ネムネコ 中学の２次関数の総合問題を作るの解答例

ネムネコ　中学の２次関数の総合問題を作るの解答例

問題　２次関数y=x²と直線y=x+2がある。このとき、次の問いに答えよ。

（１）　２次関数y=x²と直線y=x+2の２つの交点の座標を求めよ。

（２）　２次関数y=x²と直線y=x+2の２つの交点のうちx座標の小さい交点を点A、大きい方を点Bとし、原点をOとする。△OABの面積を求めよ。

（３）　点Pは線分AB上にある。点Pのx座標をtとするとき、△OAPの面積Sを求めよ。また、横軸にt、縦軸にSをとり、そのグラフを書け。ただし、点PはA、Bと異なる点とする。

（４）　線分ABの流さを求めよ。

【解答例】

（１）　２次関数y=x²と直線y=x+2の交点のx座標をxとすると、

　　

したがって、交点の座標は(−1,1)、(2,4)。

（２）　y=x+2とy軸との交点をQとする。





　　

（３）　問題の条件より、−1<t<2。

点A、点Bからx軸に下ろした垂線の足をそれぞれA'、B'、点Pからx軸に下ろした垂線の足をP'とする。

AA'、PP'、そして、BB'は平行だから

　　

よって、

　　

△OAB=3、△OAP=Sだから

　　

穴あきの丸、◯は含まない。

（４）　三平方の定理より

　　

（解答終了）

【（３）の別解】

−1<t<0のとき

t=0のとき

0<t<2のとき

（別解終了）

ちなみに、△OABは∠OAB=∠Rの直角三角形。

何故ならば、直線AOの方程式はy=−xで直線の傾きは−1、直線y=x+2の直線の傾きは1で、２直線の傾きの積が(−1)×1=−1で、この２直線が直交するから。

また、

　　

と３平方の定理が成立することからもこのことが確かめられる。
そして、この結果を使うならば、△OABの面積は

　　

と求めることができる。

ネムネコ 中学の２次関数の総合問題を作る！！ 解いてミソ

ネムネコ　中学の２次関数の総合問題を作る

中学の２次関数の問題を作ってみたにゃ。

問題　２次関数y=x²と直線y=x+2がある。このとき、次の問いに答えよ。

（１）　２次関数y=x²と直線y=x+2の２つの交点の座標を求めよ。

（２）　２次関数y=x²と直線y=x+2の２つの交点のうちx座標の小さい交点を点A、大きい方を点Bとし、原点をOとする。△OABの面積を求めよ。

（３）　点Pは線分AB上にある。点Pのx座標をtとするとき、△OAPの面積Sを求めよ。また、横軸にt、縦軸にSをとり、そのグラフを書け。ただし、点PはA、Bと異なる点とする。

 

簡単な問題だろう。

解いてミソ。

オマケとして、もうひとつ、小問を追加。

（４）　線分ABの流さを求めよ。

計算が大変なものになるかどうかは、ひとえに、数学的センス、図形的・幾何学的センスに関わっていると思うにゃ。
いかに簡単に解くか、腕の見せ所だにゃ。

答えを寄せてくれたら、清書して、このブログに掲載するにゃ。
だから、頑張ってといて欲しいにゃ。

誰も寄せてくれないのはわかっているけれど(^^)

続きを読む

この問題の答え、わかるケロか？

ネットに、次のような問題が紹介されていた。

直径１０ｃｍの円の中に、同じ大きさの正方形が５つぴったりおさまっています。この正方形１つの面積は何ｃ㎡ですか。？https://t.co/UP1IMrSYcf

— トイダス (@toidasnet) 2016年7月16日

簡単な問題なのだけれど、この記事の解法とは違う解き方で解いてみようじゃないか。

次の図のように対角線をABを引く。


∠ACB=90°だから、ABはこの円の直径（円周角の定理）。
、小さな正方形の１辺をaとすると、AC=a、BC=3a。
△ABCは∠C=90°の直角三角形なので、三平方の定理が成り立つ。
　BC²+AC²=AB²
　(3a)²+a²=10²
　10a²=100
　∴ a²=10

