微分方程式のべき級数解１

微分方程式のべき級数解１

 

 

つぎの微分方程式

　　

の整級数解（べき級数）について考えることにする。

この微分方程式の解yが

　　

とx=0まわりの整級数に展開できるとする。

このとき、上の整級数は−∞<x<∞で項別微分が可能（註１）で

　　

となる。

これを微分方程式y'=yに代入すると、

　　

任意のxについて①が成立するためには、①の無限級数内のの係数がすべて０でなければならない。

　　

さて、y(0)=1だから、a₀=1。

したがって、上の漸化式で定められる数列は

　　

これから、

　　

となり、微分方程式y'=y （y(0)=1）の解と一致する。

 

註１

定理　整級数の収束半径をρとする。

このとき、

　　

で、は−ρ<x<ρで級である。

 

 

 

問１　次の微分方程式のx=0まわりの整級数解を求めよ。

　　

【解】

とすると、

　　

さらに、

　　

これらを微分方程式に代入すると、

　　

したがって、

　　

でなければならない。

したがって、

　　

x=0のとき、

　　

よって、

　　

これより、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

 

問２　次の微分方程式のx=0まわりの整級数解を求めよ。

　　

【解】

とおくと、

　　

また、

　　

これらを微分方程式に代入すると、

　　

よって、

　　

a₁は初期条件y(0)から定まる。

よって、

　　

（解答終）