確率・統計と極限の融合問題 [高校の統計]
確率・統計と極限の融合問題
問題１ 外観では区別できない２つの袋U₁、U₂があり、
U₁には４ｎ個の赤い玉とｎ個の白い玉
U₂には２ｎ個の赤い玉と３ｎ個の白い玉
がそれぞれ入っている。このどちらかが観測者に手渡され、袋U₁が手渡される確率は2/3、袋U₂が手渡される確率は1/3である。
観測者は手渡された袋から３個玉を取り出し、赤い玉の数が白い玉の数より多いときはU₁であり、そうでないときはU₂であると判断する。観測者が誤った判断を下す確率
を求めよ。
【解】
観測者が誤った判断を下すのは次の２つの場合である。
袋U₁が手渡され、赤い玉が１、白い玉が２個、または、白い玉が３個
袋U₂が手渡され、赤い玉が３個、または、赤い玉が２個、白い玉が１個
したがって、
よって、
（解答終）
問題２ さいころをn回投げ、出た目の最大数がxとなる確率を
で表す。を求め、つぎに
を求めよ。
【解】
出た目の最大数がxになる確率は、さいころをn回投げたとき、すべて１からxの目が出る確率から、すべて1からx−1が出た確率を引いたものになるので、
したがって、
（解答終）
問題３ 箱の中に１,２,・・・,9の数字を１つずつ書かれたカードが９枚入っている。これを無作為に１枚取り出し、その数字を調べてから元の箱に戻す。これを３回繰り返して、取り出したカードの最大数をXとする。kを１≦ｋ≦９である整数とするとき、次の問に答えよ。
（１） X≦kである確率を求めよ。
（２） X＝kである確率を求めよ。
（３） Xの期待値を求めよ。
【解】
（１） これはk以下の数が３回続けて取り出す場合なので、
（２）
（３）
（解答終）
類題 ２つの箱に１からnまでの通し番号を書いたn枚のカードが入っている。各箱から同時に１枚ずつカードを取り出し、番号を比較して、小さくない方をXとするとき、次の問に答えよ。
（１） X=kである確率をnとkで表わせ。（ｋは整数で１≦k≦n）
（２） Xの期待値をnの式で表わせ。
【答】
問題４ 次のようなゲームを考える。サイコロを投げて偶数の目が出れば続けて投げ、奇数の目が出ればそこでゲームを止める。k回続けて偶数の目が、（ｋ＋１）回目に奇数が出た場合にk点が与えられるものとする。
（１） 偶数の目が続くことがn回以下としたときの得点の期待値
を求めよ。
（２） 
を求めよ。
【解】
（１） 得点がｋ点であるのは、k回引き続き偶数が出て、k+1回目に奇数が出る場合なので、この確率
したがって、求めるべき期待値は
①に1/2を掛けて、①との差をとると、
（２） n≧２のとき
したがって、
よって、ハサミウチの定理より、
したがって、
（解答終）
ピストン・クランク機構 ちょっと（工業）力学 [ねこ騙し物理]
ピストンとクランク機構
問題 図はピストンとクランクの装置を示したもので、OP=５０ｃｍ、PQ=２００ｃｍとし、OPは毎秒２回転するものとする。∠POQが増加してちょうど３０°になった瞬間におけるQの速度を求めよ。
【解答】
∠POQ＝θ、OQ＝xｃｍとすると、余弦定理から
この両辺を時刻tで微分すると、
OPは毎秒２回転、すなわち、４π（rad）回転するので、
これを②式に代入すると、
θ=３０°=π/6(rad)のとき、xは①より、
これを解くと、
x>0だから、
③式に、x=25（√3+3√7）、θ=π/6を代入すると、
（解答終）
大学の数学の入試問題にこんな問題が出るとは思えないが、計算力のないネムネコが試験会場でこの問題を解こうとしたら、③以降のどこかで絶対、計算間違いをする自信がある。
なのですが、ピストン・クランク機構は、実用的に重要なので、（工業）力学などで理論化されている。
原点Oを中心とし半径rの円周上を、点Pが反時計回りに角速度ωで回転しているとする。そして、点Pと点Qの距離はLで、点Qはx軸上を移動し、時刻tにおいて∠QOP=θ、∠PQO=Φとする。
また、OQ=xとすると、幾何学的な関係から
となる。
PHは
となるので、
これを（１）に代入すると、
ここで、物理らしく
と近似すると、（２）式は
ここで、三角関数の倍角公式
を用いると、
となる。
ここで、さらにθ=ωtとすると、
が得られる。
これをtで微分すると、
さらに、tで微分すると、
という公式（？）が得られる。
ここで、vは点Qの速度、αは点Qの加速度である。
ただし、（４）、（５）は、厳密なものではなく、近似式であることに注意。
この（４）式を使って、問題の速度を求めてみよう。
OPは毎秒４回転するので、角速度ω=4（ｍ/秒）である。また、θ=ωt=π/6（rad)であり、r=50cm、L=2000cmなので、
対して、問題の答は
となり、大体、0.1％位の誤差で計算できており、十分に実用に足りることがわかる。
