熱伝導方程式の変数分離法による解 [微分方程式の解法]
熱伝導方程式の変数分離法による解
ddt³さんの記事に熱伝導方程式の話が出たので
z=z(t,x)とし、
熱伝導方程式
を満たす、
の形の解を求めることにする。
（２）を（１）に代入すると、
仮定より、右辺は変数xだけの関数、左辺は変数tだけの関数になるので、（３）式の値は定数でなければならない。
（３）式の値が正のとき、p²（p>0)とおく。
すると、
となり、
したがって、
（３）式の値が負のとき、−p²とおくと、
したがって、この解は
（３）式の値が0のとき、
となり、解は
である。
（３）式の値が正、０のとき、t>0のときの境界条件
を満たすためには、z=0となり、解として不適。
というわけで、（３）式の値は負でなければならず、
の形で表されるものでなければならない。
境界条件z(t,0)=z(t,a)=0を満たさなければならないので、
①から、c₂=0。
c₁=0のとき、②は満たすが、初期条件z(0,x)=f(x)を満たすためにはf(x)=0となってしまい都合が悪い。
というわけで、②式を満たすためには、
でなければならなず、
したがって、
が解になりそうですが（
は定数）、これでは、初期条件
を満たさない。
そこで、
が解だったらいいなと考え、
が成り立つように係数を定める。
すると、
フーリエ級数から
と係数が定まり、
が求める偏微分方程式の解になる。
波動方程式２ [微分方程式の解法]
波動方程式２
前回に引き続き、（１次元の）波動方程式
について考える。
その前に、偏導関数の性質の復習。
偏導関数の性質
f(x,y)をR²の開区間D=(a,b)×(c,d)で定義された関数とする。このとき、次のことが成り立つ。
（１） fがxについて偏微分可能で
ならば、fはyだけの関数である。
（２） 
ならば、fは定数である。
（３） 
でかつ
が連続ならば、fはxだけの関数とyだけの関数との和に等しい。
【証明】
（１） yを固定する。g(x)=f(x,y)は(a,b)上で
だから定数である。この値をφ(y)とおくと、f(x,y)=φ(y)で、fはyだけの関数である。
（２） だから（１）よりf(x,y)=φ(y)である。また、
だから、
よって、φ(y)は定数である。
（３） 
だから、はxだけの関数hに等しい。そこで、x₀を固定する。仮定より
はxについて連続だから、
この右辺をΦ(x)、
とおけば、
（証明終）
である任意の関数f,gがC²級であるとすると、
が（１）を満たすこと、つまり、
が（１）の解になることは前回学んだ。
そこで、次の定理。
定理 （波動関数の一般解）
（ⅰ） 任意のC²級関数に対し、
は
を満たす。
（ⅱ） C²級関数
が（１）を満たすならば、を満たすC²級関数が存在する。
【証明】
（ⅰ）
（２） ξ=x−ct、η=x+ctとおくと、
同様に、
だから、
偏導関数の性質（３）より、
（証明終）
したがって、は（１）の一般解と考えることができ、これをダランベール（d'Alambert）の解という。
物理的には、c>0のとき、f(x−ct)はx軸の正の方向に速さcで進む波、g(x+ct)はx軸の負の方向に進む波を表す。
（１）を満たす解z=z(x,t)は無数に存在し、これを１つに定めるためには何らかの条件を加えなければならない。そこで、次の（初期）条件を課すことにする。
z=f(x−ct)+g(x+ct)だから、１番目の条件より
２番めの条件より
これを積分すると、
①、②をf(x)、g(x)について解くと、
となり、これから
これをd'Alamertの公式、Stokesの公式という。
問 初期条件が次の場合の解を求めよ。
【解】
d'Alambertの公式より、
波動方程式１ [微分方程式の解法]
波動方程式１
次の１階偏微分方程式について考える。
fを
C¹級関数とすると、
は（１）の解になる。
このことは、u=x+ctとおくと、
となるので、上の２つの式からf'(x+ct)を消去することと（１）式が得られること、あるいは、
となることから確かめることができる。
問１ z=f(x,t)をC¹級の関数とするとき、次のことを示せ。
ならば、fはu=x+ctだけの関数であることを示せ。
【解】
u=x+ct、v=xとすると、
また、条件より
だから、
