熱伝導方程式の変数分離法による解

熱伝導方程式の変数分離法による解

 

ddt³さんの記事に熱伝導方程式の話が出たので

z=z(t,x)とし、

熱伝導方程式

　　

を満たす、

　　

の形の解を求めることにする。

 

（２）を（１）に代入すると、

　　

仮定より、右辺は変数xだけの関数、左辺は変数tだけの関数になるので、（３）式の値は定数でなければならない。

（３）式の値が正のとき、p²（p>0)とおく。

すると、

　　

となり、

　　

したがって、

　　

 

（３）式の値が負のとき、−p²とおくと、

　　

したがって、この解は

　　

 

（３）式の値が0のとき、

　　

となり、解は

　　

である。

 

（３）式の値が正、０のとき、t>0のときの境界条件

　　

を満たすためには、z=0となり、解として不適。

 

というわけで、（３）式の値は負でなければならず、

　　

の形で表されるものでなければならない。

境界条件z(t,0)=z(t,a)=0を満たさなければならないので、

　　

①から、c₂=0。

c₁=0のとき、②は満たすが、初期条件z(0,x)=f(x)を満たすためにはf(x)=0となってしまい都合が悪い。

というわけで、②式を満たすためには、

　　

でなければならなず、

　　

したがって、

　　

が解になりそうですが（は定数）、これでは、初期条件

　　

を満たさない。

そこで、

　　

が解だったらいいなと考え、

　　

が成り立つように係数を定める。

すると、

フーリエ級数から

　　

と係数が定まり、

　　

が求める偏微分方程式の解になる。

 

 

では、境界条件を変更した次の場合はどうなるであろうか。

　　

の場合は、

　　

とすると、

　　

また、このとき、

uに関する初期条件と境界条件は次のようになる。

　　

よって、この変換によって、（６）は

 

　　

となり、（４）と（５）の結果より、

　　

したがって、

　　

が解になる。

そして、この結果から、

t→∞のとき、

　　

という定常解が得られる。

 

t→∞のとき、

　　

になるであろうから、（６）の微分方程式は

　　

となり、これを境界条件：x=0のときz=z₁、x=aのときz=z₂で解くと、

　　

となり、上で求めた定常解と一致していることがわかる。