
O₆={1,3}を包む最大の開集合はそれ自身O₆なので、
が成立するので、O₆={1,3}の内点は1、３である。
このことは、O₆は開集合だから開核演算子の公式より、
が成立するので、当たり前といえば当たり前の話。
問１ X={1,2,3}とし、
とする。このとき、次の問に答えよ。
（１） がX上の位相であることを確かめよ。
（２） {2,3}がの閉集合であることを示せ。
（３） {1,3}の開核
を求めよ。
（４） {1,3}の内点を求めよ。
【略解】
（１） 省略
（２） 
。よって、{2,3}は閉集合である。
（３） {1,3}に包まれる最大の開集合{1}。よって、
（４） （３）より{1,3}の内点は1である。
（略解終）
問２ Xを空でない集合とし、
とする。
（１） がX上の位相であることを確かめよ。
（２） の閉集合を全て求めよ。
（３） X={1,2,3}、
とする。A={1,2}のとき、Aの開核を求めよ。
【略解】
（１） 省略
（２） ∅、X
（３） A={1,2}に包まれる最大の開集合は∅。したがって、
よって、内点は存在しない。
（略解終）
お前らに問題 １０月３０日 [お前らに質問]
お前らに問題 １０月３０日
ものすごく簡単な問題だと思うのだけれど、お前らに問題。
問題
同一平面上に点Oを中心とする円Oと円Oの外に点Aがあるとする。
このとき、円周上の点Pと点Aの線分APの長さが最短になるのは、図のように点Oと点Aを結ぶ線分OA上に点Pがある場合であることを証明せよ。
Oの座標を(0,0)、円Oの半径をr>0、さらに、Aの座標を(a,b)、さらに円周上の点Pの座標を(x,y)とすると、x²＋y²−r²=0の制限下で
の最小値を求める問題になる。
そこで、
あるいは、
ただし、a²+b²>r²として、ラグランジュの未定乗数法を用いて、最小値を求めるもよし、
として、
から、線分APの最小値を求めるもよし、
どのような方法を用いようがお前らの自由。
とにかく、この問題を解くにゃ。
なのだけれど、この手の図形の論証問題は苦手というヒトが多いのも事実。下の動画のように、お手上げのヒトも多いのかもしれない（笑）。
そして、できた奴は、コメント欄に解答を書いて送信すること。
今日のアニソン、「アスタロッテのおもちゃ！」から『真夏のフォトグラフ』 [今日のアニソン]
なお、同アニメのOP曲はこちら↓
第７回 集合の内点、内部、外部、境界 [位相入門]
第７回 集合の内点、内部、外部、境界
を位相とし、AをXの部分集合とする。Aに包まれる開集合全体の和集合
をで表わせば、もに属するから、はAに包まれる最大の開集合である。をAの内部または開核といい、の点をAの内点という。
Xの各部分集合をその内部に対応させることによって、Xの冪集合
からへの１つの写像が定まる。この写像をの開核作用子という。
定理１ 
の開核作用子は次の性質をもつ。
【証明】
（１） 
よりXに包まれる最大の開集合
はX自身である。
（２） の定義より明らか。
（３） 
はそれぞれAとBに包まれる開集合だから
はA∩Bに包まれる開集合であり、一方、
はA∩Bに包まれる最大の開集合。よって、
また、はAに包まれる最大の開集合だから、
同様に
よって、
したがって、
（４） は開集合だからを包む最大の開集合は自分自身。よって、
（証明終）
問 X=｛1, 2, 3｝とし、この密着位相
について次の問に答えよ。
（１） {1｝と｛2, 3｝はXの開集合か。
（２） ｛1}と{2, 3｝の内点を求めよ。
【解】
（１） 
だから、｛1｝と｛2, 3｝はともにXの開集合ではない。
（２） ｛１｝に包まれる最大の開集合は空集合∅、｛2, 3｝に包まれる最大の開集合は∅。
よって、
したがって、内点は存在しない。
（解答終）
を位相空間とし、AをXの部分集合とする。 Aを包むような閉集合全体の共通部分を
または
で表す。
自身も閉集合であるから、はAを包む最小の閉集合である。をAの閉包といい、の点をAの触点という。Xの各部分集合にを対応させることによって、Aの冪集合からへの１つの写像が定まる。この写像をの閉包作用子という。
定理２ 位相空間の閉包作用子は、次の性質をもつ。
【証明】
（１） ∅は閉集合で、
は∅を包む最小の閉集合。
（２） 定義より明らか。
（３） 
はそれぞれA、Bを包む閉集合だから
はA∪Bを包む閉集合。一方、A∪Bを包む最小の閉集合は