u=x+ct、v=tとすると、
条件より
したがって、zはvを含まないuだけの関数である。
（解答終）
同様に、z=g(x−ct)が、偏微分方程式
の解になることがわかる。
（註）
偏微分方程式（１）、（３）だけから、関数f、gの形は定まらない。f,gを実数全体の集合Rで連続微分可能である任意の関数とすると、z=f(x+ct)は（１）、z=g(x−ct)は（３）の解になる。
問２ z=sin(x+ct)は偏微分方程式（１）、z=sin(x−ct)は偏微分方程式（３）の解となることを確かめよ。
【解】
z=sin(x+ct)とすると、
z=sin(x−ct)とすると、
（解答終）
というわけで、偏微分方程式（１）、（３）は１階の波の（偏微分）方程式と考えることもできる。
問２ z=f(x+ct)+g(x−ct)のとき、
が成り立つことを示せ。
【略解】
（略解終）
問３ f、gをC²級の関数とする。
は、
の解であることを示せ。
【略解】
（略解終）
２階の偏微分方程式（４）は、形式的に次のように書き換えることができる。
そして、
は（４）の解であり、これは先に求めた１階の偏微分方程式
の解z=f(x+ct)、z=g(x−ct)を定数倍したものの和になっているというわけ。
ますます、（１）、（３）は波の（偏微分）方程式だケロよ。
問 座標変換
によって、微分方程式
はどのように書き換えられるか。
【解】
x,yについて解くと、
となる。
したがって、
よって、
（解答終）
微分方程式の整級数解２ [微分方程式の解法]
微分方程式の整級数解２
２階線形微分方程式
において、P(x)、Q(x)、R(x)が点aで解析的なとき、点aを通常点という。
そして、通常点では次の定理が成り立つ。
定理
２階線形微分方程式
において、P(x)、Q(x)、R(x)が点aでならば、初期条件
を満たす整級数解
がただ一つ存在する。
問１ 次の微分方程式のx=0まわりの整級数解を求めよ。
【解】
とすると、
これらを微分方程式に代入すると、
また、
だから、
よって、
ゆえに、
初期条件からy(0)=a₀=1、y'(0)=a₁=0となるので、
よって、
（解答終）
問の微分方程式の解は、
であり、
とマクローリン展開されるので、
となり、問１で求めた整級数解と一致する。
問２ 次の微分方程式の解を求めよ。
【解】
【解】
とし、項別微分が可能であるとする。
だから、これを微分方程式に代入すると、
これがすべてのxについて成立するから、
の係数はすべて0でなければならない。
また、初期条件より
したがって、
nが奇数のとき、すなわち、n=2m+1（m=0,1,2,・・・）のとき、
nが偶数のとき、すなわち、n=2mのとき
よって、
したがって、
（解答終）
問２のように、不定積分を用いた求積法では解が求めにくい微分方程式の解を整級数解で求められることがある。
微分方程式のべき級数解１ [微分方程式の解法]
微分方程式のべき級数解１
つぎの微分方程式
の整級数解（べき級数）について考えることにする。
この微分方程式の解yが
とx=0まわりの整級数に展開できるとする。
このとき、上の整級数は−∞<x<∞で項別微分が可能（註１）で
となる。
これを微分方程式y'=yに代入すると、
任意のxについて①が成立するためには、①の無限級数内のの係数がすべて０でなければならない。
さて、y(0)=1だから、a₀=1。
したがって、上の漸化式で定められる数列
は 
これから、
となり、微分方程式y'=y （y(0)=1）の解
と一致する。
註１
定理 整級数
の収束半径をρとする。
このとき、
で、
は−ρ<x<ρで
級である。
問１ 次の微分方程式のx=0まわりの整級数解を求めよ。
【解】
とすると、
さらに、
これらを微分方程式に代入すると、
したがって、
でなければならない。
したがって、
x=0のとき、
よって、
これより、
したがって、
（解答終）
問２ 次の微分方程式のx=0まわりの整級数解を求めよ。
【解】
とおくと、
また、
これらを微分方程式に代入すると、
よって、
a₁は初期条件y(0)から定まる。
よって、
（解答終）
階数低減法 [微分方程式の解法]
階数低減法
次の２階線形非同次方程式があるとする。
（１）のR(x)=0とした同次方程式
の解の１つy₁が知られているとき、y=y₁u(x)とおくと、