小さな正方形の面積はa²だから、答えは10cm²である。

如何でしょうか？

番外編 比例式と加比の理

番外編　比例式と加比の理

§１　比例式

比例式とは、比あるいは連比に関する等式のことで、たとえば、

　　a:b=c:d

や

　　

で与えられる式のこと。

問題１　x:y=3:2のとき、

　　

の値を求めよ。

【解】

　　

よって、

　　

【別解】

　　

よって、

　　

問題２　

　　

のとき

　　

が成り立つことを証明せよ。

【解】

　　

よって、

　　

§２　加比の理

加比の理

　　のとき

　　

である。

【証明】

　　

（証明終わり）

意外に気づきにくい性質である。

これを図形的に解釈することにするにゃ。

A(a,b)、B(c,d)とするにゃ。で、原点OとA、Bを通る２本の直線を考える。b/a=d/cなので、直線の傾きは同じで、さらに、この２本の直線は原点を通るので、同一の直線である。

上図より、C(a+c,b+d)がこの直線にあることは明らかなので、

　　

になる。

ベクトルを使うともっとスッキリするんだろうけれど・・・。

問題３

　　

のとき、この分数式の値を求めよ。

 

【呟き】

a=b=c=1のとき、この分数式の値が２になることはすぐに分かるにゃ。そして、問題は、「この値が２だけか」だにゃ。

【解】

　　

とする。

　　

上の３式の右辺と左辺を足し合わせる。

　　

a+b+c=0のとき

　　

ここで止めていいかだが・・・。

k=2のとき

　　

①−②

　　

これを③に代入すると

　　

a=b=cのとき、確かに式の値は２になるにゃ。ただし、a、b、cがともに０である場合は除く。

第？回 問題演習

第？回　問題演習

第０回の内容に関する問題演習をすることにするにゃ。

問題１　次の集合はどの演算について閉じているか。

（１）　N=｛自然数｝　　（２）　P=｛３で割って１余る整数｝

（３）　X=｛係数が整数である２次以下の整式｝

【解】

（１）　n、mを自然数とすると、n+mは自然数になるので、つまり、n+m∈Nだから、加法・足し算については閉じている。

引き算・減法については、n=1、m=2とすると、1−2=−1となり、これは自然数ではないので、閉じていない。

乗法・掛け算については、n×m∈Nだから、閉じている。

除法・割り算については、n=1、m=2とすると、n÷m=1/2=0.5になるので、閉じていない。

よって、閉じているのは、加法と乗法。

（２）　３で割って１余る整数は、ある整数kがあって、3k+1とあらわすことができる。

ということで、

　　加法　(3n+1)+(3m+1)= 3(n+m)+2　・・・　余りは２

　　乗法　(3n+1)×(3m+1)= 9nm+3(n+m)+1　・・・　余りは１

　　減法　(3n+1)−(3m+1)=3(n−m)　・・・　余りは０

　　除法　4÷1=4　・・・　余りは０

となり、乗法以外成り立たないことが分かる。

（３）　加法、減法については閉じている。

　　

a₀、a₁、a₂とb₀、b₁、b₂がが整数ならば、上の式の係数はすべて整数になるからだにゃ。

乗法、除法については、x×x²=x³、
x÷x²=1/xなどが反例として挙げられ、乗法、除法については閉じていない。

問題２　実数全体の集合において、演算*を次のように定める。この演算は交換法則が成り立つか。また、結合法則は成り立つか。

　　

【解】

交換法則

　　

結合法則

　　

よって、結合法則は、一般に成立しない。

問題３　次の【Ⅰ】、【Ⅱ】が成り立つことを証明せよ。

　　

これを用い次の２重根号をはずせ。

　　

【解】

証明には、因数分解の次の公式を使うにゃ。

　　

p=√a、q=√qとおくと、上の式は

　　

よって、

　　

ということで、

a>0、b>0のとき

　　

a>b>0のとき、

　　

（１）　a+b=7、ab=10になるaとbを見つけるにゃ。そうすると、(a,b)=(2,5)または(a,b)=(5,2)になる。

どっち使ってもいいけれど、(a,b)=(2,5)を使うと、

　　

となるにゃ。

（２）　a+b=15、ab= 50、そして、a>b>0になるaとbを見つけるにゃ。そうすると、a=10、b=5。

だから、

　　

