スペインの世界的なオペラ歌手 カバリエさん死去 NHK [今日のクラシック]
スペインの世界的なオペラ歌手 カバリエさん死去 #nhk_news https://t.co/jK0SgGJi1n
— NHKニュース (@nhk_news) 2018年10月6日
カバリエの死を悼み、
ビルギットおばあちゃん、78歳のときに、メトロポリタン歌劇場に登場したときの歌。
参考に、カバリエと同じくリリコ、または、リリコ・スピントの20世紀を代表するソプラノ歌手の一人であるテバルディの歌を紹介するにゃ。
10月なのに、暑いぞ、新潟!! [ひとこと言わねば]
新潟 三条は36度!各地で10月の記録更新する暑さに #nhk_news https://t.co/0Rd877EoTV
— NHKニュース (@nhk_news) 2018年10月6日
新潟県で35℃超 平成最後の猛暑日か https://t.co/5FIawFm092
? ウェザーニュース (@wni_jp) 2018年10月6日
韓国南部を進む台風25号に向かって暖かな空気が日本周辺へ引き込まれ、日本列島は季節外れの暑さとなっています。新潟県上越市のアメダス大潟では、12時30分過ぎに気温が35℃を超えて「猛暑日」となり、10月の日本記録を更新しました。 pic.twitter.com/AJVENUYCNF
これで、新潟県を襲うフェーン現象というものが如何に強烈かわかってもらえたかな。
会場入りました。
? ぴょん (@5mujya_pyon) 2018年10月6日
新潟は、怖い位暑いよー。#HeySayJUMPLIVETOUR2018 pic.twitter.com/gsee4Vri65
朱鷺メッセ着きましたーめちゃくちゃ暑い!新潟着いてからすっこぶる体調わるくて薬局行ってホテル行ってなんとか?光くんのお顔がいちばんのお薬だよ~すき~ pic.twitter.com/SYYjQYipFk
? りさ(・×・) (@R13a777) 2018年10月6日
今日のアニソン、「WORKING!!」から『COOLISH WALK』 [今日のアニソン]
位相 第0.5回 写像 [位相入門]
位相 第0.5回 写像
§1 写像
A、Bを空でない集合とする。Aのどの元に対してBの元を1つずつ対応させる規則が与えられたとき、その規則を集合Aから集合Bへの関数または写像という。fがAからBへの写像であることを、
であらわし、Aをfの始域または定義域、Bをfの終域または値域という。
写像f:A→Bによって、Aの元aにBの元bが対応するとき、bをfによる像といい、b=f(a)で表す。このとき、aをfによるbの原像という。
集合Aから集合Bへの2つの写像fとgは、Aのどのような元aについて常にf(a)=g(a)となるとき、写像として等しいといい、f=gまたはg=fで表す。そうでないとき、f≠gまたはg≠fで表す。
A、B、Cを3つの集合とし、f:A→B、g:B→Cを写像とする。Aの元aにg(f(a))、すなわちaのfによる像f(a)のさらにgによる像を対応させるという規則を考えると、集合Aから集合Cへの写像が得られる。これをfとgによる合成または合成写像といい、で表す。すなわち、
が成り立つ。
定理1(結合法則) 写像f:X→Y、g:Y→Z、h:Z→Wの合成写像について、
が成り立つ。
§2 全射・単射
写像f:A→Bについて、Bのどの元bに対してb=f(a)となるAの元aが存在するとき、fは全射であるといい、Aの元a₁、a₂について、a₁≠a₂ならば常にf(a₁)≠f(a₂)であるとき、fは単射という。写像fが全射かつ単射であるとき、fは全単射であるという。
集合Aが集合Bの部分集合であるとき、Aの各元aに対してとなる写像i:A→Bを包含写像という。とくにA=Bのとき、恒等写像といい、で表す。A≠Bならば、包含写像iと恒等写像は等しくない。なぜならば、対応のさせ方が同じであっても、終域が異なるからである。
写像f:A→Bが全単射であれば、Bのどの元bに対してもb=f(a)となるAの元aがただ1つ存在する。そこでb∈Bに対して、b=f(a)となる元a∈Aを対応させることによって、集合Bから集合Aへの写像が定まる。この写像をfの逆変換といい、
で表す。
定理2 f:A→B、g:B→Aを写像とする。ならばfは全射で、gは単射である。さらに、であればf、gともに全単射であり、gはfの(fはg)の逆写像である。
定理3 写像f:A→B、g:B→Cについて次のことが成り立つ。
(1) が単射であれば、fは単射である。
(2) が全射であれば、gは全射であるである。
§3 像と逆像
f:X→Yを写像、A⊂Xを部分集合とする。このときYの部分集合f(A)を
で定義し、fによるAの像という。
f:X→Yを写像、B⊂Yを部分集合とする。このときXの部分集合を
で定義し、fによるBの逆像という。
(注意)
と定義する。
定理4 f:X→Yを写像、A₁、A₂⊂Xを部分集合とするとき、次が成り立つ。
定理5 f:X→Yを写像、B₁、B₂⊂Yを部分集合とする。このとき、次が成り立つ。
定理6 f:X→Yを写像、A⊂X、B⊂Yを部分集合とする。このとき、次が成り立つ。
定理7 f:X→Yを写像、A₁、A₂⊂X、B₁、B₂⊂Yとする。このとき、次が成り立つ。