となるので、（１）は
になる。
ここで、
とおくと、
となり、微分方程式の階数を１減らすことができる。
この方法を階数低減法という。
特に、P(x)=a、Q(x)=bと定数であるとき、（４）は
となる。
問１ 
が
の解であることを利用して、
を解け。
【解】
とおくと、
これを微分方程式
に代入すると、
ここでv=u'とおくと、
両辺に
をかけると、
よって
だから、
（解答終）
問２ 階数低減法を用いて次の微分方程式を解け。
【解】
（１） 
とおくと、
これをy''−3y'+2y=0に代入すると、
v=u'とおくと
よって、
だから、
（２） とおくと、微分方程式
は
ここでv=u'とおくと、
両辺に
をかけると、
v=u'だから
だから、
（解答終）
問題 ２階線形同次方程式
の１つの解がy₁であるとき、もう１つの解が
で与えられることを示せ。
【解】
y₂=y₁u(x)とおくと、
これをy''+P(x)y'+Q(x)y=0に代入すると、
v=u'とおくと、
y₁≠0のとき
両辺に
をかけると、
v=u'だから、
よって、
（解答終）
微分方程式のよもやま話２１ 連立線形微分方程式 その１ [微分方程式の解法]
微分方程式のよもやま話２１ 連立線形微分方程式 その１
n個の未知関数をもつ微分方程式の系、次の連立線形微分方程式について考える。
ここで、
である。
（１）は行列を用いると、次のように表すことができる。
ここで、
この微分方程式を満たすn個の関数
をこの微分方程式の解という、
また、b=0（零ベクトル）であるとき、この微分方程式を同次方程式という。
x=0が同次方程式
の解であることは明らかである。そこで、x=0以外の解をさがすことにする。
さて、微分方程式
の解は
であった。
このことから、（２）の解は
と類推される。
ここで、Cは定ベクトル、すなわち、
である。
これを（２）式に代入すると、
だから
ここで、Eは単位行列である。
したがって、Cが自明な解0以外の解を持つためには、
でなければならない。
この方程式（Aの特性方程式）を満たす解λをAの固有値といい、0でないベクトルCをλに対する固有ベクトルという。
定義
xのある区間で、n個のn次元関数ベクトル
について、全部は0でないn個の定数
によって
となるとき１次従属といい、そうでないとき１次独立という。
定理１ 微分可能なn個のn次元ベクトルに対して
ならば、それらは１次独立である。
【n=3の場合の証明】
区間Iにおいて
が１次従属であるとすると、全部が０ではない定数c₁、c₂、c₃があって、
が成り立つから、Iにおいて１次従属であって、
である。
（証明終）
定義
同次線形微分方程式
のn個の１次独立な解ベクトルの１組を基本解、または、基本系という。
定理２ 同次線形微分方程式
の一般解ベクトルは、その１組の解ベクトルの任意定数係数の１次結合で表される。すなわち、
問 次の微分方程式を解け。
【解】
とおくと、上の連立微分方程式は次のように書くことができる。
Aの固有方程式（特性方程式）は
λ=1のとき、それに対する固有ベクトルを
とすると、
λ=2のとき、それに対する固有ベクトルをとすると、
したがって、
は基本解となり、微分方程式の一般解は
（解答）
が１次独立であることは
であることから確かめることができる。
問２ 次の微分方程式を解け。
【解】
とおくと、この固有方程式は
λ=−1のとき、固有ベクトルは
λ=3のとき、
よって、
したがって、微分方程式の一般解は
（解答終）
簡単に解けそうで、実は、簡単に解けない微分方程式 [微分方程式の解法]
簡単に解けそうで、実は、簡単に解けない微分方程式
この微分方程式は、ねこ騙し数学の訪問者ならば、簡単に一般解を求めてくれるに違いない。
じゃぁ、上の式を少し変えて、次のようにしたらどうだろうか。
ところがどっこい、これがとんでもなく難しい。
嘘だと思うならば、やってみそ！！
そして、お前ら全員、すぐに討ち死にすると思うにゃ。
たとえば、（２）の両辺をxで微分すると、
となって、ますます、手に負えなくなってしまう。
ならばと、
と全微分方程式に書き換え、積分因子λ(x,y)を求めるために、この両辺にかけるにゃ。
そこで、次の条件を使う。
今度は、この偏微分方程式を解く羽目に陥ってしまう。
そして、絶望する（笑）
