微分方程式の整級数解２

微分方程式の整級数解２

 

２階線形微分方程式

において、P(x)、Q(x)、R(x)が点aで解析的なとき、点aを通常点という。

そして、通常点では次の定理が成り立つ。

 

定理

２階線形微分方程式

　

において、P(x)、Q(x)、R(x)が点aでならば、初期条件

　

を満たす整級数解

　

がただ一つ存在する。

 

問１　次の微分方程式のx=0まわりの整級数解を求めよ。

　　

【解】

とすると、

　　

これらを微分方程式に代入すると、

　　

また、

　　

だから、

　　

よって、

　　

ゆえに、

　　

初期条件からy(0)=a₀=1、y'(0)=a₁=0となるので、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

問の微分方程式の解は、

　　

であり、

　　

とマクローリン展開されるので、

　　

となり、問１で求めた整級数解と一致する。

 

 

問２　次の微分方程式の解を求めよ。

　　

【解】

【解】

　　

とし、項別微分が可能であるとする。

　　

だから、これを微分方程式に代入すると、

　　

これがすべてのxについて成立するから、の係数はすべて0でなければならない。

　　

また、初期条件より

　　

したがって、

　　

nが奇数のとき、すなわち、n=2m+1（m=0,1,2,・・・）のとき、

　　

nが偶数のとき、すなわち、n=2mのとき

　　

よって、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

問２のように、不定積分を用いた求積法では解が求めにくい微分方程式の解を整級数解で求められることがある。