階数低減法

階数低減法

 

 

次の２階線形非同次方程式があるとする。

　　

（１）のR(x)=0とした同次方程式

　　

の解の１つy₁が知られているとき、y=y₁u(x)とおくと、

　　

となるので、（１）は

　　

になる。

ここで、

　　

とおくと、

　　

となり、微分方程式の階数を１減らすことができる。

この方法を階数低減法という。

特に、P(x)=a、Q(x)=bと定数であるとき、（４）は

　　

となる。

 

 

問１　がの解であることを利用して、

を解け。

【解】

とおくと、

　　

これを微分方程式に代入すると、

　　

ここでv=u'とおくと、

　　

両辺にをかけると、

　　

よって

　　

だから、

　　

（解答終）

 

問２　階数低減法を用いて次の微分方程式を解け。

【解】

（１）　とおくと、

　　

これをy''−3y'+2y=0に代入すると、

　　

v=u'とおくと

　　

よって、

　　

だから、

　　

 

（２）　とおくと、微分方程式は

　　

ここでv=u'とおくと、

　　

両辺にをかけると、

　　

v=u'だから

　　

だから、

　　

 

（解答終）

 

問題　２階線形同次方程式

　　

の１つの解がy₁であるとき、もう１つの解が

　　

で与えられることを示せ。

【解】

y₂=y₁u(x)とおくと、

　　

これをy''+P(x)y'+Q(x)y=0に代入すると、

　　

v=u'とおくと、

　　

y₁≠0のとき

　　

両辺に

　　

をかけると、

　　

v=u'だから、

　　

よって、

　　

（解答終）