だから、
はA∪Bを包む最小の閉集合であり、したがってAを包む閉集合。
また、はAを包む最小の閉集合だから、
同様に
よって、
ゆえに、
（４） は閉集合だから、を包む最小の閉集合は自身。したがって、
（証明終了）
を位相空間とし、AをXの部分集合とする。Aの補集合の内部
をAの外部と言い、
で表し、の点をAの外点という。
Aの外部は、Aと交わらない最大の開集合である。実際、はAの補集合
の内部だから開集合であり、
だから
。OをO∩A=∅である開集合とすると、
だから、
また、
Aの内点でも外点でもないXの点をAの境界点といい、Aの境界点全体の集合をAの境界といい、
や
で表す。
距離空間の場合と同様に、
が成り立つ。
Xの点xが集合
の触点であるとき、xをAの集積点という。Aの集積点全体の集合を導集合といい
で表す。また、
の点をAの孤立点という。
【おらがグルメ】新潟・みかづき「イタリアン」 見た目はスパゲティ 実は焼きそば 産経 [ひとこと言わねば]
【おらがグルメ】新潟・みかづき「イタリアン」 見た目はスパゲティ 実は焼きそば
— 産経ニュース (@Sankei_news) 2018年10月29日
新潟のソウルフードといえば、これ。見た目はトマトソースのスパゲティのようだが、食べてみると、まったくの別モノ。「洋風焼きうどん」か「和風パスタ」とでも言えばいいのか…。https://t.co/kpfAFJcPli pic.twitter.com/zFYnprBbdF
「（私は生まれてからこれまでに一度も食べたことはないし、これからも食べるつもりはありませんが、）新潟には（みかづきの）イタリアンという（奇妙な）食べ物がありますので、よろしかったら旅のみやげ話に食べてみてはいかがですか」と、新潟に住む奴が観光や仕事で新潟にやって来たヒトに薦めるジョークフードだにゃ。そして、「イタリアン、美味しかったです」と言うと、『こいつら、こんな豚の餌みたいなものを食べて美味しいと思うのか。やっぱ、こいつら、野蛮人だ』と優越感にひたるのであった。その程度の食べ物で新潟のソウル・フードではないにゃ。
とはいえ、「美味しくなかったです」と言われると、『ヤッパリそうだよな』と思いつつ、ちょっと傷つく食べ物ではある(^^ゞ
第６回 位相空間 [位相入門]
第６回 位相空間
Xを空でない集合とする。Xの部分集合の族（Xの冪集合の部分集合）が次の３つの条件を満たすとき、集合Xの位相であるという。
位相が与えられた集合Xを位相空間といい、で表す。の元を位相空間の開集合という。
（注意）
条件[O₁]、[O₂]、[O₃]はn次元ユークリッド空間の開集合系と距離空間の開集合系がみたしている条件である。
例１ は明らかに集合Xの位相の１つである。この位相を離散位相といい、位相空間
を離散空間という。
もXの位相の１つである。この位相を密着位相といい、
を密着空間という。
例２ n次元ユークリッド空間
の開集合系はの１つの位相である。この位相を通常の位相という。
例３ 
を距離空間とする。の開集合系はXの１つの位相である。この位相をdによって定まる距離位相という。集合X上の位相が１つの距離位相に一致するとき、この位相は距離化可能であるという。
例４ を位相空間とし、AをXの空でない集合とする。
Aの部分集合
を
と定めると、はAの位相になる。この位相をXによるAの相対位相といい、位相空間
を位相空間の部分空間という。
【証明】
[O₁] 
であることは明らか。
[O₂] 
とすると、
となる
が存在し、
[O₃] 
だから、
（証明終）
問題１ Xを集合とする。
とすると、はXの位相となることを示せ。（これを補有限位相という）
【証明】
[O₁] 
だから
は有限集合。よって、。また、
。
[O₂] 
とする。A₁、A₂が空集合の場合、
。
どちらも空集合でない場合、
はともに有限集合。よって、
も有限集合。したがって、
[O₃] 
とする。
すべてのλ∈Λに対して、
ならば
。
λ₀∈Λに対して
は有限集合。
であるから、
は有限集合。
（証明終）
問題２ 
を位相空間、Yを集合、f:X→Yを写像とするとするとき、
とおくと、これはYの上の位相となることを示せ。
【略証】
[O₁] 
より
[O₂] 
より、
ならば
[O₃] 
ならば
が和集合について閉じているので、
よって、
はY上の位相である。
（略証終）
Xを集合
をXの位相とする。
