円や球が”丸い”と誰が決めた！！ 位相の問題 １０月２５日 [位相入門]
円や球が”丸い”と誰が決めた！！ 位相の問題 １０月２５日
実数全体の集合をRとする。で、
空間上の２つの点x、yの座標をそれぞれ
とし、
とすると、d₀は距離になる。
ここで、
は、
の最大値を表す。
特に、R²空間の場合、
とすると、
例 x(1,3), y(2,5)とすると、
この場合、いわゆる２点間の距離d、つまり、ユークリッド（空間）の距離dは
だにゃ。
この例からわかるように、一般に、d₀(x,y)≠d(x,y)だケロ。
さらに言うと、
という関係が成立するので、
なんて関係が成立する。
問１ （３）が成り立つことを確認せよ。できたら、証明して欲しいところであるが・・・。
ところで、R²空間に（２）式で定義した距離d₀を入れた距離空間を
とする。
で、a∈R²、r>0
とし、これを、ここでは、ひとまず、点aを中心とし半径rのB₀開球とでも呼ぶことにしよう。
（４）という記号に幻惑されてはいけないケロよ。
B₀開球とは、aの座標を(a₁,a₂)、xの座標を(x₁,x₂)とするとき、
一方、R²に通常の距離d、すなわち、
を入れた距離空間を
とする。
a∈R²、r>0として、
を、点aを中心とし半径rのB開球と呼ぶことにしよう。
では、ここで問題。
問２ 次の問に答えよ。
（１） 距離空間〈R²,d₀〉の原点を中心とし半径1のB₀開球、すなわち、
をグラフ用紙に図示せよ。
（２） 距離空間〈R²,d〉の、原点を中心とし半径1のB開球とB₀開球の包含関係を示せ。
要するに、
B((0,0),1)⊂B₀((0,0),1)かB₀((0,0),1)⊂B((0,0),1)のドッチだって訊いているんだ。
こんなのはチョロいというヒトは、さらに、
と
の包含関係を調べるにゃ。
グラフ用紙をつけたので、ここに書き込んで、包含関係を調べるといいと思うケロ。
「円や球は丸い」とは、必ずしも、決まっていないケロよ。
円の定義は、
「同一平面上にある、定点Oとの距離が一定である点の集合」
なんだから。
距離の定義が違えば、円の形も変わるかもしれないにゃ。
偏見を捨てて、定義に沿って考えるんだケロよ。