となる。

（３）　これは

　　

となるので、・・・。

あとは、自分でやるべきだにゃ。

問題４　有理数a、bを用いて、a+b√2と書ける数全体の集合をAとする。次の数がAに属するかどうか判定せよ。

　　

【解】

（１）　これは、a=−2/3、b=0だから、Aに属する。

（２）　これは、

　　

となり、Aに属するにゃ。

（３）　これは、難問かもしれない(^^)

√3がAに属するならば、√3=a+b√2となる有理数a、bが存在する。

　　

⑨の左辺は有理数だから、⑨が成立するためにはa=0でなければならない。

　――a≠0だと、左辺は有理数、右辺は無理数になる！！――

よって、

　　

となり、bは無理数になる。

bが有理数という仮定と矛盾するので、√3=a+b√2とあらわせる有理数は存在しない。

よって、√3はAに属さない。

背理法ってやつだにゃ。

√3や√6が無理数であることを使って駄目ということになると、この証明までしなければならなくなる。どこまで既知として使っていいのかわからないにゃ。

（４）　これは

　　

となるので、Aに属する。

「⑨が成立するために、a=0でなければならない」としたけれど、これは証明すべきことなのかもしれない。

ということで、

問題　p、qが有理数で、p+q√3=0であるならば、p=q=0であることを証明せよ。ただし、√3が無理数であることを用いてよい。

【解】

q≠0と仮定すると、

　　
左辺は無理数、右辺の有理数になってしまうので、q=0。

q=0をp+q√3=0に代入すると、p=0。

よって、p=q=0である。

第０回 数と式

第０回　数と式

実数の性質として次のようなものがあるにゃ。これくらいは知っていないと困るにゃ。

１　演算の基本法則

　　交換法則　a+b=b+a, ab=ba

　　結合法則　(a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc)

　　分配法則　a(b+c)=ab+ac

２　絶対値

　　

３　平方根の２乗

　　

４　平方根の計算

a>0、b>0のとき

　　

上であげたものの中で要注意なのは３の「平方根の２乗」だケロ。

　　

注意しないと、なんて間違いをするケロ。

何故、これが間違っているかというと、a=−1のとき

　　

となり、

　　

でなくなるにゃ。

⑨が成り立つのは、a≧0の時だにゃ。

問題１　次の関数の値の範囲（値域）を求めよ。

　　

【解（？）】

「こんな問題、相加平均≧相乗平均を使えば、ちょろいケロ！！」と考え、

　　

よって、x=±1のとき、最小で最小値は2。

だから、y≧2!!

お陀仏だにゃ。どこが間違っているか、分かるケロか？

この関数のグラフを書くと次のようになり、最小値は存在しないにゃ。

相加平均≧相乗平均の公式は

　　

だにゃ。

aやbが負数のとき、この公式は成り立たない。

だから、相加平均≧相乗平均を使うのであれば、

　　

よって、

　　

としなければいけない。

そして、等号が成立するとき、

　　

になるので、

　　

となり、

　　

x=−1のときy=−2、x=1のときy=2となり、・・・
結構、面倒なんだケロ。
前回の問題でx>0という制限が入っていたのは、このため。

で、

　　

とすると、

　　

となり、この関数が奇関数、つまり、原点に関して対称であることが分かるにゃ。

x>0のときは、

　　

は成立するにゃ。

そして、この関数が奇関数、つまり、原点に関して対称であることを使うと、x<0のとき、y≦−2となることが分かる。

問題２　次の式を満足するxの存在する範囲を数直線上に図示せよ。

　　

【解】

（１）　x−a≧0のとき、

　　｜x−a｜=x−a<2

　　x<a+2

x−a<0のとき
　　｜x−a｜=−(x−a)=a−x<2

　　x>a−2

よって、a−2<x<a+2

これを図示すると

白丸のところは含まないケロよ。

（２）の答えは、x≦a−2、または、x≧a+2。

この図くらいは自分で書くべきだケロ。

 

ずっと前に「｜x−a｜は数直線上の点xと点aの２点間の距離だ」という話をしたにゃ。このことを知っていれば、この問題は簡単に解けるはずだにゃ。

まっ、そういうことで。

第１８回 分数関数

第１８回　分数関数

分数関数の一般形は

　　