であるとき、位相
は位相
より弱い、または、粗い、あるいは、はより強い、または、細かいという。
したがって、密着位相は最も弱く、離散位相は最も強い位相である。
を位相空間とする。集合Xの部分集合は、その補集合
がに属すとき、位相空間の閉集合という。
定理 
は次をみたす。
問 X=｛1, 2, 3｝とするとき、次の問に答えよ。
（１） Xの冪集合を求めよ。
（２） 位相空間
の開集合{1}の補集合
を求め、それがの閉集合であると同時に閉集合であることを確かめよ。
（３） 位相空間の開集合はすべて同時にの閉集合であることを確かめよ。
創世記６章に出てくる「ネフィリム」ってなんだにゃ？ [ひとこと言わねば]
第６章
6:1 人が地のおもてにふえ始めて、娘たちが彼らに生れた時、 6:2 神の子たちは人の娘たちの美しいのを見て、自分の好む者を妻にめとった。 6:3 そこで主は言われた、「わたしの霊はながく人の中にとどまらない。彼は肉にすぎないのだ。しかし、彼の年は百二十年であろう」。 6:4 そのころ、またその後にも、地にネピリムがいた。これは神の子たちが人の娘たちのところにはいって、娘たちに産ませたものである。彼らは昔の勇士であり、有名な人々であった。
http://bible.salterrae.net/kougo/html/genesis.html
6
And it came to pass, when men began to multiply on the face of the earth, and daughters were born unto them,
2 That the sons of God saw the daughters of men that they were fair; and they took them wives of all which they chose.
3 And the Lord said, My spirit shall not always strive with man, for that he also is flesh: yet his days shall be an hundred and twenty years.
4 There were giants in the earth in those days; and also after that, when the sons of God came in unto the daughters of men, and they bare children to them, the same became mighty men which were of old, men of renown.
https://goo.gl/Aw5Xh2
ってことは、ノアの洪水が起きる前、この世界にはアニメ「進撃の巨人」に出てくるようにヒトを食ってしまう巨人が多数存在していたってことになるのか(・・?
ってことは、
ユダヤ・キリスト教の神さま（God）には、キリスト教で神のひとり子（Son of God）とされるイエス以外に息子が何人もいるケロか？
これが真実だとすれば、いわゆるキリスト教は根本から破綻してしまう(>_<)。
それとも、神のひとり子・イエスは、ナザレのイエスとしてこの世界に現れるはるか前の、ノアの洪水以前に地上に降下し、ヒトの美しい娘と交わり、ネフィリムと呼ばれる子どもたちを設けたということになるのか。それで、「このバカ息子、何てことをしやがる」と父なる神が激怒し、息子のこの不行跡を正すためにーー事実隠蔽か？ーー、地に増えたイエスの息子たちを洪水で一掃した(^^ゞ。
こんなことがベリアルに知られると、如何に父なる神とはいえ、バカ息子・イエスを庇いきれないので、何かとうるさいベリアルに知られる前に、洪水を引き起こすことで、バカ息子・イエスの不行跡の証拠をすべて隠滅してしまった。
旧約に出てくる神さまは律法の神であり怒り・復讐、妬み（最近、妬みではなく情熱と訳されるが）の神だから、愛の神・イエスとは違って、情け容赦なくすぐに厳罰を下すからね〜。ホント、イエスは親に似ぬ不出来な息子だケロよ。
このとき、未来永劫にペンペン草の一本も生えないほどにエルサレムを焼き尽くしていれば、現代のイスラエルとパレスチナ問題の半分（首都エルサレムの帰属問題）は解決していると思うにゃ。
