お前らに問題(位相編) 10月10日 [位相入門]
お前らに問題(位相編) 10月10日
このとき、集合が閉集合であることを示せ。
また、が開集であることを示せ。
(1) x∈Rとする。このとき、一点集合{x}はRの閉集合である
(2) A₁、A₂が閉集合のとき、A₁∪A₂は閉集合である
などは証明済みの事柄なので、これらは使っていいケロよ。
もちろん、「Aが閉集合 ⇔ Aの補集合が開集合」も使ってよい。
(1)、(2)などを使わずに、開集合、閉集合の定義から直接証明することもできる。
念の為に言っておくけれど、とは、方程式f(x)=0を満たす実数解のこと。
だから、2次方程式x²−3x+2=0をまず解いて、この実数解を集合の形、すなわち、{α、β}といった形に書くところからすべては始まるにゃ。
見慣れない記号、集合表記に騙されちゃ〜いけない。
こんな問題はチョロいというヒトは、次の問題に挑戦する。
問題2 fをR上の連続関数、とすると、Nは閉集合となることを示せ。また、任意の実数αに対し、は開集合になることを示せ。
(ヒント) g(x)=f(x)−αとおけば、gは連続関数。
まっ、お前らに問題2が解けるなんてこれっぽっちも思っちゃ〜いないが。
悔しかったら、前半だけでもいいから、できた奴は、コメント欄に問題2の回答を書いて、ネムネコのところに送信するにゃ。
せめて、問題1くらいは、
(画像元:YouTubeの上の動画)
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