お前らに問題（ε‐δ論法を用いた関数の連続編）

お前ら、 ε‐δ論法を知っているよな。

ということで、ε‐δ論法を用いた関数の連続に関する確認問題。

 

その前に、念のために、ε‐δ論法による関数の連続の定義を挙げておく。

 

任意の正数ε>0に対して、

　　

となる正数δ>0が存在するとき、関数fは点aで連続であるという。

 

より厳密に書くと、

任意の正数εに対して、ある正数δが存在し、を満たす任意のxについて、

　　

が成り立つとき、関数fは点aで連続であるという。

 

Rを実数全体の集合とする。

 

例題１　関数f(x)=xが、x=aで連続であることを示せ。

【解】

任意の正数εに対し、

　　

とδを定めれば、

　　

が成立する。

よって、関数f(x)は点aで連続である。

（解答終）

 

例題２　関数f(x)=2xがa∈Rのすべての点aで連続であることを示せ。

【解】

任意の正数εに対して、

　　

とδを定めると、

　　

が成立する。

よって、関数f(x)=2xはa∈Rのすべての点aで連続である。

（解答終）

 

 

例題１、例題２のδの定め方はあくまで一例だケロ。

例題１，例題２ともに、

　　

とδを定めてもいいし、

　　

などなど、無数に存在するので、どれを選ぼうが選ぶヒトの自由だにゃ。

要は、任意のε>0に対して、（１）を満たすδ>0の存在さえ示せばいいんだケロ。

 

 

基本問題　次のことを示せ。

cを実定数とする。

　　

とすると、関数fはa∈Rのすべての点aで連続となること示せ。

 

 

応用問題　次のことを示せ。

f(x)=x² （x∈R）は、a∈Rのすべての点aで連続であることを示せ。

 

 

発展問題　次のことを示せ。

nを正の整数とする。は、a∈Rのすべての点aで連続であることを示せ。

 

 

基本問題は例題２でほとんど解いているようなものなので、基本問題くらいは解けよな。

基本問題なんてチョロいというヒトは応用問題にチャレンジ。

これすらチョロいというひとは、発展問題にチャレンジする。

 

念の為に言っておくが、使っていいのは、記事冒頭で紹介した関数の連続の定義と、あとは、実数の基本的な性質だけだからな。
例題１より、「g(x)=x、h(x)=xが連続（関数）なので、f(x)=g(x)h(x)=x²は連続である」といった回答は認めないので、そこんところ、よろしく。

ねこ騙し数学の訪問者はどの問題も物足りないと感じるに違いないと思うけれど、基本問題は意外に足元を掬われるかもよ。
そして、ネムネコは、ニヤリと、ひとりほくそ笑み、答案を減点するに違いない(^^)