お前らに問題（位相編） １０月１０日

お前らに問題（位相編）　１０月１０日

 

 

問題１　実数全体の集合R上の関数fを次のように定める。

　　

このとき、集合が閉集合であることを示せ。

また、が開集であることを示せ。

 

　（１）　x∈Rとする。このとき、一点集合｛x｝はRの閉集合である

　（２）　A₁、A₂が閉集合のとき、A₁∪A₂は閉集合である

などは証明済みの事柄なので、これらは使っていいケロよ。

もちろん、「Aが閉集合 ⇔ Aの補集合が開集合」も使ってよい。

 

（１）、（２）などを使わずに、開集合、閉集合の定義から直接証明することもできる。

 

念の為に言っておくけれど、とは、方程式f(x)=0を満たす実数解のこと。

だから、２次方程式x²−3x+2=0をまず解いて、この実数解を集合の形、すなわち、｛α、β｝といった形に書くところからすべては始まるにゃ。

見慣れない記号、集合表記に騙されちゃ〜いけない。

 

 

こんな問題はチョロいというヒトは、次の問題に挑戦する。

 

問題２　fをR上の連続関数、とすると、Nは閉集合となることを示せ。また、任意の実数αに対し、は開集合になることを示せ。

 

（ヒント）　g(x)=f(x)−αとおけば、gは連続関数。

 

まっ、お前らに問題２が解けるなんてこれっぽっちも思っちゃ〜いないが。

悔しかったら、前半だけでもいいから、できた奴は、コメント欄に問題２の回答を書いて、ネムネコのところに送信するにゃ。

 

せめて、問題１くらいは、

（画像元：YouTubeの上の動画）

f(x)がx∈R上の連続関数であるとき、y>f(x)で定まる集合｛(x,y)∈R² | y>f(x) , x,y∈R｝は開集合

問題　実数全体の集合をR、f(x)をx∈Rで連続な関数とする。

このとき、は開集合であることを示せ。

【解】

a∈Rとし、b>f(a)とすると、

　　

仮定より、f(x)はRで連続なので、任意のε>0に対して、

　　

となるδ>0が存在する。

そこで、

　　

とし、

 　　

となるようにδを定め、

　　

とすると、

　　

になる（右図参照）。

よって、Aは開集合である。

（解答終）

 

記号

　　

は、すなわち、aとbのうちの大きくないほうの値の意味。

図を頼りにし過ぎというという批判が来るかもしれないけれど・・・。

 

ちなみに、とは、(a,b)を中心とする半径ε'の円の内部、すなわち、

のこと。

 

上の問題の【解】ようにε’を定めれば、

　　

になる。

 

また、の場合は、b<f(a)とし、

　　

とすればよく、このことからも開集合であることを示すことができる。

したがって、

　　

も開集合となり、この補集合、

　　

つまり、曲線y=f(x)上の点すべてを集めたものは閉集合であり、これはAとAの外部と境界となる。

また、Aの補集合

　　

Cの補集合

　　

は、AとCが開集合であることより、は閉集合となる。