今日のアニソン、「艦これ」のキャラソンから『POP'n SWEET LOVE』 [今日のアニソン]
位相 第２回 開集合と閉集合 [位相入門]
位相 第２回 開集合と閉集合
の部分集合Aについて、
となるとき、Aをn次元ユークリッド空間の開集合といい、
となるとき、Aをn次元ユークリッド空間の閉集合という。
問１ 
とする。の１点集合{x}はn次元ユークリッド空間の閉集合であることを示せ。
【証明】
A={x}とする。
とすると、yはAの触点なので、任意の正の実数εに対して、
である。
y≠xとすると、d(x,y)>0。
そこで、ε=d(x,y)>0にとると、
よって、
となり矛盾する。
ゆえに、y=x∈Aである。
（証明終）
問２ 、r>0ならば、
はの開集合である。
【証明】
とすると
であるから、δ=r−d(x,y)>0。
ならばd(y,z)<δであるから、
三角不等式より
よって、
となり、
ゆえに、はの開集合である。
（証明終）
定理１ n次元ユークリッド空間において、開集合の補集合は閉集合であり、また、閉集合の補集合は開集合である。
【証明】
Aを開集合とすれば、
。
よって、
がなりたつので、
は閉集合。
Aを閉集合とすれば、
であり、このとき、
よって、は開集合。
（証明終）
一般的な証明はあらためてすることにする。
n次元ユークリッド空間の開集合全体の集まりを
で表す。
定理２ の開集合系
は次の条件を満たす。
【証明】
（１） のすべての点aについて
が成り立つので点aはは内点。よって、は開集合。
また、
だから空集合∅は開集合。
（２） 
とおく。
a∈Oとすると、
である（共通部分の定義）
よって、適当な
をとると
とすることができる。
とすると、各jに対して
となるから、
となり、aはOの内点となり、
。
したがって、
（３） 
とおく。a∈Oだから
となるλ∈Λが存在する（和集合の定義）。
だから、あるε>0が存在し
である。
したがって、
となり、aはOの内点。
すなわち、
。
よって、
（証明終）
問題（定理？） の閉集合全体の集合（の閉集合系）を
で表すとき、は次の条件を満たすことを示せ。
【証明】
（１） 定理２よりは開集合。また、
だから、定理１より空集合∅は閉集合。
定理２より、∅は開集合。また、
だから、 定理１よりは閉集合。
（２） 
は閉集合だから、
は開集合。
したがって、定理２より
は開集合。
ド・モルガンの法則より、
となり、これは閉集合。
よって、
（３） 
とおくと、定理２より
は開集合。
また、ド・モルガンの法則と定理１より
は閉集合。
よって、
（証明終）