イエスは「平和ではなく、剣をもたらすためにやって来た」とか、「わたしが来たのは、地上に火を投ずるためである。・・・。あなたがたは、わたしが地上に平和をもたらすために来たと思うか。そうではない。言っておくが、分裂だ」と言っているので、ホント、質（たち）が悪いにゃ。なんでこの神さまはこんなに災いの種を人の世に蒔くにゃ。
ーーthe sons of Godを受ける動詞は単数、複数形のどちらなのか？ 英語、日本語だとこの呼応関係がわからんのだよ。sonsと複数形になっているが、動詞が単数形のそれだとすれば、the sons of Godはイエスということになるんだよね〜。ーー
https://goo.gl/ae2xQD
リリス
・・・
『創世記』1章27節のくだり「神は御自分にかたどって人を創造された。神にかたどって創造された。男と女にかたどって創造された」（アダムの肋骨からイヴが誕生する前の節である）から、アダムにはイヴ以前に妻がいたという伝承が生まれた。この発想は、創世記2:21のイヴがアダムの肋骨もしくは脇腹から造られたという記述との矛盾を解消しようとするものであったと考えられる・・・。
https://goo.gl/vg5wYp
そして、ゴリアテといえば・・・。
多変数関数の極値の復習 [多変数関数の微分]
多変数関数の極値の復習
極大値、極小値の定義
関数f(x,y)に対して、あるδ>0があって
が成り立つときf(x,y)は点(a,b)で極大であるといい、f(a,b)を極大値という。
また、
が成り立つとき、f(x,y)は点(a,b)で極小といいf(a,b)を極小値という。
さらに、極大値と極小値をあわせて極値という。
例１ f(x,y)=x²+y²は、(0,0)で極小で、極小値は0。また、g(x,y)=−x²−y²は、(0,0)で極大、極大値は0。
定理１ f(x,y)は点(a,b)で極値をとり、(a,b)で偏微分可能であるとき、
が成り立つ。
例２ f(x,y)=x²+y²とすると
である。極値をとる点の座標を(a,b)とすると、
より(a,b)=(0,0)でなければならない。
f(x,y)=x²−y²とすると、
もし、f(x,y)=x²−y²が点(a,b)で極値をとるとすれば、
より、(a,b)=(0,0)となるが、f(x,y)=x²−y²は極値を持たない。
偏微分可能な関数f(x,y)が点(a,b)で極値がとるために、
は、十分な条件ではなく、必要な条件であることに注意。
停留点の定義
関数f(x,y)は偏微分可能であるとする。このとき、
を満たす点(a,b)を停留点という。
例３ 点(0,0)は、関数f(x,y)=x²+y²、g(x,y)=x²−y²の停留点である。
定理２ （極値をとるための十分条件）
f(x,y)は点(a,b)の近傍でC²級で、
であるとする。
また、
とする。
（ⅰ） 
ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小
（ⅱ） 
ならば、f(x,y)は点(a,b)で極大
（ⅲ） D<0ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小でも極大でもない
（ⅳ） D=0のとき、これだけではf(x,y)が点(a,b)で極値をとるかどうかわからない
例４ f(x,y)=x²+y²とすると、点(0,0)はf(x,y)の停留点である。
また、
だから、
よって、定理２より、f(x,y)=x²+y²は、点(0,0)で極小。
g(x,y)=x²−y²とすると、点(0,0)はg(x,y)の停留点。
また、
よって、
したがって、定理２より、g(x,y)=x²−y²は点(0,0)で極値をとらない。
ヘッセ行列とヘッシアン
f(x,y)をC²級の関数とする。このとき、
をヘッセ（Hesse）行列といい、ヘッセ行列の行列式
をヘッシアン（Hessian）という。
ヘッシアンを用いると、定理２は次のように書き換えることができる。
定理２’ （極値をとるための十分条件）
f(x,y)は点(a,b)の近傍でC²級で、
であるとする。
f(x,y)のヘッシアンを
とすると、
（ⅰ） 
ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小
（ⅱ） 
ならば、f(x,y)は点(a,b)で極大
（ⅲ） H(a,b)<0ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小でも極大でもない
