レムニスケート積分

レムニスケート積分

 

レムニスケートとは、極座標で

　　

と表される曲線のことである。

デカルト直交座標でこの曲線を表すと、

　　

である。

 

このレムニスケートの弧の長さを求めることにする。

 

線素をdsとすると、

　　

である。

r=f(θ)で表される極座標の場合、

　　

なので、

　　

となるので、

　　

となる。

 

r²=2a²cos2aだから、

　　

したがって、弧の長さは

　　

になる。

ここで、t=tanθとおき、

　　

よって、レムニスケートの一周の長さLをとすると、

　　

になる。

 

√2a=1のとき、

　　

になる。

つまり、

　　

と広義積分は、レムニスケートr²=cos2θの一周の長さ（全周の長さ？）の1/4ということになる。

 

さてさて、（１）式のθの範囲は、0≦θ≦π/4なので、

　　

とおくと、0≦φ≦π/2において

　　

となり、（１）は

　　

この右辺の積分はヤコビの楕円積分。

したがって、

　　

となり、レムニスケートr²=2a²cos2θの一周の長さ（全周の長さ？）は

　　

になるというわけ。

 

まぁ、これはハッキリ言って愚痴なんですが、

　　

をレムニスケートと呼ぶ場合もある。

無用な混乱の原因になるから、定義を統一してもらいたいものである。