位相 第５回 近傍と連続写像

位相　第５回　近傍と連続写像

 

§１　近傍と近傍系

 

を距離空間とする。x∈Xと、実数ε>0に対し、

　　

となるXの部分集合をxのε-近傍という。

x∈Xに対して、Xの部分集合Uが

　　

をみたすとき、Uをxの近傍という。また、xの近傍全体の集合を近傍系といい、などで表す。

とくに、Uが開集合のとき開近傍といい、Uが閉集合のとき閉近傍という。

 

例１　Rを実数全体の集合、a,x∈Rとし、

　　

とおく。

このとき、であり、任意の正の整数nに対して、とおけば、

　　

が成立するので、は点aの開近傍となる。

 

例２　a,x∈Rとし、

　　

とすると、はR上の閉集合で、

　　

となるので、は点aの閉近傍になる。

 

 

定理１　を距離位相、をx∈Xの近傍系とする。このとき、次が成り立つ。

（１）　ならばx∈Uである。

（２）　ならばである。

（３）　かつU⊂V⊂Xならばである。

（４）　任意のに対し、あるが存在し、V⊂Uかつ任意のy∈Uに対してとすることができる。

【証明】

（１）、（３）は明らか。

 

（２）　だから、正の実数ε₁、ε₂でとすることができる。とすれば、

　　

 

（４）　に対してとおけばであり、任意のに対してとなる。

（証明終）

 

 

§２　連続写像

 

１変数関数f;R→Rが点aで連続であるとは、次の関係が成り立つことである。

　　

 

このことは、ユークリッド空間Rに通常の距離を入れると、

　　

さらに、

　　

と書き換えることができる。

 

そして、このことは、

どのような正の実数εに対しても、点f(x)のε-近傍のfによる逆像が点aにおける近傍となるとき、写像fは点aで連続である

と言い換えることができる。

ある正の実数εに対してが点xの近傍であれば、ε'>εであるようなどんな実数ε'に対してもは点xの近傍となる。

なぜならば、

　　

だから、定理１の（３）によっても点xの近傍になるからである。