（ⅳ） H(a,b)=0のとき、これだけではf(x,y)が点(a,b)で極値をとるかどうかわからない
問１ f(x,y)=−x²+xy−y²+xの極値を求めよ。
【解】
よって、停留点は
を解くことによって求められる。
この解は(x,y)=(2/3,1/3)なので、f(x,y)の停留点は(2/3,1/3)の１つ。
したがって、点(2/3,1/3)におけるヘッシアンは
だから、f(x,y)は点(2/3,1/3)で極大で、極大値は
（解答終）
（別解）
よって、f(x,y)は(2/3,1/3)で最大（極大）で、最大値（極大値）は1/3。
（別解終）
問２ f(x,y)=x³+y³−3xyの極値を求めよ。
【解】
まず、f(x,y)=x³+y³−3xyの停留点を求める。
①より、y=x²。これを②に代入すると、
したがって、f(x,y)の停留点は(0,0）、(1,1)である。
だから、
よって、f(x,y)は停留点(0,0)で極値をとらない。
したがって、
だから、f(x,y)は停留点(0,0)で極小で、f(1,1)=−1が極小値である。
（解答終）
《神》は補助線である by ブラゲロ・マムシ [ひとこと言わねば]
この話は、哲学・（カトリックの）神学の唯名論と概念実在論（普遍論）が深く関係しているんだケロ。
上の唯名論という記事の中にも唯物論という言葉が出てくるでしょう。このことからも、カトリック（神学）と唯物論は同じ天を倶（とも）に戴（いただ）けない不倶戴天の敵であることがわかるに違いない。
このため、唯名論の代表的論者であるオッカムは教皇からの召喚を受けると、「危ないケロ」と身の危険を感じたらしく、当時ローマ教会と敵対関係にあったルードヴィヒ４世のところに逃げ込んだのであった。中世ヨーロッパは魔女狩りの時代。召喚に応じてバチカンに行けば、異端審問→火炙りにされかねないからね〜。
https://goo.gl/aVybzS
日本に伝わった大乗仏教は概念の実在を否定する唯名論の系統に属する仏教。対して、タイやミャンマーなどのいわゆる小乗仏教ーーこの語は差別語だということで、上座部仏教と呼ぶーーは概念実在論の立場をとる。
洋の東西を問わず、唯名論と概念実在論との間で激しい論争が展開されたことは注目に値するのではないか。
１． レンガの家について《形式と内容》そしてまた《形相と質料》といった概念を捉えます。：
形式（ form ）：家の四角なかたちや骨格
内容（ content ）：家が出来ているその材料としてのレンガ
形相（ form; eidos ）：家という実在から離れて概念と
しての多面体・立方体
質料（ matter; hyle ）：概念としてのレンガ
２． 形式と内容とは つねにそのモノについて一体です。
３． その実際のあり方から離れて形式や内容をおのおの単独に取り出すなら それぞれ形相と質料になるという用語の規定です。
４． そこで これら概念としての（あるいは 経験事物から一たん離れた抽象的な観念としての）形相と質料とをさらに抽象化して捉えます。
５． そうすると 質料のない（質料とは無縁の）形相が想定されこれを 特に第一形相と言ったりします。そして 形相のない質料は 第一質料です。
６． 第一形相は 精神（世界精神）ないしイデア（ idea; eidos ）であり得ます。
第一質料は 物質（ matter; hyle ）と呼ばれます。
７． どちらも 仮想の概念ですから 精神（世界精神）と物質とは けっきょく同じものです。形相と質料とを超えた第一原因〔を想定した場合のその第一原因〕として 同じことです。
８． 言いかえると ここから 唯心論と唯物論とが派生しますが 両者は 定義からすると やはり同じことです。
９． 唯心論や唯物論のそれぞれみなもとは――どちらも同じ《みなもと》としての第一原因のことであるからには・そしてまたそれは要するに《絶対性》として想定するからには―― 同じことであり これが一般に《かみ》と呼ばれるものです。
１０． 共産主義は 弁証法的唯物論です。
唯心論において 世界精神から経験世界が――神の摂理としてのごとく――派生して来るといった見方と同じように 唯物論では 物質からあたかもその自己運動としてのごとく 世界が発生して来ていると――そのジグザグのかたちを跡に残すような社会的な力学がはたらく歴史過程を捉えて――《弁証法的》と言うようです。