だケロ。

なのだけれど、①のままでは分かりづらいので、

　　

と変形するにゃ。

②式は

　　

になるので、

　　

とすると、②は、中学校で習う反比例の関数をx方向にp、y方向にq平行移動したものであることが分かるにゃ。③は

　　

になっているからだにゃ。

ちなみに、②の漸近線はy=qとx=q。

グラフは次のようになる。

こういうのは、抽象的な話をするよりも、具体的な関数を例に取ったほうがわかりやすいにゃ。
というこで、早速、問題を解いてみるケロ。

問題１　次の関数のグラフをかけ。

　　

【解】

（１）　問題の関数を②の形に変形するにゃ。

　　

よって、この関数は

　　

をx方向に3、y方向に2平行移動したもの。

グラフは

（２）　x+2=0でないから、(x+2)(y+1)=1の両辺をx+2で割るケロ。

　　

といことで、このグラフは、y=1/xをx軸方向に−2、y軸方向に−1、つ・ま・り、y=1/xを左に2、下に1だけ平行移動したもの。

だから、グラフは次のようになる。

では、次の問題。

問題２　関数

　　

について、

（１）　x>0のとき、関数①の最小値を求めよ。

（２）　①、②のグラフをかけ。

（３）　①からx²−yx+1=0・・・①’が得られるが、①’が実数の解をもつ必要十分条件を求めよ。

【解】

（１）　相加平均≧相乗平均より、x>0のとき、

　　

よって、x=1のとき最小（注）で、最小値は２だケロ。

（２）

このグラフから明らかなように、漸近線はx=0とy=xだにゃ。

（３）　実数解をもつというのだから、判別式≧０だケロ。ということで、

　　

まっ、そういうことだにゃ。

（注）

　　

だけど、x>0という条件があるので、x=1になる。

（３）で使っている手法は、微分を知らない人たち（文系の人）が分数関数の最大値、最小値などを求める時によく使う手法。

たとえば、

　　

という関数があるとき、

　　

として、xは実数でないといけないから、この２次方程式の判別式をDとして

　　

だから、yの最小値はx=−1の時で−1/2で、yの最大値はx=1の時で1/2。

何で、y=−1/2のときx=−1になるかは分かるよね。

「何故だろう」と、悩むといけないので、

　　

から出てくるにゃ。

これから

　　

y=1/2の時も同様に求めればいいにゃ。

最後に、相加平均≧相乗平均は

　　

第１７回 ２次関数とのグラフと２次方程式

第１７回　２次関数とのグラフと２次方程式

２次関数y=ax²+bx+cと直線y=mx+nがあるとする。このとき、２次関数と直線の間には下図で示すような位置関係、上下関係があるにゃ。

そして、２次関数と直線の交点の数は、２次方程式ax²+bx+c=mx+nの解を判別することによって調べられる。つまり、この２次方程式

　　

の判別式

　　

の値がD>0ならば交点の数は２、D=0ならば交点が一つ、つまり、接点となり、D<0ならば交点は０ということになる。

ということで、早速、問題を解いてみることにする。

問題１　放物線y=x²+axが、次の条件に適するように、定数aの値または範囲を定めよ。

（１）　直線y=x−1と２点で交わる。

（２）　直線y=x−1と接する。

（３）　つねに、直線y=x−1の上方にある。

【解】

y=x²+axとy=x−1の交点では

　　

になるにゃ。

よって、

　　

となり、この判別式をDとすると

　　

となる。

（１）　D>0なので、a<−1またはa>3

（２）　D=0なので、a=3、−1

（３）　問題の条件は、すべてのxについてx²+ax>x−1だにゃ。

だから、任意のxに対して

　　

が成り立てばいい。これが成り立つ条件はD<0だから、−1<a<3。

２次不等式はやっていないけれど、次の図を見れば、xの２次方程式の解をα、β（α≦β）とし、xの２次の係数が正のとき、

ax²+bx+c>0を満たすxの範囲はx<α、x>β

ax²+bx+c<0をみたすxの範囲はα<x<β

であることが理解できると思うにゃ。

問題２　放物線y=x²−2x+3と直線y=mx+1の共有点の個数を、mのいろいろな値に対して調べよ。

【解】

　　