速度・変化率の問題１ [高校の微分積分]
速度・変化率の問題１
問題１ 球状のシャボン玉に空気を送り込んで、球状のまま膨らますものとする。
（１） 毎秒acm³（aは一定）の割合で空気を送り込むとき、体積がbcm³の状態からt秒後における半径rcmの増加率（tについての）をtの関数で表わせ。
（２） 表面積の増加率を一定とするとき、体積Vcm³の増加率は
に比例することを示せ。
【解答】
（１） t秒後の体積はb+atだから、
両辺をtで微分すると、
（２） 表面積をSとすると、
また、
したがって、表面積の増加率を一定とするとき、体積Vcm³の増加率はに比例する。
（解答終）
類題 半径ｒcmの球の体積が一様な速さacm³/秒で増加している。直径が１０cmになったときの表面積が増加する割合を求めよ。
【解答】
体積をVとすると
両辺をｔで微分すると、
表面積S=πr²をtで微分すると
よって、r=5のとき、
（解答終）
問題２ 地面に垂直な壁に立てかけてある長さ５ｍのはしごの下端が地面に沿って毎秒２ｍの速さで壁から遠ざかっている。下端が３ｍになるとき、上端の速度を求めよ。
【解答】
地面からはしごの上端の距離をyｍ、壁からはしごの下端の距離をxｍとすると、
両辺をtで微分すると、
はしごの下端が地面に沿って毎秒２ｍ遠ざかっているので、
x=３のとき、
以上の結果を①に代入すると、
よって、毎秒3/2ｍで下方に降下する。
（解答終）
問題３ 水面から３０ｍの高さの岸壁の頂から５８ｍの綱で船を５８ｍの綱で引き寄せる。毎秒４ｍの速さで綱をたぐると、２秒後の船の速さはいくらか。
【解答】
岸壁の頂きをA、その真下の水面をB、船の位置をPとし、
とすると、
綱を引く速さは
①をtで微分すると、
２秒後の綱の長さs=50なので、①より
よって、②と、x=2、s=50より
よって、船の速さは２ｍ/秒。
（解答終）
比率の推定 確率・統計 [高校の統計]
比率の推定 確率・統計
母集団から標本をn個抽出し、賛成・反対や良品・不良品などの比率の推定について、工場製品に占める良品の比率を例に考える。
母集団から無作為に取り出した標本の数がnで良品x個、良品の比率をpとすると、n個の中に良品がx個含まれている確率は
であり、この確率分布は二項分布B(n,p)になる。
nが大きいとき、これは
の正規分布と考えてよい。
したがって、
の分布は正規分布N(0,1)だから、
信頼度９５％で、
この両辺をnで割ると、
同様に、信頼度９９％で
問題１ 全製品中から４００個を任意に抽出したところ、２８０個が良品であることがわかった。全製品に占める良品の割合を信頼度９５％で推定せよ。
【解答】
全製品の良品の割合をpとすると、各標本について良品の占める割合はpだから、n個の標本中x個が良品である確率は
となり、平均np、標準偏差
の２項分布になる。
n=400と大きいので、これは正規分布とみなすことができて、（１）より、信頼度９５％で
n=400、x=280だから、これを上式に代入すると
pは0.7に近いと考えられるので、p=0.7として右辺に代入すると、
よって、信頼度９５％で
（解答終）
もちろん、①式の右辺にp=0.7を代入せず、不等式①の両辺を２乗して、不等式
を解き、pの解を求めても好い。
すると、
くらいになる。
次に世論調査などで必要になるサンプル数の個数について考える。
標本の数をn、賛成者の数をx、母集団の賛成者の割合をpとする。
信頼度９５％で誤差0.03とすると、（１）より
となるように標本数nを定めればよい。
したがって、
この場合、pは0≦p≦1の値を取りうるので、
の最大値を求めると、
となるので、（３）の左辺にp=1/2を代入すると、
となる。
したがって、約１０００人調査すれば、信頼度９５％で誤差0.03、すなわち、誤差３％で賛成者の割合を求めることができる。
問題２ ある意見に対する賛成者の比率は３０％前後であると予想される。賛成者の真の比率を３％以下の誤差で推定するには、何人≧について調べればよいか。信頼度を９５％以上と信頼度９９％以上の場合について求めよ。
【解答】
回答者の数をn、その内の賛成者の数をxとする。
９５％のとき、
９９％のとき、
したがって、信頼度９５％のときは
となるようにnをとればよい。
p=0.3とすると
信頼度９９％のときは
p=0.3として代入すると
したがって、
信頼度９５％のときは約９００人
信頼度９９％のときは約１６００人
（解答終）
組み合わせを計算するJavaScriptを作ったケロ [ひとこと言わねば]
そして、Bloggerの方にアップしておいたケロ。
上記urlにアクセスし、nとrに値を入れて、計算ボタンをクリックすると、
を計算してくれる。ただし、エラーチェック機能は含んでいないので、n、rに変な値を入れないように。
