ネムネコの頭上を白鳥が飛ぶ

今、さっき、「くぇ、くぇ」と鳴く鳥の群れがネムネコのアタマの上を飛んでいったにゃ。
この声は、紛れもなく、ハクチョウだケロね。おそらく、鳥屋野潟に帰ってゆくハクチョウだにゃ。

有名な瓢湖に比べれば少ないけれど、新潟市の比較的中心部にある鳥屋野潟にはハクチョウやコハクチョウがいっぱい飛来するので、夜、「くぇ、くぇ」と鳴きながら（コ）ハクチョウが飛び回っていて、結構、空が賑やかなんだケロ。

そして、「もうそんな時期になったのか」と、驚くネムネコであった。
そこで、念の為、鳥屋野潟へのハクチョウの飛来状況をねっとで調べてみたら、次の記事を見つけた。

　来てますよ！ハクチョウ！！
　http://www.toyanogata-park.com/point/archives/11734

この記事↑は昨年の１０月１１日のものだけれど、やっぱり、来てんだね、ハクチョウ。

ということで、ハクチョウの飛来を記念して、「けものフレンズ」のハシビロコウさんのこの動画を♪

そう言えば、「聖闘士星矢」にハクチョウの聖闘士がいたね〜。

この動画↑を見つける過程で次の動画↓を見つけた。

「絶対零度の世界では、あらゆるエネルギーは失われ、すべてのものは静止し・・・」という妙なセリフが出てくるようだにゃ。

絶対零度に限りなく近い状態は作れるかもしれないけれど、たぶん、絶対零度の状態を作ることはできない（熱力学の第３法則・ネルンストの法則）と思うにゃ。
もし絶対零度の世界（？）を作り出すことができたとしても、量子力学の不確定性原理に基づく零点エネルギーがどうしても残るので、このエネルギーだけは奪うことはできないと思うケロ。そして、エネルギーと時間は不確定の関係にあるので・・・。

量子力学といえばシュレディンガーのネコということで、東方の「ネコ科フレンズ」の皆さんが登場するこの動画を埋め込むにゃ。

寒さでハシビロコウさんが倒れても、ネコ科フレンズは倒れないにゃ。

お前らに問題（ε‐δ論法を用いた関数の連続編）

お前ら、 ε‐δ論法を知っているよな。

ということで、ε‐δ論法を用いた関数の連続に関する確認問題。

 

その前に、念のために、ε‐δ論法による関数の連続の定義を挙げておく。

 

任意の正数ε>0に対して、

　　

となる正数δ>0が存在するとき、関数fは点aで連続であるという。

 

より厳密に書くと、

任意の正数εに対して、ある正数δが存在し、を満たす任意のxについて、

　　

が成り立つとき、関数fは点aで連続であるという。

 

Rを実数全体の集合とする。

 

例題１　関数f(x)=xが、x=aで連続であることを示せ。

【解】

任意の正数εに対し、

　　

とδを定めれば、

　　

が成立する。

よって、関数f(x)は点aで連続である。

（解答終）

 

例題２　関数f(x)=2xがa∈Rのすべての点aで連続であることを示せ。

【解】

任意の正数εに対して、

　　

とδを定めると、

　　

が成立する。

よって、関数f(x)=2xはa∈Rのすべての点aで連続である。

（解答終）

 

 

例題１、例題２のδの定め方はあくまで一例だケロ。

例題１，例題２ともに、

　　

とδを定めてもいいし、

　　

などなど、無数に存在するので、どれを選ぼうが選ぶヒトの自由だにゃ。

要は、任意のε>0に対して、（１）を満たすδ>0の存在さえ示せばいいんだケロ。

 

 

基本問題　次のことを示せ。

cを実定数とする。

　　

とすると、関数fはa∈Rのすべての点aで連続となること示せ。

 

 

応用問題　次のことを示せ。

f(x)=x² （x∈R）は、a∈Rのすべての点aで連続であることを示せ。

 

 

発展問題　次のことを示せ。

nを正の整数とする。は、a∈Rのすべての点aで連続であることを示せ。

 

 

基本問題は例題２でほとんど解いているようなものなので、基本問題くらいは解けよな。

基本問題なんてチョロいというヒトは応用問題にチャレンジ。

これすらチョロいというひとは、発展問題にチャレンジする。

 

念の為に言っておくが、使っていいのは、記事冒頭で紹介した関数の連続の定義と、あとは、実数の基本的な性質だけだからな。
例題１より、「g(x)=x、h(x)=xが連続（関数）なので、f(x)=g(x)h(x)=x²は連続である」といった回答は認めないので、そこんところ、よろしく。

ねこ騙し数学の訪問者はどの問題も物足りないと感じるに違いないと思うけれど、基本問題は意外に足元を掬われるかもよ。
そして、ネムネコは、ニヤリと、ひとりほくそ笑み、答案を減点するに違いない(^^)

位相 第５回 近傍と連続写像

位相　第５回　近傍と連続写像

 

§１　近傍と近傍系

 

を距離空間とする。x∈Xと、実数ε>0に対し、

　　

となるXの部分集合をxのε-近傍という。

x∈Xに対して、Xの部分集合Uが

　　

をみたすとき、Uをxの近傍という。また、xの近傍全体の集合を近傍系といい、などで表す。

とくに、Uが開集合のとき開近傍といい、Uが閉集合のとき閉近傍という。

 

例１　Rを実数全体の集合、a,x∈Rとし、

　　

とおく。

このとき、であり、任意の正の整数nに対して、とおけば、

　　

が成立するので、は点aの開近傍となる。

 

例２　a,x∈Rとし、

　　

とすると、はR上の閉集合で、

　　

となるので、は点aの閉近傍になる。

 

 

定理１　を距離位相、をx∈Xの近傍系とする。このとき、次が成り立つ。

（１）　ならばx∈Uである。

（２）　ならばである。

（３）　かつU⊂V⊂Xならばである。

（４）　任意のに対し、あるが存在し、V⊂Uかつ任意のy∈Uに対してとすることができる。

【証明】

（１）、（３）は明らか。

 

（２）　だから、正の実数ε₁、ε₂でとすることができる。とすれば、

　　

 

（４）　に対してとおけばであり、任意のに対してとなる。

（証明終）

 

 

§２　連続写像

 

１変数関数f;R→Rが点aで連続であるとは、次の関係が成り立つことである。

　　

 

このことは、ユークリッド空間Rに通常の距離を入れると、

　　

さらに、

　　

と書き換えることができる。

 

そして、このことは、

どのような正の実数εに対しても、点f(x)のε-近傍のfによる逆像が点aにおける近傍となるとき、写像fは点aで連続である

と言い換えることができる。

ある正の実数εに対してが点xの近傍であれば、ε'>εであるようなどんな実数ε'に対してもは点xの近傍となる。

なぜならば、

　　

だから、定理１の（３）によっても点xの近傍になるからである。