今日のアニソン、「CLANNAD」から『小さなてのひら』

今日のアニソンは、アニメ「CLANNAD（クラナド）」から『小さなてのひら』です。

ネムネコは、この曲が大好きなんだ。そして、この曲を聞くと、必ず、涙ぐんでしまう。

さらに、『だんご大家族』。

「なんで、涙ぐむかって？」
そりゃ〜、こうだからだよ。

母体の危険を顧みず赤ちゃんを産むと、お母さんはすぐに死んじゃうにゃ。そして、生まれた女の子もお母さんと同じく先天的な病を抱えており・・・。
この曲の歌詞に
　きみだけがきみだけが
　そばにいないよ
　昨日まですぐそばて僕をみてたよ
とあるのは、この親子の悲劇を先取りし、暗示しているのであった。

位相 第４回 距離空間の位相

位相　第４回　距離空間の位相

 

を距離空間とする。Xの点aに正の実数εに対して、Xの部分集合

 　　

を、点aのε-近傍といい、記号で表す。

AをXの部分集合とし、Xの点aについて

　　

である正の実数εが存在するとき、aをAの内点という。Aの内点全体の集合をAの内部、開核といい、記号やで表す。

Xの点aについて

　　

となる正の実数εが存在するとき、aをAの外点といい、Aの外点全体の集合をAの外部といい、記号で表す。明らかに、

　　

である。

さらに、どんな正の実数εに対して、

　　

が成り立つとき、点aをAの境界点といい、Aの境界点全体の集合をAの境界といい、記号やで表す。

明らかに、

　　

が成り立ち、ユークリッド空間同様に

　　

が成立する。

Xの点xについて、任意の正の実数εに対して

　　

が成り立つ点xをAの触点、Aの触点全体の集合をAの閉包といい、記号やで表す。ユークリッド空間の場合と同様に、

　　

が成り立つ。

Xの部分集合Aについて、となるときAをの開集合、のときの閉集合という。

 

ユークリッド空間の場合と同様、距離空間においても次の定理が成り立つ。

 

定理　を距離空間とする。Xの部分集合Aについて次のことが成り立つ。

　　

【証明】

とすると、ある正の実数εがあって、

　　

とし、δ=ε−d(x,y)とおくと、δ>0かつ、

　　

したがって、xはの内点、すなわち、の点である。

ゆえに、

　　

また、だから

よって、

　　

とすれば、任意のε>0に対して

　　

について、δ=ε−d(x,y)とおくと、

　　

一方、だから

　　

したがって、

　　

よって、

　　

一般に、

　　

だから、

　　

（証明終）

 

定理　距離空間において、開集合の補集合は閉集合であり、閉集合の補集合は開集合である。

　　

定理　距離空間の開集合全体の集合をの開集合系といいで表す。について次のことが成り立つ。

　　

 

 

定理　距離空間の開集合全体の集合をの開集合系といいで表す。について次のことが成り立つ。

　　

 

定理　距離空間とXの部分集合について、はAに包まれる最大の開集合であり、はAを包む最小の閉集合である。

【証明】

OをXの開集合とする。

O⊂Aとすると、

　　

よって、はAに包まれる最大の開集合である。

Fをである閉集合とすると、

　　

よって、はAを包む最小の閉集合である。

（証明終）

 

 

を距離空間とし、AをXの部分集合とする。Xの点xが集合A−{x}の触点であるとき、すなわち、任意の正の実数εに対し

　　

であるとき、xをAの集積点という。点xがAに属さないとき、xがAの触点であることと、xがAの集積点であることは同等である。Aの集積点全体の集合をAの導集合といい、など表す。また、の点をAの孤立点という。定義から明らかなように

　　

が成り立つ。