この２次方程式の判別式をDとすると、

　　

になる。

で、２次方程式

　　

を解くにゃ。

　　

このことから、

D>0を満たすとき、つまり、共有点が２個の時のmは、m<−2−√2、m>−2+√2

D=0のとき、つまり、共有点が１個の時はm=−2±√2

D<0のとき、共有点がない時は−2−√2<m<−2+√2

退屈の虫が騒ぎ出してきたケロ。

なので、２次関数の最大、最小に関する少し発展的な問題を。

問題３　3x²+2y²=9xのとき、x²+y²の最大、最小値を求めよ。また、その時のxの値を求めよ。

【解（？）】

3x²+2y²=9xだから

　　

となって、x²+y²にこれを代入すると、

　　

このy=f(x)グラフを書くと次のようになる。

よって、x=9/2のとき最大で、最大値は81/8、最小値は無し！！

これは間違っているにゃ。何故か、わかるケロか。

何故ならば、①の条件より、y²≧0、よって

　　

となり、xの取りうる値は0≦x≦3で、頂点は0≦x≦3の範囲にないからだにゃ。

だから、f(x)の定義域は0≦x≦3となり、この区間でf(x)は単調増加。よって、x=0（y=0）のとき最小で最小値は0。そして、x=3（y=0)のとき最大で9になる。

第１６回 ２次関数の演習２

第１６回　２次関数の演習２

これまで２次関数の定義域を実数全体としてきたけれど、定義域が実数の部分集合の場合についてやってみるにゃ。

一般論より問題を解く形で具体的な例をあげた後に説明したほうがわかりやすいと思うので、いきなり問題を解いてみるにゃ。

問題１　次の２時間数について、（　）内で示した定義域における最大値と最小値を求めよ。

　　

【解】

（１）　２次関数は、何も考えずに、基本変形するケロ。

　　

これから、x=2が軸で、頂点が(−2,5)であることが分かる。

次に、この放物線の概略図を書く。

　　

そうすると、最大値がx=2のときで5、最小値がx=−3のときで、f(−3)=−20であることが分かる。

（２）　まずは基本変形だケロ。

　　

よって、軸はx=3で、頂点は(3,17/2)。

概略図を書く。

　　

そうすると、x=−1のとき最小で最小値がf(−1)=1/2、最大がx=3のときで最大値が17/2であることが分かる。

（３）　−1<x<1のとき、x²<1だから、｜x²−1｜=−(x²−1)=1−x²になる。

　　

そして、概略図を書くと次のようになる。（○のところは含まない）

よって、x=−1/2のとき最大で、最大値は5/4。

この問題から分かるように、２次関数の最大・最小値の問題は、頂点と定義域の両端が重要なんだケロ。

あえて極論すると、、

２次関数の場合、両端におけるyの値と頂点のyの値を比べるだけで、最大値と最小値は分かる(^^ゞ

頂点が定義域内にないとき、両端の値の大小だけで十分なんだにゃ。

２次関数y=f(x)=a(x−p)²+qとし、この定義域をα≦x≦βとする。

で、α≦p≦βのとき、つまり、定義域内に放物線の軸x=pがあるとき、

　　a>0ならばx=pのときqが最小値、

　　a<0ならばx=pのときqが最大値

となる。

あとは、f(α)とf(β)の大小で判断する。

そして、x=pが定義域に含まれないときは、f(α)とf(β)のうちで小さくないほうが最大値で、大きくないものが最小値だケロ。

２次関数の場合、これだけで判断してもいい。

なのですが、いい加減なものでいいから、とにかく、面倒臭がらずに概略図を書くことだにゃ。

問題２　xの２次関数f(x)=x²+2mx+2m+3がある。

（１）　その最小値yはmのどんな関数になるか。

（２）　（１）の関数yの最大値を求めよ。

【解】

（１）　とにかく、何も考えずに、基本変形！！

　　

よって、x=−mで最小で、

　　

（２）　とにかく、基本変形！！

　　