それもそのはず、（２）は、一見、簡単な微分方程式に見えるけれど、これはリッカチ形の微分方程式と呼ばれるもの。
そして、このタイプの微分方程式は、形がどんなに簡単に見えたって、一部の例外を除き、解くのが恐ろしく難しい。
不思議なもので、
という微分方程式を解く方が（２）を解くよりもずっと難しいように思うだろうが、実際は（３）はベルヌーイ形の微分方程式と呼ばれるもので、こっちの方が解くのはずっと楽。
そして、運良く、（２）の特殊解の１つを見つけられると、（２）のようなリッカチ形の微分方程式は（３）のようなベルヌーイ形に書き換えることができ、解くことができるんだにゃ。
――ベルヌーイ形になるたって、こっから変数変換をして、線形の常微分方程式に書き換えなければならない。こうすることによって、初めて解ける形になる。
解くことができるというの理屈の上の話であって、これを三角関数や指数関数、対数関数を用いた初等的な関数を組み合わせて解を表せるという意味ではない。そして、これらで表せないとき、「解けない」というのであった(^^ゞ――
じゃぁ〜、（２）の特殊解を見つければいいじゃないかという話になるけれど、リッカチ形の微分方程式の特殊解を見つける一般的な方法なんてない。
勘と経験を頼りに、あれこれといろんな形の関数で試し、運がよければ、特殊解が見つかるかもしれない世界。まったくの運頼み。
たとえば、（２）の特殊解がxの多項式の形で表されると仮定し、その次数をnとする。すると、左辺はn−1次だね。右辺の次数は2n次だから、左辺と右辺の次数が一致するためには、n−1=2nだから、n=−1になってしまうケロ。つまり、（２）の特殊解には多項式の形のものはない。
分数関数みたいなのもダメ。
この式を見ただけで、sinxやcosxのような単純な三角関数とその単純な組み合わせも駄目だし、指数関数や対数関数みたいなものがダメなのはすぐに想像がつく・・・。
すぐに、万策尽き、「こんなんじゃ、絶対にこの方程式は解けない」と、再び、絶望する。
２階の線形方程式に変換する方法とかあることはあるんだけれど、変換したところで、定数係数の線形方程式にはなりはしない。xの関数を係数にする２階の線形方程式になるのは必定。
てなわけで、某サイト（解くのコンピュータ）にお願いして、微分方程式（２）を解いてもらうことにした。
そうしたら、何ともおどろおどろしい答えが返ってきた。
ここに出てくるJというのは、第１種のベッセル関数と呼ばれる特殊関数。しかも、実関数の微分方程式なのに、虚数単位i²=−1が入っている（笑）。
愛（i）だね〜、愛。
それにしても、いったい、どんな形の微分方程式に変形してこの解を求めたのやら。謎だケロ。
微分方程式（２）は、ある変換を行うと、たぶん、次の微分方程式に変換できるはず。
（４）式は、エアリー方程式やストークス方程式と呼ばれるもので、この解は第一種エアリー関数と第２種エアリー関数の線型結合で表される。そして、これをxで微分して・・・。
そうすると、ベッセル関数が・・・。
たぶん。
こういう面倒な計算は、難しい微分方程式を解くのがお仕事の（理論系の）物理屋さんの領分だにゃ。昔からそう決まっている。だから、縄張りを犯してはいけい。
それはそれとして、ネムネコは物理屋さんじゃないから知らなかったけれど、どうも、（４）式はシュレ猫さんの生みの親であるシュレディンガーさんの方程式にも関係があるみたいだね。
この微分方程式は
は簡単に解けるけれど、1をxに変えたらどうなるんだろう。
そんな素朴な疑問が出発点で、まさか、この方程式が量子力学、シュレ猫に、そして、惑星などの軌道計算まで関係するなんて、想像だにできなかった。
（２）は、超ミクロから超マクロに関係する、恐ろしく深い微分方程式だったんだね〜。
驚いたケロよ。
ところで、お利口なコンピュータさんは見事に微分方程式（２）を解いてくれたけれど、この解にはベッセル関数という特殊関数が入っているね〜。
そして、ベッセル関数というのは無限級数の形で表される関数で、しかも、その中にはガンマ関数という特殊関数が入っている。だから、解析的な解を求めたとしても、最終的には、コンピュータを使って近似計算をするしか手がないんだにゃ。
「結局、コンピュータを使わないといけないのだとしたら、最初から、オイラー法やルンゲ・クッタ法などを使って、近似計算させたらいいじゃない」