の値を求めることもできる。// 再帰処理で計算
int Combi(int n, int r) {
if(r==0 || r==n) {
return 1;
} else {
return Combi(n-1,r)+Combi(n-1,r-1);
}
}
main() {
int n,r;
for (n=0; n<=9; n++) {
for (r=0; r <=n; r++) {
printf("%dC%d=%d ", n,r,Combi(n,r));
}
printf("\n");
}
}
の値を求めるのと同じなのですが、他に手段がない場合や再帰処理を用いないとプログラムが冗漫になる場合などはしょうがないけれど、
プログラムが自分自身を呼ぶ、このような再帰プログラムは作らないほうがいい。
ddt³さんが解説してくださるに違いない！！
問題 次の関係
を利用し、n！を求めるプログラムを作りなさい。
できたら、再帰処理を利用したプログラムを作れ。
（ヒント）
とおくと、
したがって、
f(n) {
if(n==0) {
return 1;
else {
return n*f(n-1);
}
}
お前等に質問 確率・統計の検定の問題 （２月２４日） [お前らに質問]
お前らに確率・統計の検定の問題を一つ出すにゃ。解けるかな。
問題 コインを１０回投げたところ、表が８回出た。
このことから、このコインは表が裏よりも出やすいと言えるか。危険率５％で判定せよ。
表が９回出たら、どうか。
計算しなくても、問題の問い方を見ただけで、
表が８回のときは「表が裏より出やすい」と結論できないこと、そして、表が９回ならば「表が裏より出やすい」と言えることがわかるが・・・。
なんだかわからない、このグラフをサービスしてやろう。
ここまでサービスしたんだから、この問題を解けよな！！
ところで、この問題を解くためには、組み合わせ、すなわち、
の計算が必要になる。
表計算ソフトには、組み合わせの関数COMBINというものがあり、これを使えば、COMBIN(n,r)と計算することができるが、C言語などのプログラム言語の関数には、組み合わせを計算する組み込み関数は存在しない。
で、組み合わせ（１）の値を求めるプログラムを自作しないといけないのだが、たとえば、
などと計算すると、20！というのはトンデモなくデカイ数字（約2.432902008×10¹⁸）なので、オーバーフローしてしまう。
ということで、プログラムを作れる環境を持っている奴は、組み合わせを求める関数を自作し、
の値を求めよ。
そして、この記事のコメント欄にその自作プログラムを書き、送信するように。
ただし、使用していい言語は、（十進）BASIC、Fortran、C/C++、JAVA、JavaScript、情報技術者の試験で使われるアセンブラCASLなどとする。COBOLは駄目だケロよ。
某計算サイトによると、
らしいね。
ネムネコ、コイン投げをコンピュータでシミュレートする [ひとこと言わねば]
昨日、コンピュータの乱数を使って、二項分布を求めたのだけれど、試行回数をトンデモなく大きくとらないと数学的確率の値に近づかないことに気がついて、コンピュータを使って、コインを１０回投げて何回表が出るかシミュレーションしてみた。
コインを１０回投げて表が出る回数をrとすると、その確率は
になる。
これは数学的な確率だにゃ。
コンピュータを使って、コインを１０回投げて表が何回出るかという試行をn=10、100、1000、10000、100000回行うと、これは次のような分布になる。
このグラフを見ると、コインを１０回投げることを１００回、１０００回くらい行っても、（１）式で与えられる二項分布B(10,1/2)は得られないことがわかる。
１０００回位じゃ、誤差が大きすぎて、信用できない。
コインを１０回投げることを１万回、できたら１０万回回くらいやらないと、使い物にならない。
そして、この結果に正直強い衝撃を受けている。
だって、１０００回も繰り返せば、かなり良く近似できると思っていたんだもん。
それと同時に、「数学的確率っていったい何なんだ」という、確率に対する不信感を募らせた。
では、ここで問題を一つ。
問題１ １枚のコインを１０００回投げたところ、表が４９３回出た。信頼度９５％で、このコインの表が出る確率を推定せよ。
【解答例】
表が出る確率をpとすると、
（解答終）
この実験からわかるのは、
「信頼度９５％で、このコインの表の出る確率は0.462以上かつ0.524以下である」ということ。
これ以上のことは言えない。
不思議なもので、コンピュータの乱数を使って、コインを１００００回投げると、表が４９１３回という結果が出てしまった。コインを１００００回投げて測定された表のが出る確率が0.4913なのに対し、コインを１０００回投げたときに測定された表が出る確率0.493より悪化してしまったケロ。