よって、m=1のとき最大で、yの最大値は4となる。

もう既に中学数学を逸脱しているのだけれど、中学では２次不等式を習わないから、２次関数や２次方程式の複雑な問題を解けないにゃ。

なのだけれど、実は、もう２次不等式を解くことができる材料を提供しているんだけどね。

第１５回 ２次関数の演習１

第１５回　２次関数の演習１

２次関数の一般形は

　　

で、

　　

このことから、

　　

となる。

頂点が(p,q)である２次関数は

　　

で、これはy=ax²をx軸の正の向きにp、y軸の正の向きにq平行移動したもの。軸の方程式はx=pだケロ。

さらに、放物線がx=α、x=βでx軸と交わるとき、

　　

である。

では、問題演習。

問題１　（１）　放物線y=2x²をx軸の方向に−2、y軸の方向に1だけ平行移動してできるグラフの方程式を求めよ。

（２）　放物線y=2x²−5x+1を放物線y=2x²+5x+2に重ねるには、どのように移動させればよいか。

【解】

（１）　③にa=2、p=−2、q=1を代入すると

　　

（２）　②より、y=2x²−5x+1の頂点の位置は(5/4,−17/8)、y=2x²+5x+2の頂点の位置は(−5/4,−9/8)。

よって、x方向の移動量=−5/4−(5/4)=−5/2、y方向の移動量=−9/8−(−17/8)=1。

問題２　軸がy軸に平行で次の条件を満たす放物線をあらわす２次関数を求めよ。

（１）　３点(1,3)、(3,5)、(−1,9)を通るもの

（２）　頂点が(1,3)で、点(2,1)を通るもの

（３）　軸がx=−2で、２点(0,3)、(−1,0)を通るもの

（４）　x軸と(−1,0)、(2,0)で交わり、点(0,−3)を通るもの

（５）　２点(1,12)、(4,3)をとおり、x軸に接するもの

【解】

ただの計算問題なので、ヒントと答えだけ(^^ゞ

【ヒント】

（１）　y=f(x)=ax²+bx+cとすると、f(1)=3、f(3)=5、f(−1)=9となる。これからa、b、cについての連立方程式が得られる。これを解けばいい。

（２）　頂点が(1,3)なのだから、y=f(x)=a(x−1)²+3となり、これが点(2,1)を通るのだから、f(2)=1となり、aの値が求まる。

（３）　軸がx=−2なので、y=f(x)=a(x+2)²+qとなる。これが２点(0,3)、(−1,0)を通るものだから・・・。

あるいは、y=ax²+bx+cとして、

　　

この曲線が(0,3)を通るのでc=3となり、y=f(x)=ax²+bx+3となり、f(−1)=a−b+3=0・・・。

（４）　x軸とx=α、βで交わるのだからy=a(x−α)(x−β)となる。だから、y=a(x+1)(x−2)で、これが(0,−3)を通るのだから・・・。

（５）　x軸に接するのだから、その接点のx座標をpとすると、この放物線はy=a(x−p)²となる。あとは・・・

【答】

　　（１）　y=x²−3x+5　　（２）　y=−2x²+4x+1　　（３）　y=x²+4x+3

　　

問題３　２次関数y=ax²+bx+cのグラフが(−1,−5)を通る。また、x=2のとき最大で、最大値は４であるという。a、b、cの値を求めよ。

【解】

x=2のとき最大で、最大値が４であることより、

　　

である。

これが、(−1,−5)を通るので、

　　

②を使ってa、b、cを求めてもいいけれど、計算が大変だよ。

問題４　2x+y=1のとき、次の関数の最大値、または最小値を求めよ。

（１）　xy　　（２）　x²+y²

【解】

2x+y=1より、y=1−2xとなる。

（１）　xyにy=1−2xを代入する。

　　

よって、x=1/4のときxyの最小値は1/8。このときのyの値は

　　

ということで、x=1/4、y=1/2のときに最小で、最小値は1/8である。

（２）　x²+y²にy=1−2xを代入する。

　　

よって、x=2/5のときに最小で、最小値は1/5。

この時のyの値を求めると、y=1/5になる。

ということで、x=2/5、y=1/5のとき最小で、最小値は1/5。

（１）、（２）とも最大値はないにゃ。