という話になると思わない？
厳密解の方は式の入力が大変だから代わりに２次のルンゲ・法を厳密解だと思って欲しいのだけれど、初期値をx₀=0、y₀=1でEuler法を使って、微分方程式（２）の数値解を計算させてみた。
お前らは、Euler法なんて精度が悪くてダメダメだというかもしれないけれど、実は、この微分方程式の場合、計算の格子間隔Δx=0.05くらいにとる、ほとんど正確に計算してしまうんだね〜。
「より高精度の４次のルンゲ・クッタ法の数値計算結果を比較参照の厳密解にすべきだ」というヒトもいるかもしれないけれど、この微分方程式の場合、２次のルンゲ・クッタ法と４次のルンゲ・クッタ法を使っても、その差は殆どない。
このことは、高精度計算が可能なカシオさんが公開してある計算サイトでも確かめてあるにゃ。
カシオさんの公開サイトのアドレスは次の通り。
このように入力し、計算ボタンをクリックすると、計算してくれるにゃ。
そして、グラフをクリックすると、お絵かきまでしてくれる。
非常に便利なサイトなので、ここで、色々と数値実験をしてみるといいと思うにゃ。
微分方程式のよもやま話２０ 微分演算子法 [微分方程式の解法]
微分方程式のよもやま話２０ 微分演算子法
次の微分方程式がある。
（１）の両辺に
をかけることにより、（１）は次のように解くことができる。
と指数関数の場合、
右辺第２項の積分は、
b≠aのとき、
b=aのとき
となる。
したがって、（１）の微分方程式の一般解は
になる。
（３）の右辺第２項の積分の部分は、公式
を用いて、次のように計算することもできる。
a≠bのとき、
a=bのとき、
微分演算子法を用いると、（３）の右辺第２項の積分をすることなく、代数的に解くことができる。
とはいえ、こうした計算ができるのはf(x)が指数関数のとき。f(x)が多項式関数の場合、こうした計算は許されない。
問１ 次の微分方程式を解け。
【解法１（初等的解法）】
微分方程式の両辺にをかけると
（解答終）
【解法２（微分演算子法）】
補助微分方程式は
の一般解（余関数）は
微分方程式の特殊解をy₀とすると、
よって、微分方程式の一般解は
（解答終）
（※）
問１はf(x)=xと簡単だから、積分したところでたいして難しくないけれど、f(x)=x²+x+1となったら、この積分は結構面倒くさい。なんとか、この積分の計算をせずにすむ方法はないものかと考えるのは人情だケロ。
そうした要望に答える方法が存在するのであった。
まず、
とテーラー展開（マクローリン展開）するにゃ。
すると、
さらに、
と、積分を一切することなく、
の値（関数か？）を求めることができるのであった。
すごいと思わないケロか？
問２ 次の微分方程式を解け。
【解】
右辺を０とおいた補助微分方程式
の一般解（余関数）は
特殊解をy₀とすると
よって、
（解答終）
あるいは、
などと計算する。
演算子法を用いた解法（特殊解の発見法）の計算が楽か（正確にいえば、答案の形式に書くことが楽か）といえば大いに疑問だけれど、積分することなく、特殊解を見つけることができる。
これらのテーラー展開（マクローリン展開）には
を用いていることは言うまでもない。
微分方程式のよもやま話１９ 初等的解法と演算子法 [微分方程式の解法]
微分方程式のよもやま話１９ 初等的解法と演算子法
α、βを実数とする。
微分方程式
の初等的な解法について考える。
とおくと、（１）は次のように書き換えることができる。
この両辺に
をかけると、
これをyの微分方程式に戻すと、
この両辺に
をかけると、
β≠αのとき、
ここで、
とおけば、（１）の一般解は
である。
α＝βのとき、
よって、（１）の一般解は
ここで、C₁、C₂は任意定数。
したがって、
α≠βの場合は、
α＝βのときは
を計算することにより、特殊解を求めることができる！！
さて、次の微分方程式について考える。
これは次の微分演算子
を用いると、次のように書き換えることができる。
したがって、
となる。
ところで、（５）の一般解は
なので、
したがって、
となる。
特に、α=βのとき、
このようにして求めた（９）、（１０）と（３）、（４）と一致する。
ここで
さらに、
とおくと、（９）より、
c≠βのとき
よって、c≠αのとき
となる。
前々回の公式
を導くことができた。