ではあるが、９５％の信頼度でこのコインの表が出る確率を推定すると、
となるので、「このコインの表の出る確率は、信頼度９５％で、0.4913以上で0.5011以下である」となり、１００００回投げた確率の推定値のほうが信頼できる。
お前らに確率・統計の問題を１つ （２月２３日） [お前らに質問]
ちょっとお前らに確率・統計の問題を１つ。
問題 表・裏が出る確率がともに1/2である硬貨が５枚ある。この５枚の硬貨を投げたとき、表が３枚出る確率を求めよ。また、硬貨５枚を投げることを１０回行ったとき、硬貨の表が３枚出る回数の期待値と分散を求めよ。
難しい問題ではないはずだけれど、たぶん、意外に正答率が低いんじゃないかな。
言っておくが、次の解答は間違いだからな。
【解答？】
５枚のうち３枚が表なのだから、この確率は
したがって、１０回、５枚の硬貨を投げたとき、硬貨の表が３枚である期待値mは
また、標準偏差σは
（解答？終）
高校卒業してから時間が随分と経つ文系さん相手ならば、これを見せると、なるほどと納得させることができて、騙せるかもしれない（笑）。
だって、ほとんど、このレベルだもん。
乱数を使って、硬貨５枚の内、表がx枚出る確率を計算すると、次のようになるから、p=3/5というのはおかしいにゃ。
どうも、１０００万回くらい、５枚の硬貨を投げると、大体、数学的な確率の値が出るね（笑）。
１００回位だと、ダメだね。
確率・統計の追加問題２ [高校の統計]
確率・統計の追加問題
問題１ つぼの中に４個の白球と３個の赤球が入っている。このつぼの中から無作為に１球ずつ取り出し、赤球が出たら止めるものとする。ただし、取り出した球はつぼに戻さない。このとき、次の問に答えよ。
（１） 取り出される白球の数xの確率分布を求めよ。
（２） xの平均（期待値）を求めよ。
（３） xの標準偏差を求めよ。
【解答】
（１） xの取りうる値は0、1、2、3、4のいずれかで、x=rとなるのは、r回続けて白球が出て、r+1回目に赤球が出る場合である。その確率を
とすると、
したがって、確率分布は
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
p |
3/7 |
2/7 |
6/35 |
3/35 |
1/35 |
（２） xの平均をmとすると
（３） xの標準偏差をσとすると、
（解答終）
問題２ つぼの中に４個の白球と３個の赤球が入っている。このつぼの中から同時に３個を取り出すとき、それに含まれる白球の個数をxとする。このとき、次の問に答えよ。
（１） xの確率分布を求めよ。
（２） xの平均mと標準偏差σを求めよ。
【解答】
（１） 白球がx=r個とり出される確率をで表すと
となるので、
したがって、確率分布は
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
p |
1/35 |
12/35 |
18/35 |
4/35 |
（２）
（解答終）
問題３ 表裏の出る確率が同様に確からしい硬貨を３枚同時に投げる試行を繰り返す。各回において表の出る回数をxとする。このとき、次の問に答えよ。
（１） xの確率分布を求めよ。
（２） xの平均と標準偏差を求めよ。
【解答】
（１） 表がx=r枚出る確率を
で表すと、独立試行の確率より
したがって、確率分布は次のようになる。
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
P |
1/8 |
3/8 |
3/8 |
1/8 |
（２） xの平均をm、標準偏差をσとすると、
（解答終）
１回の試行で事象Aの怒る確率がpのとき、n回の独立試行中Aがr回起こる確率は
n回の独立試行で、Aの起こる回数をxとすると、xは0,1,2,・・・,nというn+1個の値をとる確率変数で、その確率分布は次のようになる。
また、平均（期待値）m、標準偏差は
１枚の硬貨を３回投げる試行で表が出た回数をxとして考え、この公式を用いると、（２）の平均、標準偏差は次のように求めることができる。
北海道厚真町で震度６弱 津波なし NHK [ひとこと言わねば]
北海道厚真町で震度６弱 津波なし
— NHKニュース (@nhk_news) 2019年2月21日
陸上自衛隊撮影の北海道厚真町の様子https://t.co/NvtILbzTes#nhk_news #nhk_video pic.twitter.com/6PF3gbRXEq
札幌駅の地下通路で一夜 「毛布あって、仮眠はできた」 https://t.co/fARpZF8FI2
— 朝日新聞(asahi shimbun） (@asahi) 2019年2月22日
